大学物理课件：质点的角动量及其守恒定律

转动定律例题五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq从等倾角处静止释放两匀直细杆地面求两者瞬时角加速度之比bb解法提要MbIbbMIMI213singmLq1mLsingmLq1mL32122根据1L1LLL2短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关第一节角动量与角动量守恒定律质点的角动量及其守恒定律5-2ssssangularmomentumandlawofconservationofangularmomentum一、角动量angularmomentumrqOmv速度位矢质量角夹rv大小：Lrqmvsin方向：rmv()rvLq定义：rpLrmv运动质点mO对

点的角动量为角动量与角动量守恒定律质点的角动量及其守恒定律Angularmomentumandlawofconservationofangularmomentumaboutparticle大量天文观测表明地球绕太阳时rqmvsin常量问题的提出二、质点的角动量定理及其守恒定律theoremofparticalangularmomentumanditsconservation地球上的单摆OmqvrLmvr大小会变L变太阳系中的行星OrvmqsinqLmvr大小未必会变。靠什么判断？L变变变Lvrmsin大小Lmvrq质点对的角动量mO问题的提出质点角动量定理导致角动量随时间变化的根本原因是什么？LddtL思路：分析与什么有关？+()由Lvrm则ddtLddtrvmddtrvmrddt(vm)0vmv(两平行矢量的叉乘积为零)mdvdtmaF得ddtLrF角动量的时间变化率质点对参考点的mO位置矢量ddtLr所受的合外力F等于叉乘质点的角动量定理微分形式ddtLrF是力矩的矢量表达：rF而OrFmd即力矩rFM大小MFrsin方向垂直于rF所决定的平面，由右螺旋法则定指向。Fdqq得质点对给定参考点的mOddtLrFM角动量的时间变化率所受的合外力矩称为质点的角动量定理

的微分形式如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。积分形式质点的角动量定理也可用积分形式表达ddtLM由,dLMdt0ttdLMdtL0LLL0称为冲量矩角动量的增量这就是质点的角动量定理

的积分形式例如，单摆的角动量大小为L=

mvr,v为变量。

在t=0时从水平位置静止释放，初角动量大小为L0=mv0r=0；时刻t

下摆至铅垂位置，

角动量大小为L⊥

=

mv⊥r。则此过程单摆所受的冲量矩大小等于

L-L0=mv⊥r=

mr

2gr

。归纳归纳质点的角动量定理ddtLrFM角动量的时间变化率所受的合外力矩0ttdLMdtL0LLL0冲量矩角动量的增量微分形式积分形式特例：当M0时，有LL00即LL0物理意义：当质点不受外力矩或合外力矩为零（如有心力作用）时，质点的角动量前后不改变。质点角动量守恒质点的角动量守恒定律ddtLM根据质点的角动量定理

rFM()若MrF0则ddtL0即L常矢量当质点所受的合外力对某参考点的力矩OmM为零时，质点对该点的角动量的时间变化率为ddtLL零，即质点对该点的角动量守恒。质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律称为若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积定律证明证：时刻m对O的角动量大小为tLrvmddtrrmsinqrmddtsmddtsh2mAddt即LAddt2m因行星受的合外力总指向是太阳，角动量守恒。hmsdOrdr+dtt()t)(r+drqAd21Addrh21sdhdt瞬间位矢扫过的微面积L则LAddt2m常量（称为掠面速率）故，位矢在相同时间内扫过的面积相等质点系角动量四、质点系的角动量定理theoremofangularmomentumofparticalsystem质点系的角动量质点系的角动量LSiLirSiimivi各质点对给定参考点的角动量的矢量和惯性系中某给定参考点m12m3mr13r2r3v2vv1O质点系角动量定理质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式微、积分形式质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理的微分形式质点系所受的0tdtMtdLLL0LL0质点系的冲量矩角动量增量质点系的角动量定理的积分形式

若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。质点系角动量守恒质点系的角动量守恒定律0tdtMtdLLL0LL0ddtLSiMi外M由若,M0则LL0或L恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。随堂小议（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略P5.5(1)小议分析Om12mv12vR同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系m12m,若m12m系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量m1v1R2m2vR0得2vv1不论体力强弱，两人等速上升。若m12m系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。第四节刚体的角动量与转动惯量5-3sssslawofconservationofangularmomentumofrigid-body刚体的角动量刚体的角动量一、定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加

所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量mri其角动量大小Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部质元的总角动量L∑Liw∑2mriri()wI对质量连续分布的刚体L∑LiwwIm2r()dLwI定轴转动刚体的角动量大小方向L与同绕向wLw或与沿轴同指向角动量转动惯量rmirmiFiOriij瞬时角速度w角加速度瞬时b再推导刚体的定轴转动定律bIM刚体的转动定律即bMIMI刚体所获得的角加速度

的大小与刚体受到的

b合外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比。刚体的角动量定理wbML1.刚体的角动量定理IItdd()dtdtddIw合外力矩角动量的时间变化率（微分形式）（积分形式）L112d2121dt2ttMLLLLIwIw冲量矩角动量的增量刚体的角动量定理刚体的角动量定理回忆质点的角动量定理（微分形式）（积分形式）0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM刚体系统的角动量定理2.刚体系统的角动量定理若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体系统的总合外力矩∑MiLtdd∑i系统的总角动量的变化率1dt2ttM系统的总冲量矩系统的总角动量增量∑()1LLii2系统：轻绳mm1（忽略质量）总合外力矩对O的角动量mm1对O的角动量gm1RLmLm1Iw21mR2wm1vRmR2w∑Mi∑MiLtdd∑i由得gm1Rtdd同向(21mR2w+mR2w)21m(m1+)R2wtddwtddb而解得bgm121m(m1+)R例如wOvm1gm1mRR静止释放b求角加速度主要公式归纳刚体MLtdd（微分形式）（积分形式）刚体系统角动量定理∑MiLtdd∑i1dt2ttM∑()1LLii21dt2ttM1LL2刚体的归纳：IwL角动量关键式：IwLMLtdd是矢量式IwLMLtdd与质点平动对比mvpFtddp刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量定理由MLtdd刚体所受合外力矩M0若则Ltdd0即LIw常矢量

当刚体所受的合外力矩等于零时，MIw

刚体的角动量保持不变。刚体的角动量守恒定律回转仪定向原理LwI万向支架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒LwI恒矢量回转仪定向原理wI其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响基座回转体（转动惯量）Iw角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘积保持不变，Iw变大则Iw变小。收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘积保持不变，Iw变大则I