2017名师一号文科-第2章2节

第二章函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最值查清·基础知识探究·命题热点最新考纲1.理解函数的单调性及其几何意义。2.会运用函数图象理解和研究函数的性质。3.会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义。C查清·基础知识1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是________或________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，________叫做f(x)的单调区间。2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有_______；②存在x0∈I，使得__________①对于任意x∈I，都有__________；②存在x0∈I，使得__________结论M为最大值M为最小值增函数减函数区间Df(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M××××(5)函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)内是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)。(

)(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到。(

)(7)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数。(

)×√×2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)内是(

)A．递减函数 B．递增函数C．先递减再递增 D．先递增再递减解析作出函数y＝x2－6x＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增。答案C3．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增的”(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析①当a＝0时，f(x)＝|x|在区间(0，＋∞)内单调递增；②当a<0时，结合函数f(x)＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)内单调递增；③当a>0时，结合函数f(x)＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合。所以“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C。答案C21T探究·命题热点考点一

函数单调性的判断与证明

【规律·方法】

对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解。(2)可导函数则可以利用导数判断。但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断。考点二求函数的单调区间

【规律·方法】

求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间。(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义。(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间。对应训练2

(1)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(

)A．[1,2] B．[－1,0]C．[0,2] D．[2，＋∞)(2)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________。－6考点三函数单调性的应用

对应训练4

已知定义在R内的函数f(x)是增函数，且f(1)＝1，则满足f(3x－8)>1的x的取值范围是________。解析因为f(1)＝1，f(3x－8)>1，所以f(3x－8)>f(1)，又f(x)是R内的增函数，所以有3x－8>1，解得x>2。(2，＋∞)65．若f(x)具有对称轴x＝a，则在x＝a两侧的对称区间上f(x