电路的拉普拉斯变换分析法

关于电路的拉普拉斯变换分析法第一页，共六十八页，2022年，8月28日7.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是求解常系数线性微分方程的工具。设一个变量t的函数f(t)，在任意区间能够满足狄利赫利条件（一般电子技术中处理的函数都满足这一条件）

拉氏正变换f(t)：原函数；F(S)：f(t)的象函数。

0<t0)(=tf0t³ò¥-0)(dtetfst为有限值积分下线0-后面讨论中写成0拉氏正变换第二页，共六十八页，2022年，8月28日例用定义求f(t)象函数。其中a为实数，且a>0。

解根据拉氏变换的定义tjtateews---¥®=)(lim=0称为收敛域

第三页，共六十八页，2022年，8月28日拉氏反变换拉氏正变换拉氏反变换拉氏变换对由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换下面来讨论一些常见函数的拉普拉斯变换工程中常见的函数(除少数例外)有下列两类:(1)t的指数函数；(2)t的正整幂函数。许多常用的函数如阶跃函数、正弦函数、衰减正弦函数等，都可由这两类函数导出。第四页，共六十八页，2022年，8月28日

7.1.1指数函数

(a为常数)由定义可得的拉普拉斯变换为由此可导出一些常用函数的变换：1、单位阶跃函数e(t)

a=0第五页，共六十八页，2022年，8月28日2、正弦函数sinwte(t)

故有第六页，共六十八页，2022年，8月28日3、余弦函数coswte(t)

故有第七页，共六十八页，2022年，8月28日4、衰减正弦函数

(t)sineatwe-故有5、衰减余弦函数

(t)coseatwe-与衰减正弦函数相类似可得第八页，共六十八页，2022年，8月28日6、双曲线正弦函数shbte(t)

故有7、双曲线余弦函数chbte(t)

与双曲线正弦函数相类似可得第九页，共六十八页，2022年，8月28日

7.1.2t的正幂函数

(n为正整数由定义可得的拉普拉斯变换为设则亦即第十页，共六十八页，2022年，8月28日依次类推，则得当n=1时，有第十一页，共六十八页，2022年，8月28日7.1.3冲激函数Ad（t）冲激函数的定义可得对于单位冲激函数来说，可令上式A=1，即得：书中表71给出了一些常见函数的拉普拉斯变换第十二页，共六十八页，2022年，8月28日拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。（2）对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些超越函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。拉氏变换法的优点：（1）求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对于换路起始时有突变现象的问题处理更方便；第十三页，共六十八页，2022年，8月28日7.2拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便地求出一些较为复杂函数的象函数，同时通过这些基本性质可以将电路在时域内的线性常微分方程变换为复频域内的线性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。

7.2.1

线性特性若f1(t)

F1(s)Lf2(t)LF2(s)则)()(2211tfatfa+L)()(2211sFasFa+a1，a2为任意常数

第十四页，共六十八页，2022年，8月28日证明求函数的象函数例解7.2.2

尺度变换若f(t)

F(s)L则f1(at)

La为大于零的实数

第十五页，共六十八页，2022年，8月28日证明令x=at

7.2.3

时间变换若f(t)

F(s)LL0tf(t)0tt0f(t-t0)第十六页，共六十八页，2022年，8月28日证明令t0为常数

则例解求图中所示的锯齿波的拉普拉斯变换

0tf(t)ETt0tfa(t)0tTfc(t)0-ETfb(t)=++第十七页，共六十八页，2022年，8月28日由线性性质第十八页，共六十八页，2022年，8月28日时间平移特性还可以用来求取有始周期函数(t≥0时呈现周期性的函数

,在t＜0范围函数值为零)的拉普拉斯变换

f(t)为有始周期函数，其周期为T，f1(t)、f2(t)…分别表示函数的第一周期，第二周期，…的函数

，

由于是周期函数，因此

f2(t)可看成是

f1(t)延时一个周期构成的，

f3(t)可看成是

f1(t)延时二个周期构成的，依此类推则有

第十九页，共六十八页，2022年，8月28日根据平移特性，若则f(t)为有始周期函数，其周期为T，拉普拉斯变换等于第一周期单个函数的拉普拉斯变换乘以周期因子

例求图中半波正弦函数的拉普拉斯变换0tET23T25T2T2Tf(t)第二十页，共六十八页，2022年，8月28日解先求第一个半波f1(t)的拉普拉斯变换

0tEf1(t)3T2T2T0tET2f1b(t)||3T2T2T0tET2f1a(t)+有始正弦函数的拉普拉斯变换为故根据时间平移特性可得第二十一页，共六十八页，2022年，8月28日半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为第二十二页，共六十八页，2022年，8月28日7.2.4

频率平移特性若f(t)

F(s)L则证明7.2.5

时域微分特性L若f(t)

F(s)L则证明第二十三页，共六十八页，2022年，8月28日由上式应用分部积分法，有式中于是可得应用上式的结果可得依此类推，可得第二十四页，共六十八页，2022年，8月28日如果f(t)及其各阶导数的初值为零。则上式变为

例解若电容元件C的端电压uC(t)的拉氏变换式为UC(s)求电容C中电流的象函数IC(s)。

应用微分性质IC(s)=L[iC(t)]=L[C]=C[sUC(s)uC(0-)]=CsUC(s)CuC(0-)dttduC)(如果C的端电压初始值uC(0-)=0IC(s)=CsUC(s)则有第二十五页，共六十八页，2022年，8月28日7.2.6

时域微分特性L若f(t)

F(s)则证明对上式进行分部积分，得=0则如函数的积分区间不由0开始而是由-∞开始则因为第二十六页，共六十八页，2022年，8月28日故有将积分性质广到多重积分同前面—样，此处的0意味着0-书中表7–2列出了拉普拉斯变换的基本性质。则有第二十七页，共六十八页，2022年，8月28日7.3拉普拉斯反变换利用拉普拉斯变换法对电路进行暂态分析，最终结果必须返回时域，就是说还要进行拉普拉斯反变换。求拉氏反变换最简单的方法是查拉氏变换表因为变换表中只列出了常用的一些函数，它不可能将一切函数都包括在内。因此，下面介绍一种基本的方法，部分分式法。第二十八页，共六十八页，2022年，8月28日利用拉普拉斯变换分析电路的暂态过程时所遇到的象函数一般都是s的实系数有理函数，它的结果可表示成两个多项式之比，即式中的诸系数an,bn都是实数，m、n都是正整数。

如m≥n时，可以将假分式可分解为多项式与真分式之和。N(S)=0的根被称为F(S)的零点；

D(S)=0的根被称为F(S)的极点。

为了分解F(s)为部分分式，只需讨论D(s)=0的根。第二十九页，共六十八页，2022年，8月28日7.3.1D(s)=0均为单根，即无重根的情况（设m<n）因D(s)是s的n次多项式，故可分解因式如下由于D(s)无重根，故sn都不相等，F(S)写成部分分式的形式为A1，A2，...Ak...An为待定系数，称为F(s)在各极点处的留数。Ak如何确定？第三十页，共六十八页，2022年，8月28日令将等式的两边乘以(s-sk)第三十一页，共六十八页，2022年，8月28日在求出了部分分式的Ak各值之后，就可以逐项对部分分式求拉氏反变换，得F(s)的原函数为 由此可见，象函数的拉氏反变换，可表示为若干指数函数项之和第三十二页，共六十八页，2022年，8月28日例1

解求的原函数。首先将F(s)化为真分式将分母进行因式分解将F(s)中的真分式写成部分分式第三十三页，共六十八页，2022年，8月28日求真分式中各部分分式的系数第三十四页，共六十八页，2022年，8月28日于是F(s

)可展开为其原函数为注意：在对假分式进行反变换时，应首先将假分式变为真分式，然后再进行部分分式分解。第三十五页，共六十八页，2022年，8月28日例２

解求的原函数。先将分母分解因式得是一对共轭复数方法一由第三十六页，共六十八页，2022年，8月28日由于为一对共轭值，A1，A2则也必为共轭值，所以A2可由A1直接求得。于是对上式逐项求反变换，并加以整理得第三十七页，共六十八页，2022年，8月28日方法二当D(s)为二次三项式，且D(s)=0的根为一对共轭复数时，还可以使用更简便的方法求原函数。即将分母配成二项式的平方，将一对共轭复根作为一个整体来考虑。F(s)可配方为直接查阅拉普拉斯变换表可得计算步骤大为简化第三十八页，共六十八页，2022年，8月28日例３

解求的原函数。象函数F(s)不是有理函数，部分分式分解的方法无法直接应用，这时可先将F(s)改写成其中分别都是有理函数，可用部分分式法分解

根据时间平移性质可知的原函数，就等于F2(s)的原函数再平移2个时间单位的结果。第三十九页，共六十八页，2022年，8月28日分别求F1(s)，F2(s)的原函数于是可得第四十页，共六十八页，2022年，8月28日7.3.2D(s)=0的根有重根的情况（设m<n）设D(s)=0在s=s1处有p阶重根，这时可将F(s)写成下面的形式把F(s)展开成部分分式A2，A3，...An-p

各留数仍可照无重根的情况求取第四十一页，共六十八页，2022年，8月28日A12、A13、...A1p各留数，不能再采用这种方法。因为这样将使导数分母中出现“0”值，而得不出结果。留数A11的求取，可将等式的两边乘以令s=s1于是为此，引入辅助函数第四十二页，共六十八页，2022年，8月28日对s微分得显然同理依此类推，得一般形式为第四十三页，共六十八页，2022年，8月28日确定了系数，就可根据拉普拉斯变换直接，求取原函数。所以F(s)对应的原函数因为第四十四页，共六十八页，2022年，8月28日例

解求

的原函数。

D(s)=0有四个根，一个二重根s1=1和s2=0，s3=3两个单根其中各待定系数分别确定如下故部分分式可表示为第四十五页，共六十八页，2022年，8月28日故得取反变换得以上介绍了用部分分式法求拉氏反变换的基本方法。在分析具体问题时，可根据F(s)的分母有无重根分别用前述两种方法求各极点的留数，只要这些留数一经求得，就能得出反变换。第四十六页，共六十八页，2022年，8月28日7.4复频域电路用拉氏变换分析电路暂态时可不必写出微分方程再进行变换，可先将时域电路变成复频域电路模型，再根据复频域电路直接写出运算形式的电路方程，使计算过程更为简化。根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。7.4.1电阻元件Ri(t)u(t)在时域中，有第四十七页，共六十八页，2022年，8月28日RI(s)U(s)Ri(t)u(t)设，等式两边取拉氏变换，得

时域形式复频域形式第四十八页，共六十八页，2022年，8月28日7.4.2电容元件Ci(t)u(t)在时域中，有令对等式取拉氏变换并应用积分性质得第四十九页，共六十八页，2022年，8月28日I(s)U(s)1sCuC(0-)s容端电压的象函数（称象电压）由两部分组成：第一部分是电流的象函数（称象电流）与运算形式的容抗（简言容抗）的积；第二部分相当于某阶跃电压的象函数，称为内运算电压源。电容C在复频域中串联形式的电路模型第五十页，共六十八页，2022年，8月28日I(s)U(s)sCCuC(0-)象电流也由两部分组成：第一部分是sC（称容纳）和象电压UC(s)的乘积；第二部分相当于某电流源的象函数，称内运算电流源。电容C在复频域中并联形式的电路模型第五十一页，共六十八页，2022年，8月28日7.4.3电感元件在时域中，有Li(t)u(t)令L[u(t)]=U(s),L[i(t)]=I(s)，对上式取拉氏变换或I(s)U(s)Li(0-)sL1sLI(s)U(s)i(0-)s感抗内运算电压源内运算电流源串联形式的电路模型并联形式的电路模型第五十二页，共六十八页，2022年，8月28日7.4.4互感元件在时域中，有L1i2(t)L2Mi1(t)u1(t)u2(t)sL1I2(s)sL2sMI1(s)U1(s)U2(s)L1i1(0-)Mi2(0-)L2i2(0-)Mi1(0-)对等式两边取拉氏变换有互感运算阻抗附加电压源的方向与电流i1、i2的参考方向有关。附加的电压源耦合电感元件复频域形式第五十三页，共六十八页，2022年，8月28日7.4.5受控源线性受控源电路，在时域电路中满足U1(s)=I1(s)R，U2(s)=U1(s)u1=i1R，u2=u1对等式两边取拉氏变换有R1i1u1mu2u1mU2(s)U1(s)R1U1(s)I1(s)线性受控源受控源的复频域形式第五十四页，共六十八页，2022年，8月28日把时域电路变换成它的等效运算电路（复频域电路）以RLC串联电路为例

RSu(t)(t=0)uCCi(t)LRSU(s)(t=0)I(s)Li(0-)sL1sCuC(0-)s

RLC串联电路

等效运算电路由等效运算电路可直接写出电路的运算形式的代数方程第五十五页，共六十八页，2022年，8月28日即RLC串联电路的运算阻抗

RLC串联电路的运算导纳

式中或者运算形式的欧姆定律在零值初始条件下，i(0-)=0，uC(0-)=0，则有

第五十六页，共六十八页，2022年，8月28日在画复频域电路时，应注意电路中的电压、电流均用象函数表示，同时元件用运算阻抗或运算导纳表示，且电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。例Ee(t)i1RRLCLi2I1(s)RRLsLI2(s)1sCEs

时域电路复频域电路第五十七页，共六十八页，2022年，8月28日7.5

电路的拉普拉斯变换分析法拉普拉斯变换法把时间函数变换为对应的象函数，把线性电路的求解归结为求解以象函数为变量的线性代数方程。对任一回路对任一节点对于复频域电路，两类约束关系为第五十八页，共六十八页，2022年，8月28日应用拉氏变换分析线性电路的步骤：（4）通过拉氏反变换得出时域中响应电压和电流。（2）画出换路后的等值运算电路；（3）应用电路分析方法求出响应电压、电流的象函数；（1）求出换路前电路中所有电容元件上的初始电压uc(0-)和所有电感元件上的初始电流iL(0-)；第五十九页，共六十八页，2022年，8月28日例1解电路如图所示，，开关s闭合前电路处于稳态，在t=0时开关S闭合，求电路中iL及uC

1000μF0.1HuC200ViLS10Ω30Ω开关闭合前电路已处于稳态，所以

已知可得运算电路0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)第六十页，共六十八页，2022年，8月28日0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)I1(s)I2(s)设回路电流为I1(s)、I2(s),应用回路电流法，可列出方程为解得求其反变换得原函数为第六十一页，共六十八页，2022年，8月28日电容上的电压为一般来说，二阶或二阶以上的电路不用时域分析，而采用复频域法求解更简便。0.1s3010IL(s)100s1000s