高数1-5章1-2节 《定积分的概念与性质微积分基本公式》 课件

第五章积分学不定积分定积分定积分第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质机动目录上页下页返回结束定积分的概念及性质

第五章一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.机动目录上页下页返回结束矩形面积梯形面积解决步骤:1)

大化小.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动目录上页下页返回结束3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知速度机动目录上页下页返回结束n

个小段过的路程为3)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限机动目录上页下页返回结束二、定积分定义(P226)任一种分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称

f(x)在[a,b]上可积

.记作机动目录上页下页返回结束积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即机动目录上页下页返回结束定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和机动目录上页下页返回结束定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:(证明略)例1.

利用定义计算定积分解:将[0,1]n

等分,分点为取机动目录上页下页返回结束注注目录上页下页返回结束[注]

利用得两端分别相加,得即例2.

用定积分表示下列极限:解:机动目录上页下页返回结束说明:机动目录上页下页返回结束根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森机动目录上页下页返回结束公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)证:=右端机动目录上页下页返回结束证:

当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取

c

为分点,于是机动目录上页下页返回结束当a,b,c

的相对位置任意时,例如则有机动目录上页下页返回结束6.

若在[a,b]上则证:推论1.

若在[a,b]上则机动目录上页下页返回结束推论2.证:即7.

设则机动目录上页下页返回结束例3.

试证:证:

设则在上,有即故即机动目录上页下页返回结束8.

积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7目录上页下页返回结束说明:

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.机动目录上页下页返回结束

积分中值定理对因例4.

计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:

已知自由落体速度为故所求平均速度机动目录上页下页返回结束内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理机动目录上页下页返回结束矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算思考与练习1.

用定积分表示下述极限:解:或机动目录上页下页返回结束思考:如何用定积分表示下述极限提示:极限为0!机动目录上页下页返回结束二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例第二节机动目录上页下页返回结束微积分基本公式

第五章一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.机动目录上页下页返回结束二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证:则有机动目录上页下页返回结束定理1.

若说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动目录上页下页返回结束例1.

求解:原式说明目录上页下页返回结束例2.确定常数a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得（p243例8)例3.证明在内为单调递增函数.证:只要证机动目录上页下页返回结束(p243例7）

三、牛顿–莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)

机动目录上页下页返回结束证:根据定理1,故因此得记作定理2.函数,则例5.

计算解:例6.

计算正弦曲线的面积（p241例4）.解:机动目录上页下页返回结束(p241例2）例7.

汽车以每小时36

km的速度行驶,速停车,解:

设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动目录上页下页返回结束车到停车走了多少距离?（p242例5）内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼兹公式2.变限积分求导公式公式目录上页下页返回结束备用题解：1.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.机动目录上页下页返回结束2.求解：的递推公式(n为正整数).由于