高数下册-第七章7-3三重积分_第1页
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文档简介

三重积分中的各部分的名称————积分号————积分区域f(x

y

z)——被积函数f(x

y

z)dv—被积表达式dv————体积元素

x

y

z———积分变量

定理1

实质：积分区域是一个柱面，而其底与顶可以是曲面

及在上连续

其中在上连续则方法1：投影法：解如图，解解如图,将投影到平面得先对积分，再求上二重积分,

定理2

实质：先二重积分后定积分的方法

一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分

设积分区域为{(xyz)|(xy)Dzazb}

其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域则

解原式例其中解法1

用投影法,“先一后二”解法2

用截面法,“先二后一”空间点的柱面坐标

2

在柱坐标下的计算公式

设M(x

y

z)为空间内一点并设点M在xOy面上的投影P

的极坐标为P(r

)

则这样的三个数r、

、z就叫做点M的柱面坐标这里规定r、、z的变化范围为

0r<02

<z<

由图可知柱面与直角坐标的关系是三组坐标面：

r＝常数（圆柱面）＝常数（半平面）

z＝常数（水平平面）三组坐标面族去分割空间区域，其任一小块的体积可以近似看成以为底，为高的柱体体积。体积元素因此则积分区域在柱面坐标系下的表示为：在柱面坐标系下则三重积分化为柱面坐标的三次积分：例其中解法3

用柱坐标例

计算其中是由上半球面和旋转抛物面

所围成的区域.解

将积分区域向xoy面投影，得柱面坐标例

计算其中是由曲面与平面围成的区域.解

在xoy面上的投影区域为圆域:所以

例计算其中若上例中的积分区域改为则由对称性，有三用球面坐标计算三重积分设M（x,y,z）为空间一点，如果将x，y，z改用另外三个数r，，来表示,则称（r，，）为点M的球面坐标。球面坐标与直角坐标的关系对应坐标面：r=常数,以O为中心的球面

=常数,过z轴的半平面

=常数,以原点为顶点,z

为轴的圆锥面.xyzo=常数r=常数=常数分割空间区域，其任一小块的体积可以近似地看成是长为、宽为、高为的长方体体积积分元素其中

一般将右端的形式化为先对r、次对、最后对的三次积分来计算。三重积分在球面坐标系下的形式：

一般地，空间区域包含原点在其内部，边界曲面为则有例如当为球面时例求半径为的球面与半顶角为的内接圆锥面所围成的立体的体积。

解：将用球面坐标表示成不等式：例.

解:(1)4.在一般变量变换下的计算公式定理3设函数在有界闭区域上连续,又设变换在上连续,有连续的偏导数,将一一对应地变到,且变换的雅可比行列式则柱坐标变换的雅可比行列式=r球坐标变换的雅可比行列式广义球坐标变换

例.

计算其中是由曲面所围成的区域.解:作变换而球面方程柱面球面柱面方程直角坐标系小结1.柱面坐标系下两种坐标系下三重积分的计算由柱面与直角坐标的关系体积元素若则且被积函数含有常用极坐标

且被积函数含有常用极坐标

的侧面由圆柱面或且被积函数含有常用柱坐标

2.球面坐标由球面坐标与直角坐标的关系：三重积分在球面坐标

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