自动控制理论

第八章

非线性控制系统分析主讲：徐进学博士教授

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8.1非线性控制系统概述8.2常见非线性特性及其对系统运动的影响8.3相平面法8.4描述函数法OUTLINE•什么是线性？•满足线性叠加原理的系统称线性系统。•例如：•若是方程的解，有•也是方程（1）的解,则方程为线性系统，例如：•否则为非线性系统。8.1非线性控制系统概述8.1.1研究非线性系统的方法实际的控制系统：①线性；②非线性。局限性：不能成为通用方法。用相平面法虽然能够获得系统的全部特征，如稳定性、过渡过程等，但大于三阶的系统无法应用。李亚普诺夫法则仅限于分析系统的绝对稳定性问题，而且要求非线性元件的特性满足一定条件。现有成果：如频率域的波波夫判据，广义圆判据，输入输出稳定性理论等。目前处于发展阶段，远非完善。分析非线性系统的主要方法有：⑴描述函数法;⑵相平面法;⑶李雅普诺夫法线性系统通常是非线性系统在一定范围的近似。

2.系统的稳定性和输出响应不仅与系统的结构和参数有关（与线性系统相同），还与系统的初始条件及输入信号的形式和大小有关。8.1.2非线性系统的特点1.不能应用叠加原理

3.当输入量为正弦函数时，输出的稳态分量则往往是包含有高次谐波分量的非正弦函数。而且还可能发生一些线性系统不会遇到的现象：

①跳跃谐振：输入的连续变化，输出的幅值和相位在某点发生突变。

③倍频振荡或分频振荡：输出的频率可能是输入频率的整数倍或反之）。

②频率捕捉：在一定的条件下，自振荡频率可能会被外加信号的频率所改变。

4.在无外加作用的情况下，可能会产生具有一定频率和振幅的稳定的等幅振荡，称为自激振荡或极限环（可观察到)。（线性系统只有在临界稳定的情况下，才产生极限环，且不稳定，不能观察到。）8.2常见非线性特性及其对系统运动的影响

在一个控制系统中,包含有一个以上的非线性元件，就构成了非线性系统。控制系统中的典型非线性特性有：来源：放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限制等等。8.2.1饱和特性对系统的影响：

(1)在大信号作用下，等效传递系数下降跟踪误差，响应时间，稳态误差。(2)可能使振荡减弱。(3)可利用饱和特性来保护系统或元件的安全运行。图8-1饱和特性xya-a斜率k0饱和非线性的输入输出关系及数学表达式如下：(8-1)8.2.2死区（不灵敏区）特性图8-2死区特性△-△0斜率kxy死区非线性的输入输出关系及数学表达式如下：(8-2)特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。对系统的影响：（1）使系统产生稳态误差（尤其是测量元件）。（2）可能会提高系统的抗干扰能力或减少振荡性。来源：各类液压阀的正重叠量；系统的库伦摩擦；测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区；弹簧预紧力等。8.2.3间隙（滞环）特性图8-3滞环特性0yxh-h斜率k其输入输出关系及数学表达式如下：(8-3)特征：元件开始运动 输入信号<h时，无输出信号； 当输入信号>h以后，输出随输入线性变化。元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2h，输出随输入线性变化。造成的影响：间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。所以应尽量避免或减小。来源：传动机构的间隙：①齿轮传动中的齿隙；②液压传动中的油隙。8.2.4继电特性(8-4)图8-4继电特性0-MMyx其输入输出关系及数学表达式如下：来源：继电器是继电特性的典型元件。造成的影响:(1）改善系统性能，简化系统结构。（2）可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大。其他继电特性还有：

在非线性系统中，一些更复杂的非线性特性，其中有些可看成是上述典型特性的不同组合。0yx-MM-hh图8-5滞环+继电0yx-MM-△△图8-6死区+继电0yx-MM-△△图8-7死区+滞环+继电8.3相平面法相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法,即二维状态空间法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动,通过研究这个点移动的轨迹,就能获得系统运动规律的全部信息.相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响.式中,

是的线性或非线性函数.(8-8)设二阶系统的常微分方程如下：8.3.1相平面法的基本概念

由微分方程的理论可知，只要

是解析的，那么在给定的初始条件下，方程的解是唯一的。这个唯一的解可以写成时间解的形式——x(t),也可以写成以t为参变量的形式，用来表示。tx(t)图8-8方程的解x3.相平面图：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统的相平面图。它表示系统在各种初始条件下的运动过程。2.相平面:

平面称为相平面。对于一个系统，初始条件不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。1.相轨迹：如果我们取x

和作为平面的直角坐标，则系统在每一时刻的均相应于平面上的一点。当t变化时，这一点在

平面上将绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。它描述系统的运动过程。二阶系统微分方程：两个独立变量： 位置量 速度量 构成相平面 为相变量。给定初始条件相变量 在相平面上的运动坐标轨迹称为相轨迹。

相平面分析方法:

由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析：3）稳态误差。下面举二个例子进行说明：1）系统的稳定性；2）瞬态响应性能；例8-1.设系统的微分方程为：

图中的箭头表示系统的状态沿相轨迹的移动方向。

其相平面图如右图所示（绘制方法在下节介绍）1x0p

图8-9例8-1的相平面图DABCE18

（1）在各种初始条件下（任意一条相轨迹），系统都趋向原点（0,0）,说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。由图可知：

可将其状态转化为转化为时间响应曲线x(t)来验证如图8-10所示

（2）如果初始条件为：x(0)=1，。则相应的相轨迹为ABCDE0。系统的瞬态响应为阻尼振荡形式，最大超调量为p，稳态误差为零。

10x(t)tABCDE图8-10例8-1的时间响应曲线

相轨迹如图.系统的运动方向如箭头所示。可见，系统的响应与初始条件有关,其相轨迹可分为三个区域：初始条件：tx(t)01-1例8-2.非线性方程：x-11dx/dt0图8-11例8-2的相平面图(3)x(0)<-1:不稳定不稳定(2)x(0)>1:(1)-1<x(0)<1

时原点。系统是稳定的。响应为单调衰减，且无稳态误差。如图8-12所示.图8-12例8-2的响应曲线相平面法的适用范围:(2)除要求为解析函数外，别无其它条件(1)因为相平面是二维的，∴只适用于一阶和二阶系统；一、相轨迹的共同特性1.相轨迹的对称性设二阶系统的方程为：(8-9)改写为：(8-10)两边除以可得：----相轨迹的斜率方程(8-11)相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。8.3.2相轨迹的绘制方法即是的偶函数----相轨迹对称于x轴的条件。(8-12)1）若相轨迹对称于x轴。则在所有的对称点和上，相轨迹的斜率应大小相等，符号相反。即：x0图8-13

相轨迹对称于x轴

2)若相轨迹对称于轴，则：0(8-13)图8-14

相轨迹对称于轴即是的奇函数----相轨迹对称于轴的条件。

3）若相轨迹对称于原点，其条件是：对称点上的斜率应大小相等，符号相同。图8-15

相轨迹对称于原点(8-14)x02.相平面上的奇点

这样的点称为普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。（即相轨迹曲线不会在普通点相交）

若相平面中的某点，同时满足,则该点相轨迹的斜率,为不定值，这类特殊点称为奇点。通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。

由相轨迹的斜率方程可知,相平面上的点只要不同时满足,则该点相轨迹的斜率是唯一确定的。

二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。二阶非线性系统：奇点可能不止一个。3.x轴上相轨迹的斜率4.系统状态沿相轨迹的运动方向

由于在x

轴上,,因此除的点（即奇点）外，相轨迹的斜率为:。即除奇点外，相轨迹与x轴垂直相交。

在相平面的上半平面,,即x(t)增大。∴系统状态沿相轨迹向右运动。

在相平面的下半平面,,即x(t)减小.∴系统状态沿相轨迹向左运动。0图8-16系统状态沿相轨迹的运动方向例：

二阶系统作出该系统的相平面图。解：因为 斜率方程初值（0,10）和（0,-10）。

二、解析法作图方程不显含时，采用一次积分法得相轨迹方程作图方程为因为代入方程两边一次积分，得相轨迹方程例：

二阶系统为 作相平面图。

解方程不显含，由解析法有一次积分相轨迹方程为椭圆方程三、绘制相平面图的图解法当用解析法求解微分方程比较困难，甚至不可能时，可采用图解法绘制相平面图。它有：下面介绍等倾线法:

原理：任一曲线都可以用一系列足够短的折线来近似，如果我们能用简便的方法求得相平面中任意一点相轨迹的斜率，就能画出通过该点相轨迹的切线，并用它来近似该点及其附近的相轨迹曲线。如果点取得足够密，就能用一系列的切线来近似相轨迹曲线了。（2）园弧近似法(略)（1）等倾线法

等倾线法作图步骤：1）首先画出等倾线----确立相平面中相轨迹斜率的分布；等倾线：在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线,即等倾线应满足方程：由前述可知，相轨迹的斜率方程为：

(8-15)则等倾线方程为：(8-16)2）从初始条件开始，用连续的切线段来近画出相轨迹曲线。(8-17)(8-18)注意：两等倾线之间用其平均值来表示相轨迹。若给定系统参数：=0.5,=1.取不同的值，求得等倾线如图8-17所示：若给定初始条件为A,则可作出相轨迹为ABCDE.....图8-17等倾线和相轨迹可见，等倾线为过原点、斜率为的直线。=-1.4=-1.6=-2=-3=1=2ABCDEx0=-1=∞=0则等倾线为：(8-19)注意：

1）等倾线法在作图过程中会产生积累误差。一般来说,等倾线越密，则近似程度越好。但等倾线过密，绘图条数增多，致使积累误差加大。所以，一般间隔5°～10°画一条等倾线较合适。

2）为减少作图误差，可事先在等倾线上画好表示切线方向的平行短线，然后从初始状态开始逐步仔细地将它们联成光滑的相轨迹曲线。

3）一般，线性系统的等倾线是直线。因此用等倾线法比较方便。非线性系统的等倾线则有可能是曲线,甚至是比较复杂的图形-----不适用于等倾线法。由前述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有多条相轨迹以不同的斜率通过或逼近该点。

所以奇点是平衡点。奇点及临近的相轨迹反映了系统的稳定性问题。一、奇点8.3.3奇点与极限环二、线性系统的奇点与相轨迹

由线性理论可知，系统的特征根不同，则其稳定性及瞬态响应性能不同。在相平面中则表现为相轨迹的形状和奇点性质不同。

二阶线性系统的方程为：(8-20)可见，原点为奇点或稳定点。奇点邻域的运动性质由于在奇点上，相轨迹的斜率不定，所以可以引出无穷条相轨迹。相轨迹在奇点邻域的运动可以分为

1.趋向于奇点

2.远离奇点

3.包围奇点

二阶系统自由运动的微分方程：当b>0，可表为特征根相轨迹微分方程则等倾线方程为(k为等倾线的斜率)当可得满足k=α的两条特殊等倾线，其斜率为令具有两个互异负实根，相轨迹趋于原点，该奇点称为稳定节点。具有两个正实根，相轨迹远离原点，该奇点为不稳定节点。

具有一对负实部的共轭复根，相轨迹振荡趋于原点，该奇点为稳定焦点。

具有一对正实部的共轭复根，相轨迹振荡远离原点，为不稳定焦点。具有一对纯虚根，相轨迹为同心圆，该奇点为中心点。b<0,系统特征根一正一负，相轨迹先趋向于——然后远离原点，称为鞍点。j0j0j0节点稳定焦点中心不稳定节点不稳定焦点鞍点λ1j0λ2j0λ2λ1j0λ1λ2根与相轨迹三、非线性系统的奇点

再用线性方程来讨论相轨迹的形状和奇点的性质。设：奇点为，线性化为即：

设非线性系统的方程为：(8-21)则线性化后的方程为：(8-22)只要是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。例8-3非线性系统的方程如下：试画出系统的相平面图。解：式中

由求得系统的奇点为：在奇点（0,0）附近，线性化方程为：即：式中阻尼比：，则奇点(0,0)为稳定焦点。在奇点（-2,0）附近，令y=x+2，则方程变为：

在这一点附近，方程线性化为：可知，奇点（-2,0）为鞍点。

由以上两种奇点类型的相平面图结合起来，可以画出系统相平面图的大致形状,如下图所示。0-2图8-24例8-3非线性系统的相平面图四、极限环

极限环对应于非线性系统特有的自振荡现象,它描述了自振荡的振幅和频率.所谓孤立的封闭轨迹,是指它临近的相轨迹都不是封闭的.它们或是趋向于极限环,或是远离极限环.在相平面图中,极限环是孤立的封闭轨迹.将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域的特殊相轨迹，称为奇线。非线性系统的极限环情况比较复杂，不同的系统会有不同形式的极限环。

1.稳定极限环特点:极限环内外的相轨迹都卷向极限环,自振荡是稳定的.环内:不稳定区域,相轨迹发散环外:稳定区域,相轨迹收敛图8-25稳定极限环0x(t)t0

如果系统具有这种极限环，且极限环不超过允许的范围，则可以认为系统是稳定的。设计时应尽量减少极限环的大小,以满足准确度的要求。2.不稳定极限环特点:极限环内外的相轨迹都卷离极限环环内:稳定区域,相轨迹收敛环外:不稳定区域,相轨迹发散这种系统是小范围稳定,大范围不稳定.设计时应尽量增大稳定区域(即增大极限环).图8-26不稳定极限环0x(t)t03.半稳定的极限环环内,环外都不稳定.

具有这种极限环的系统是不会产生自振荡的,系统的状态最终是发散的。a)图8-27半稳定的极限环0x(t)t0

环内,环外都是稳定的.

具有这种极限环的系统也不会产生自振荡的,系统的状态最终是趋向于环内的稳定奇点。.b)图8-28半稳定的极限环0x(t)t0注意：

在非线性系统中，可能没有极限环，也可能具有一个或几个极限环。在进行一般系统设计时，应尽量避免产生极限环。如不可能避免时，应尽量缩小稳定的极限环，或加大不稳定的极限环。

振荡器是具有稳定极限环的非线性系统的典型例子。例：

VanderPol方程的极限环Simulation相平面图分析

1、作出系统的相平面图。对于具有间断特性的非线性系统，一般表示为数学上的分区作用，因此，在相平面上的相轨迹也是分区作出的。

2、分析系统的稳定性。由分区穿越的各段构成的相轨迹，最终是收敛还是发散。

3、分析系统是否具有极限环。

4、可以参考线性系统的性能指标来考虑该非线性系统的调节时间与超调量等。系统如图其中T,K为正实数.由图写出系统的微分方程：（在相平面分析法中，一般皆分析误差函数）以c=r-e代入，即可写出以误差e为变量的二阶微分方程：初始状态为静止,即:R(s)E(s)C(s)+-图8-29线性系统(8-23)8.3.4线性系统的相平面分析1.阶跃响应性能分析(8-24)图8-30阶跃输入tr(t)R0（1）一对负实部的共轭复根奇点为稳定焦点，相轨迹及时间解如下：图8-31欠阻尼时的相轨迹及时间解0(R,0)p0e(t)tRp(2)两个不等的负实根响应性能：(a),(b)与前同;(c)响应是单调衰减的。

图8-32过阻尼时的相轨迹及时间解(R,0)00e(t)tR2.斜坡响应性能分析图8-33斜坡输入r(t)t0Rv(8-25)

分析后可知，相轨迹与阶跃输入时相同，只是向右移动了一段距离。与阶跃响应的差异：（1）奇点位置，初始状态不同;

（2）稳态误差为.图8-34斜坡输入时的相轨迹V/K0(R,v)a).欠阻尼V/K0(R,v)b).过阻尼3.脉冲响应性能分析下面求初始条件：r(t)t0图8-35脉冲输入相轨迹如下：结论：图8-36脉冲输入时的相轨迹0-K/T0-K/Ta).欠阻尼b).过阻尼

对于分段线性的非线性系统来说，相平面分析法的步骤为：（1）用n条分界线（开关线，转换线）将相平面分成n个线性区域；（2）分别写出各个线性区域的微分方程；（3）求出各线性区的奇点位置并画出相平面图；（4）将各相邻区的相轨迹联成连续曲线------非线性系统的相轨迹。8.3.5非线性系统的相平面分析关于奇点：（2）当奇点位于本线性区域之内------实奇点；当奇点位于本线性区域之外------虚奇点；该区域的相轨迹永远不能到达此点；下面分析几种具有典型非线性特性的控制系统：（3）二阶非线性系统只可能有一个实奇点。（1）每个线性区有一个奇点；1.具有非线性增益的系统采用非线性增益的优点：使系统的响应速度较快，而超调和振荡都比较小。r(t)e(t)m(t)c(t)+-图8-37具有非线性增益的系统(8-26)me01ke0-e0k<1图8-38非线性增益(8-27)0e0-e0ⅠⅡⅡ图8-39相平面的分区

为了改善系统的性能，一般选用较大的K值和适当的k值，使得：当时，为满足快速性要求，应使系统为欠阻尼,即:

当时，为减小超调，应使系统为临界阻尼以致过阻尼,即:

(8-28)(8-29)(1)阶跃响应分析图8-40Ⅰ区的相轨迹e0-e0ⅠⅡⅡ0

再将两个区的相轨迹联成连续曲线，当输入信号幅值R较大时，相轨迹曲线为e0-e0ⅠⅡⅡ0图8-41Ⅱ区的相轨迹;,,10振荡超调皆减小相轨迹为时OBBR¯稳态时，系统皆不存在稳态误差。由上可知，响应特性与阶跃输入的幅值有关。相轨迹及响应曲线如下图所示：e0-e0ⅠⅡⅡ0(R,0)图8-42具有非线性增益的系统在阶跃输入下的相轨迹及响应曲线0e(t)t（2）斜坡响应分析e0-e0ⅡⅡ0Ⅰ图8-43Ⅰ区的相轨迹输入信号：注意：奇点的具体位置与输入信号幅值有关，它可以用图解法求得。图8-44Ⅱ区的相轨迹e0-e0ⅠⅡⅡ0作法：在非线性特性图中，作水平线：该直线与m=ke相交点的e值即为的e值。该直线与m=e相交点的e值即为的e值。

图8-45求奇点的图解法0mee0-e0k1下面分几种情况来讨论：e0-e0ⅠⅡⅡ00mee0-e0k1图8-46较小时的奇点位置及相轨迹图A(R,v)B0mee0-e0k1图8-47增大时的奇点位置及相轨迹图e0-e0ⅠⅡⅡ0A(R,v)BCD结论：非线性系统的响应特性与输入信号的大小有关。图8-48较大时的奇点位置及相轨迹图m0ee0-e0k1e0-e0ⅠⅡⅡ0A(R,v)BCD2.继电型控制系统（1）理想继电特性系统如下图所示：r(t)e(t)y(t)c(t)+--MM图8-49继电型控制系统非线性特性为：(8-30)系统初始为静止状态：系统的微分方程为：对于阶跃输入信号：

注意：上两个方程都不是前述的典型二阶系统的方程。因此，我们有必要先分析一下相轨迹的形状。

无论在哪个区，由于可见相轨迹对称于原点。因此只画一个区的相轨迹即可。0图8-50相平面的分区

由上式看出，等倾线为平行于e轴的直线族。所以相轨迹应为一组平行移动的曲线。图8-51等倾线0

再由方程:可知，系统无奇点也可以认为奇点在无穷远。当相轨迹趋于无穷远奇点时，必存在一条渐近线。它既是一条等倾线，也是一条相轨迹。

渐近线的求法：使等倾线的斜率与相轨迹的斜率相等。代入等倾线方程:由初始条件：画出一条相轨迹如图，它收敛于原点。可见:

系统为阻尼振荡;;

系统稳定。0图8-52相轨迹图(R,0)(2)具有滞环的继电特性图8-53具有滞环的继电特性em0M-M+△-△相轨迹的形状与前同，如下图所示.可见,相轨迹形成稳定的极限环。图8-54相轨迹图0(R,0)(3)具有死区的继电特性图8-55具有死区的继电特性em0-MM+△-△可见相轨迹是一族平行的直线。图8-56相轨迹图0(R,0)小结：1)相平面分析法是二阶系统的图解分析法。可分析系统的稳定性，响应性能，稳态误差。2)当时，相轨迹趋向于奇点(奇线)无穷远点(渐近线)极限环3)相平面分析法可用来综合系统，以达到满意的效果。4)其原理可扩展到高阶系统，但不能用图解法。例8-4

非线性系统如下图所示。设系统开始处于静止状态，试用相平面分析法分析系统对阶跃输入：及斜坡输入：的响应性能。系统参数：K=4T=1图8-57具有饱和的非线性系统remc+--0.2-系统方程为：代入参数：一.对阶跃输入的响应饱和特性：解：在给定初始条件(R,0)下的一条相轨迹如图中的红线所示。0--0.8(R,0)图8-58阶跃输入时的相轨迹系统的相轨迹如图所示：二.对斜坡输入的响应根据的大小，分三种情况来讨论：0120.40.2-0.2-2-112-1-20.3PⅠA(-2,1.2)BCDE图8-59斜坡输入时的相轨迹(1)设初始条件为：

A（-2，0.4）(相当于r(t)=0.4t-2)其对应的相轨迹为：ABCDEPⅠ.图8-60斜坡输入时的相轨迹(2)00.2-0.2-2-2-1-112120.1PⅠ-0.41.2A(-2,0.4)BCDE图8-61斜坡输入时的相轨迹(3)00.2-0.2-2-2-1-11212PⅠ1.6A(-2,0.8)BCDE8.4描述函数法描述函数法的基本思想是:在一定的假设条件下,将非线性环节在正弦信号作用下的输出用一次谐波分量来近似,并导出非线性环节的等效近似频率特性,即描述函数.这时的非线性系统就等效为一个线性系统,并可引用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析.y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)非线性系统的描述函数分析法是：1）频率特性法的推广；2）是一种等效近似的方法；3）主要用来分析非线性系统的稳定性。它是由一个非线性元件及一个线性部分相串联组成的单回路系统。典型非线性系统如下图所示：线性部分G(s)reyc+-非线性元件N图8-62典型非线性系统8.4.1描述函数的基本概念9293一般情况下,非线性元件的输出信号y(t)是非正弦函数,它包括恒定分量

y0及各次谐波分量y1(t)

,y2(t)…….从而，在y(t)的作用下，线性部分的稳态输出c(t)中也包含有相应的分量:c0,c1(t),c2(t)…….,其中各次谐波分量的大小取决于：

1）非线性特性是对称的则y(t)中的恒定分量为：y0=0(即c0=0)2）系统的线性部分具有良好的低通滤波性能。假设：假定非线性元件的输入信号为正弦函数,即:（2）线性部分的频率特性G(j);（1）y(t)中相应分量的大小；(8-31)

通常，y(t)中的高次谐波幅值本来就不大，又经过线性部分的低通滤波。因此，在系统的稳态输出c(t)中，恒定分量c0=0,高次谐波分量幅值远小于一次谐波分量的幅值。略去这些较小分量，得到：因此，在研究系统时，我们可以等效地用一次谐波分量来代替非线性元件在正弦输入信号作用下的实际输出，即相当于将非线性元件近似为等效的线性元件。这种情况就相当于非线性元件的输出y(t)中只有一次谐波分量y1(t)在起作用，即：(8-32)(8-33)为此，定义：非线性元件输出量的一次谐波分量与输入正弦量的复数比为非线性元件的描述函数，记为：

一般情况下，N是一个复数量。如果非线性特性是单值的，则描述函数

N是一个实数。

式中：Y1-----输出一次谐波分量的幅值；A------输入正弦量的幅值；------输出一次谐波分量与输入量的相位差。(8-34)8.4.2典型非线性特性的描述函数当非线性元件的输入信号为：e(t)=Asint

时，其输出信号y(t)一般为非正弦周期信号，将其展开为富氏级数：(8-35)(8-36)为了求非线性元件的描述函数，必须先求出输出量的一次谐波分量。若非线性特性是对称的，即y(t)是对称的，则A0=0输出的一次谐波分量为：(8-37)(8-38)(8-39)(8-40)(8-41)由定义可知，非线性元件的描述函数为：显然，当

不为零时，N便是一个复数量。其中:(8-42)(8-43)(8-44)(8-45)(8-46)下面举例介绍几种非线性特性的描述函数：-M0Myea)y1(t)=Y1sinty(t)0tee(t)=AsintytM0b)图8-63继电非线性的输入输出波形其输入输出波形如下图所示:1.继电型非线性:输出是奇函数A1=0由于非线性特性是对称的A0=012.7N010M/A图8-64N对M/A的函数关系曲线(8-47)

2.具有滞环的继电非线性由图可以看其输出仍为方波.ye-MM0h-ha)t1MAe(t)=Asinty1(t)=Y1sinty(t)etth00yb)图8-65具有滞环的继电非线性的输入输出波形其输入输出波形如下图所示:与理想继电特性的输出波形相比较，其区别仅在于输出的一次谐波落后相角:h/A01.00.51.27图8-66hN/M对

h/A的函数关系曲线即输出一次谐波的相角为:可见是N一个复数量.此时的只是的函数,如图8-66所示.因此其描述函数为:(8-48)上式也可以改写为:(8-49)3.死区非线性当输入信号为:

e(t)=Asint

时，其输出波形如图所示：斜率K0ye△-△a)e(t)=Asintt1/-t1y(t)K(A-)y1(t)=Y1sinteyttA00△b)图8-67死区非线性的输入输出波形

(N/K)对(/A)的函数关系曲线如图所示。因为这时输入信号的幅值小于死区，所以输出为零,即N=0。由图可知，当(/A)>1时，N/K=0。1.0N/K01.0/A图8-68N/K对/A的函数关系曲线因此，死区非线性的描述函数为：(8-50)(8-51)死区非线性的描述函数又可以写为：其输入输出波形如下图所示：4.饱和非线性eya-a斜率k0a)00aAe(t)=Asinty1(t)=Y1sinty(t)/-t1t1etytb)图8-69饱和非线性的输入输出波形(8-52)a/AN/k1.01.00图8-70N/k对a/A的函数关系曲线对的函数关系曲线如图8-70所示：由图可知,当时，描述函数的值为1，说明输出与输入成正比例，不存在饱和现象。

其他一些常用非线性特性的描述函数示于下表：（3）死区非线性与饱和非线性的N存在如下关系：当=

，且K相同时，N死区=K-N饱和。（4）若非线性特性为其他几个非线性的组合时，则其描述函数亦为其他几个描述函数的线性组合，即描述函数可应用叠加原理。如：非线性Z=x+y，其中x=fx(e)

Nx

;y=f(e)Ny，

则Nz=Nx+Ny因此，由表所给出的结果，还可以推出一些更复杂的非线性特性的N。（1）若非线性为单值函数，则，N为实数；（2）若非线性为多值函数，则，N为复数；由表可知:典型的非线性系统如下图所示：图8-71典型非线性系统如果满足前述的二个条件,即:1）非线性特性是对称的;2）线性部分具有良好的低通滤波性能.那么系统中的非线性元件就可以等效地用描述函数来近似描述,它相当于一个实变量或复变量的增益.线性部分G(s)+-非线性元件Nr(t)e(t)y(t)c(t)8.4.3描述函数分析法由此,闭环系统的频率特性为:可见,它与线性系统的特征方程类似.因此,可以利用频率法的某些方法和结论,来分析:非线性系统的稳定性;自振荡的稳定性;确定振荡的振幅和频率.但是,描述函数仅仅是在正弦输入作用下对非线性系统的描述,因此,它不适于分析系统的瞬态响应性能.(8-53)特征方程为:(8-54)一、稳定性分析特征方程:(8-55)可以改写为(8-56)它与线性系统的特征方程相比较:只是在非线性系统中,N是非线性元件输入幅值A的函数,当A值的范围为时,对应的则为一条曲线.故在非线性系统中,“临界点”为曲线.因此,可以根据线性部分的频率特性曲线和“临界点”轨迹的相对位置,借助频率法的某些结论和方法,来判断非线性系统的稳定性.相当于线性系统的临界点(-1,j0).假设线性部分是最小相位的，则稳定性判据是：

1）如果–1/N

曲线没有被G(j)曲线所包围，如图，则系统是稳定的。在稳定状态下，系统没有自振荡。G(j)通常是用图解法在复平面上画出G(j)曲线和–1/N曲线。ReIm0-1/N∞←A图8-72稳定的非线性系统则系统是不稳定的。当受到任何扰动时，系统输出将逐渐增大。∞←A-1/NG(j)→∞

2）如果–1/N曲线被G(j)

曲线包围，如图，ReIm0图8-73不稳定的非线性系统

3)如果-1/N曲线和G(j)曲线相交,如图.则系统处于临界稳定状态,可能会出现自振荡即极限环.这种振荡不是正弦的,但可以用正弦振荡来近似.ReImBPCQED-1/N∞←A0←AG(j)图8-74临界稳定的非线性系统振荡的振幅等于交点处-1/N曲线上相应的A值;振荡的频率等于交点处G(j)曲线上相应的值.119120二、自振荡或极限环的稳定性极限环的稳定性可由-1/N曲线上,A增大时,工作点沿轨迹的移动方向来判断.当幅值A增大时，工作点沿–1/N轨迹向G(j)曲线所包围的区域内移动时，则该点的自振荡是不稳定的。如图8-74中的交点P,若扰动使振幅略有增加，则工作点沿-1/N移到B点。而B点被G(j)曲线所包围，系统不稳定，振幅将继续增大，工作点将进一步偏离P点。反之亦然。因此，P点的极限环是不稳定的，或者说，P点是不稳定的工作点。如果幅值A增大时，工作点沿–1/N轨迹向G(j)曲线所包围的区域外移动时，则该点的自振荡是稳定的。如图8-74中的交点