概率论基础-第一章1

概率论基础

曹刚

2009-08第一章随机事件及其概率

第二章随机变量第三章随机向量

第四章数字特征

第五章极限定理

内容提要1随机事件及其概率1.1

随机事件1.2

随机事件的概率1.3

条件概率1.4

独立性主观概率1.1随机事件1.1.1、随机现象、随机试验与样本空间1.1.2、随机事件1.1.3、事件间的关系与运算§1.1随机事件及其概率的统计定义

一、概率论的诞生及应用1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念─数学期望。概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律.概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域,例如天气预报,地震预报,产品的抽样调查;另外在经济、金融、保险；管理决策；生物医药；农业（试验设计等）等领域都有广泛应用.在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.

“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象

“可导必连续”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.1随机现象确定性现象的特征:

条件完全决定结果在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1

“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.2.随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.1随机现象结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.实例3

“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.实例2

“用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况”.结果:“弹落点会各不相同”.1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.1随机现象实例4

“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.其结果可能为:

正品

、次品.实例5

“过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”.实例6“一只灯泡的寿命”可长可短.随机现象的特征:条件不能完全决定结果1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.1随机现象2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量重复试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性

,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.

1.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;

2.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.定义在概率论中，把具有以下特征的试验称为随机试验E.3.其中，可以在相同的条件下重复进行的随机试验称为可重复的随机试验，否则称为不可重复的随机试验

1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.2随机试验说明

1.随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”、或“测量”等.实例

“抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况”.分析

2.随机试验通常用E来表示.(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.2.“从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验(2)试验的所有可能结果:正面，反面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验.3.记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.4.考察某地区10月份的平均气温.5.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.定义1

对于随机试验E，它的每一个可能结果称为样本点（ω），由一个样本点组成的单点集称为基本事件。所有样本点构成的集合称为E的样本空间或必然事件，用或S表示我们规定不含任何元素的空集为不可能事件，用表示。P(Ω)=1,P()=01.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.3样本空间TH1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.3样本空间THTHHHTT1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.3样本空间THTHHHTT1次0次2次1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.3样本空间在某一批产品中任选一件，检验其是否合格1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.3样本空间记录某大超市一天内进入的顾客人数

在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命

观察某地明天的天气是雨天还是非雨天

注：试验的样本空间是根据试验的内容确定的！在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命规定电视机的寿命超过10000小时时为合格品

满足这一条件的样本点组成的一个子集

称为随机试验的一个随机事件

1.1.2随机事件基本事件：随机试验有两个基本事件和

随机试验有三个基本事件、和样本空间的两个特殊子集

它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为必然事件

它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生称之为不可能事件

由一个样本点组成的单点集

随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件必然事件不可能事件是两个特殊的随机事件1.1.3、事件间的关系与运算研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件

研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定

子事件和事件积事件差事件互斥（互不相容）对立事件（逆事件）运算规律子事件等价的说法是：B不发生，则A也不发生。事件的相等若AB且BA，称事件A与B相等。即A与B中的样本点完全相同。记作A=B掷一颗骰子A表示点数小于3，B表示点数为1或2则A=B事件的和（并）推广实例

某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.图示事件

A与

B的并.

BA事件的积（交）图示事件A与B

的积事件.ABAB实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.和事件与积事件的运算性质事件的差事件A与B的差也记为：图示A与B的差ABB实例“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.A事件的互斥（不相容）“骰子出现1点”“骰子出现2点”图示A与B互斥AB互斥实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.说明当AB=时,可将AB记为“直和”形式A+B.

任意事件A与不可能事件为互斥.对立事件若事件A、B满足则称A与B为互逆(或对立)事件.A的逆记作事件间的运算规律事件间的运算规律完备事件组例1设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.(1)A出现,B,C不出现;(5)三个事件都不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;不多于一个事件出现;(7)至少两个事件出现;(8)恰好两个事件出现;解逆分配律例3某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，每个水源都足以供应城市的用水，设事件于是“城市断水”这一事件可表示为“城市能正常供水”这一事件可表示为甲乙12城市3

设x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置，试说明下列各事件的关系：A={x|x≤20}B={x|x>3}C={x|x<9}D={x|x<-5}E={x|x≥9}解：ACD,BED与B,D与E互不相容C与E为对应事件。B与C，B与A，E与A相容A与C,A与D,C与D,B与E也是相容的。符号 集合含义 事件含义Ω

全集 样本空间，必然事件Φ

空集 不可能事件ω∈Ω

集合的元素 样本点{ω} 单点集 基本事件AΩ

一个集合 一个事件AB A的元素在B中 A发生导致B发生A=B 集合A与B相等 事件A与B相等A∪B A与B的所有元素 A与B至少有一个发生A∩B A与B的共同元素 A与B同时发生Ā A的补集 A的对立事件A-B 在A中而不在B中的元素 A发生而B不发生A∩B=φ

A与B无公共元素 A与B互斥概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论样本空间,必然事件不可能事件基本事件随机事件A的对立事件A出现必然导致B出现事件A与事件B相等空间(全集)空集元素子集A的补集A是B的子集A集合与B集合相等小结事件A与事件B的差A与B两集合的差集事件A与B互不相容A与B两集合中没有相同的元素事件A与事件B的和A集合与B集合的并集事件A与B的积事件

A集合与B集合的交集1.2随机事件的概率古典概率统计概率几何概率主观概率概率的公理化

它是事件固有的,不随人们主观意愿而改变,可以在相同条件下通过大量重复试验予以识别和检验研究随机现象的统计规律性的数学学科什么是统计规律性统计规律性是指在大量试验中呈现出的数量规律概率是指刻划随机事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标符合常情：事件发生可能性大,该值就大,反之就小;不可能事件的值最小(0);必然事件的值最大(1)概率论？什么是概率？问题一问题二,这个数量指标应该满足：①②频率是否有统计规律性(一)频率设为一随机事件,在相同条件下进行

次重复试验令次试验中发生的次数称为事件的频数为事件的频率在一次试验中可能发生也可能不发生特性：一般地越大,则越大的值是“随机的”问？实验者实例一出现正面历史上有名的“抛硬币”试验0.5005

12012

24000皮尔逊

0.5016

6019

12000皮尔逊

0.5069

2048

4048蒲丰

0.5181

1061

2048德·摩根问有什么规律？“抛硬币”试验将一枚硬币连续抛次，记“蒲丰投针试验”实例二记投针的总数为,针与平行线相交的次数为则？考察英语文章中26个字母出现的频率，当观察次数较大时，每个字母出现的频率呈现稳定性，下面是

Dewey

统计了438023个字母得到的统计表实例三0.00060.00090.00100.00160.0060频率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244频率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594频率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268频率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060频率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244频率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594频率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268频率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060频率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244频率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594频率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268频率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母如果一颗骰子六个面是均匀的，则当很大实例四在“掷骰子”试验中，记事件出现点将一棵骰子连续掷次，问有什么规律？分析时有应有由于频率的取值是“随机的”，那么极限

是什么意思值得研究（后面讨论该问题）随机事件的统计规律性频率的稳定性当

很大时,事件的频率接近一个常数,即有注①②常数

就是事件

发生的可能性大小,即概率

这三条性质刻画了频率的本质特征,启发我们定义事件的概率频率的基本性质若是两两不相容事件,则有限可加性？非负性：规范性：(二)概率的公理化定义设为可测空间与之对应,且满足若存在实数①②③可列可加性：对两两不相容的事件列有则称为事件的概率,称概率空间为？样本空间全体事件构成的事件域σ可加性1933年苏联的柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化体系定义(三)概率的基本性质性质①证因为概率为实数,故性质②若是两两不相容的事件,则证故由可列可加性，有有限可加性概率加法定理证明：只要证明P(A+B)=P(A)+P(B)即可，这里根据古典概型来证明．设试验的样本空间Ω共有N个等可能的基本事件，事件A包含M1个基本事件，事件B包含M2个基本事件．由于事件A与B是互不相容的，因此A与B的并A+B所包含的基本事件共有M1+M2个．于是有

P(A+B)=(M1+M2)/N=M1/N+M2/N=P(A)+P(B)推论2对立事件的概率和等于一：性质③若则证因互不相容,故由有限可加性有再由概率非负性得事件解释为区域概率解释为区域面积事件与概率的图示性质④性质⑤性质⑥对任何事件有(加法公式)对于三事件有挖挖挖补由定义证明由图可得又由定理２

得因此得挖补原理多事件的加法公式对于

个事件，有全加减二加三挖补规律:加奇减偶减四甲参加有奖问答竞猜活动，他能答出第一道题的概率是0.8，能答出第二道题的概率是0.3，例1两道题都能答出的概率是0.2，试求：（1）能答出第一道题而答不出第二道题的概率（2）至少有一道题能答不出的概率（3）两道题都答不出的概率解已知？？0.80.3（1）（2）（3）？等可能型概率“抛硬币”、“掷骰子”等随机试验的特征：怎样计算等可能概型中事件的概率(一)古典概型每个基本结果的出现是等可能的只有有限个基本结果等可能概型设随机试验的样本空间为若①②只含有限个样本点,即每个样本点的出现是等可能的,即则称该试验为等可能概型古典概型,也称为

问？(一)古典概型等可能概型的概率计算设是等可能概型的任一事件，则有样本点总数包含的样本点个数有利场合古典概型的概率计算公式样本点总数包含的样本点个数样本点总数包含的基本事件个数样本点总数的有利场合数抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率该试验的样本空间为他计算得解例这是一个古典概型,事件“一个正面一个反面”的有利场合是

18世纪著名的法国数学家达朗贝尔取样本空间为这不是等可能概型！小趣闻解：为简便，每位数字有10种选择。基本事件总数是106。事件A表示找到张某，则A只有一个基本事件。例

随意拨一个6位电话号码，正好找到朋友张某的概率。故所求概率为解例袋中有

只白球，

只红球.从袋中任取

只球，求取到

只白球的概率.从

只球中任取

只，样本点总数为取到

只白球的有利场合数为排列与组合选排列当

时，称为全排列，计算公式为从

个不同的元素中,任取

个元素,按照一定的顺序排成一列，全部排列个数为全排列组合从

个不同的元素中,任取

个元素并成一组，全部组合数为取数与次序有关排列的特点取数与次序无关组合的特点解ABAB（先从4双中取2双，再从每双中任取一只）（先从５双中取４双，再从每双中任取一只）（先从５双中取出１双，在从剩下的８只鞋中取２只）例3

在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”则所求概率为解于是所求概率为加法原理第一类方法有

种方法第二类方法有

种方法

第

类方法有

种方法……做一件事共有

类方法完成这件事的方法总数乘法原理第一步有

种方法第二步有

种方法

第步有

种方法……做一件事共有

个步骤完成这件事的方法总数古典概型的基本模型:摸球模型(1)无放回地摸球问题1

设袋中有M个白球和

N个黑球,现从袋中无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?样本点总数为A所包含的样本点个数为解设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球}(2)有放回地摸球问题2

设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.解第1次摸球10种第2次摸球10种第3次摸球10种6种第1次摸到黑球6种第2次摸到黑球4种第3次摸到红球样本点总数为A所包含样本点的个数为古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量不限制问题1

把

4个球放到

3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.

4个球放到3个杯子的所有放法因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为(2)每个杯子只能放一个球问题2

把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球的概率.解第1至第4个杯子各放一个球的概率为将只球随机地放入

个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率。

任一只球进任一盒子是等可能的,故这是古典概型问题故所求概率为样本点总数为“每个盒子至多有一只球”的有利场合数为解例分析基本事件很多问题都可以归结为摸球模型摸球模型的应用实例概率论历史上有名的问题---生日问题参加某次聚会共

个人,求没有两人生日相同的概率分析只球个人个人生日各不相同,则天个盒子至少有两人生日相同结果有点出乎人们意料注记

在实际应用中，概率非常接近1的事件可近似地看成必然事件，称为几乎必然事件概率非常小的事件，称为小概率事件实际推断原理:小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的

(匹配问题)将四把能打开四间不同房门的钥匙随机发给四个人,试求至少有一人能打开门的概率.由对称性及乘法原理得不妨给门和钥匙编上号.则所求概率为解例记第把钥匙打开号门

50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱,每个部件用3个铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解例记第

个部件强度太弱因只有个铆钉强度太弱,故互不相容故发生一个部件强度太弱的概率是问按古典概型公式怎样计算？任选个铆钉装在一个部件上作为基本事件故样本点总数为而有利场合数为故所求概率为先从10个部件选出一个,再将3个强度太弱的铆钉全装上古典概型的特点：(二)几何概型基本事件的等可能性有限个样本点问题question

怎样推广到“无限个样本点”而又有某种“等可能性”？

认为任一点能钻探到石油是等可能的,则所求概率为

某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，问能够发现石油的概率是多少？解例发生的概率定义为如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则“面积”改为“长度”、“体积”几何概型的定义设随机试验的样本空间为有界区域事件试验结果落在区域