经典力学：习题课9-波动

《力学》习题课第9次波动例9.1试导出空气声波的波动方程和波速p1p2xx+△x以x→x+△x一段空气为研究对象，左端受到压强：P1；右端受到压强：P2绝热过程：由于波扰动导致的体积相对变化对上式求导得或即所以设管的截面积为s，空气密度为ρ，有所以声波的波动方程为声速式中：R－气体普适常量，T－绝对温度；Mmoi－气体的摩尔质量再由理想气体状态方程又有声速（1）视空气为理想气体，试证声速u与压强p的关系为，与温度T

的关系。

式中γ为气体摩尔热容之比，ρ为密度，R为摩尔气体常数，M为摩尔质量。（2）求0℃和20℃

时,空气中的声速。（空气γ=1.4，M=2.89×10-2kg.mol）例9.2假如在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量，声波的传播过程可看作绝热过程.【解】（1）体中纵波的速度再由理想气体状态方程而绝热过程即则有得到故有（2）求0℃和20℃

时,空气中的声速。（空气γ=1.4，M=2.89×10-2kg.mol）【解】（2）。由（1）例9.3在室温下，已知空气中的声速u1为340m/s，水中的声速u2为1450m/s

，求频率为200Hz和2000Hz

的声波在空气中和水中的波长各为多少？在水中的波长分别为：【解】频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中的波长分别为：由例9.4试导出柔弦（绳）中横波的波动方程与波速。【解】设弦很长，其线密度为ρ，并以张力T将其拉紧，在弦上施以横向扰动，该扰动将以一定速度向前传播。在弦上取一小段ab，坐标为x→x＋△x，设坐标x处的位移为y，由于扰动很小，可认为有扰动的弦中张力的纵分量与无扰动时相同，因而纵向分量相互抵消，而横向分量导致这段弦产生横向运动加速度。ab段的横向合力设ab段两端受到的张力为Ta、Tb，故纵向分量为而得到即波动方程波速为例9.5一波的频率为20s-1，波速为80m.s-1，振幅为0.02m，求：波的相位相差45°的两点之间的距离；在给定点处，时间相隔0.01s的两位移之相位差；在一给定点处，时间相隔0.01s的质元的两个位置的最大距离；在一给定点处，质元的振动相位相差45°的质元的两个位置的最大距离。【解】1.由解得2.由3.由这里可用振幅矢量法求合振动的振幅，即任一质元在时间间隔0.01s的两个位置的最大距离。4.例9.6一平面简谐波以50m/s的速率眼x负向传播，在t=1s时的波形如图示，写出此波的运动学方程，并画出t=1s时各质元的图示。【解】有图可知已知得到波的运动学方程为：初相位α待定在t=1s时，在x=0处，即有，因为所以在第四象限得到此波的运动学方程为：由在t=1s时，各处质元的为图示为例9.7S1、S2是两相干波源，相距1/4波长，S1比S2相位超前π/2。设两波在S1、S2连线上的强度相同，均为I0，且不随距离变化，问S1、S2连线上，在S1外侧各点处的强度I1多大？在S2外侧各点处的强度I2多大？【解】取S1、S2连线方向为x轴的正方向，原点取在S1处（见图）S1发出的波的表达式为：S2发出的波的表达式为：y2表达式为：用在S1外侧，在S2外侧，故合成波的强度：故合成波的强度：例9.8一平面余弦波在媒质1中沿x轴正向传播，已知a点在x轴原点O的左侧，距离为d，振动表达式为：y=Acosωt。在x轴原点O的右侧L处有一厚度为D的媒质2。在媒质1和媒质2中的波速分别为u1和u2，且ρ1u1<ρ2u2。写出：I区中入射波的表达式在S1面上反射波的表达式在S2面上反射波在I区中的表达式若要使上述两列波在I区内叠加后合振幅最大，媒质2的厚度至少为多厚？uyxodLDPaI区II区S1S2【解】（1）任意点P的振动相位比a点落后I区中入射波的表达式为（2）入射波在S1面引起质元振动的表达式为反射波在I区中的表达式为考虑在S1面上，反射波引起质元振动的相位较之入射波有π的跃变。（因为ρ1u1<ρ2u2)应有即所以反射波表达式（3）入射波在S2面引起质元振动的表达式为在S2面上反射时没有相位跃变，所以反射波经过II区有回到I区的波动表达式为：（4）欲使这两列波在I区中叠加后振幅最大的条件为即有当k＝0时有最小厚度例9.9小提琴弦长L，质量线密度为ρ，张力为T。用手指按弦的中点，试求基频和一次谐波的频率；在弦的一端L/3长度上均匀包缠细线，使其现密度增加为4ρ，放开手指，试求基频，并写出线上各点的振动表达式。【解】（1）手指按住中点，参与振动的弦长为L/2，其两端应为驻波的波节。基频波长满足：即弦上的波速基频弦上各点振动表达式一次谐波的频率弦上各点振动表达式（2）放开手指后，参与振动的弦长为L。左端L/3缠上细线后，左右两部分波速不同。为了得到稳定的驻波，在不同质量密度的交接点应为波节。xLL/3O左端基波波长、波速、基频分别为右端基波波长、波速、基频分别为左端弦上各点振动表达式为由于连接点为波节，两侧振动的相位相反，即右端弦上各点振动表达式为连接点两侧的张力大小相等，且张力的横向分量相等，即有代入得于是得例9.10飞机在上空以速度v＝200m/s作水平飞行，发出频率f0＝2000Hz的声波。静止在地面上的观察者测定飞机发出的声波的频率。当飞机越过观察者上空时，观察者在4s内测出的频率从f1＝2400Hz降为f2＝1600Hz。已知声波在空气中的速度u＝330m/s。试求飞机的飞行高度。ABM观察者hαβv飞机【解】设飞机在4s内从A点飞到B点，飞行高度为h。由多普勒效应公式解得声源在AM方向的分速度声源在BM方向的分速度又由解得而可得例9.11海底超声探测器发出一束30000Hz的超声波，它被向着探测器驶来的潜艇反射回来。反射波与入射波合成后，得到频率为241Hz的拍音，求该潜艇的速度。（超声波在海底的波速为1500米/