第4章-根轨迹分析法(王恒迪)模板

第四章控制系统的根轨迹分析法4.1根轨迹的基本概念4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则4.3开环零、极点对根轨迹的影响4.4参量根轨迹4.5系统性能的根轨迹分析4.1根轨迹的基本概念一、问题的提出由前一章时域分析可知：自动控制系统的稳定性完全由闭环特征方程的根（闭环极点）决定。而系统动态响应的性能则取决于闭环传递函数的极点和零点的分布。因此只要能求得系统的闭环零、极点，则系统的稳定性和动态性能就可以确定。但是在高阶系统中，求解根是一件很困难的事，计算的复杂性限制了时域分析法在三阶以上控制系统中的应用。

1948年伊文思（W.R.Evans）根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了求解特征方程根的图解方法——根轨迹法。根轨迹法是分析、设计线性定常系统的一种图解方法。二、根轨迹的概念

定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环传递系数Kg）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上变化的轨迹。即借助开环的z、p点分布绘制闭环p点随参数变化的轨迹。例已知系统的结构图如下图所示，请绘出时的根轨迹。R(s)—Y(s)注意：在本章中采用传递函数的z、p点表达式，而在其他章节中采用传递函数的时间常数表达式。解：系统的开环传递函数为

闭环传递函数为系统特征方程为Kg01/2123∞s10-0.29-1-1+j-1+1.4j-1+j∞s2-2-1.7-1-1-j-1-1.4j-1-j∞开环极点是0和-2。Kg为开环传递系数，或称为根轨迹增益此图即为根轨迹，可见Kg：0→∞变化时，闭环根变化形成两条曲线，曲线的起点正好为开环的极点。根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影响，可以分析系统的稳定性、稳态和暂态性能与系统参数之间的关系。（1）稳定性开环传递系数Kg从零变到无穷时，根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此系统对所有的Kg值都是稳定的。（2）稳态特性开环系统在坐标原点有一个极点，所以属于1型系统。而开环传递系数Kg与开环增益K有关系。如果给定系统稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。Kg01/2123∞s10-0.29-1-1+j-1+1.4j-1+j∞s2-2-1.7-1-1-j-1-1.4j-1-j∞（3）动态特性由图中可见，当0<Kg<1时，所有闭环极点都位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为单调上升过程；当Kg=1时，闭环两个实数极点相重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃仍为单调上升过程，但响应速度较0<Kg<1的情况快；当Kg>1时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响为阻尼振荡过程，且超调量将会随Kg值的增大而加大。Kg01/2123∞s10-0.29-1-1+j-1+1.4j-1+j∞s2-2-1.7-1-1-j-1-1.4j-1-j∞一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但最常用的可变参量是系统的开环传递函数Kg（也称为根轨迹增益）。

Kg——常规根轨迹

Kg以外的参数——参量根轨迹/广义根轨迹以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说，解析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制近似的根轨迹。R(s)—Y(s)4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则本节重点：掌握根轨迹的绘制方法本节难点：根轨迹的出射角和入射角，根轨迹和虚轴的交点

一、根轨迹的幅值条件和相角条件一般闭环系统的框图如图所示，其特征方程为特征方程的解就是闭环极点，即满足特征方程的点就是极点，或者说根轨迹上的点均满足特征方程。由上述方程可得开环传递函数将等式两边看做s平面的矢量，幅值和相角分别相等，则在s平面上的任一点，凡能满足以上幅值和相角条件的，就是系统特征方程的根，就必定在根轨迹上。开环传递函数通常又可以写为其中：Kg——开环传递函数

zj、pi——开环零点、极点根据幅值条件和相角条件有其中：

∠(s-

zj

)——开环零点zj

到复平面上s点的矢量角

∠(s-

pj

)——开环极点pi到复平面上s点的矢量角在测量相角时，规定以逆时针方向为正。例已知系统的开环传递函数如下，设s1为该闭环系统的一个极点各相角必满足相角条件再按幅值条件求得s1点对应的根轨迹传递系数

相角条件只与开环零、极点有关；而幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益Kg有关。

相角条件是决定系统闭环根轨迹的充要条件。在实际应用中，用相角条件绘制根轨迹，而幅值条件主要用来确定已知根轨迹上某一点的Kg值。相角条件幅值条件二、根轨迹绘制规则根据幅值条件和相角条件推证出的绘制规则，可快速地求出根轨迹的大致图形。1.根轨迹的连续性系统特征方程是开环根轨迹增益Kg的函数，当Kg从０→∞连续变化时，根轨迹在s平面上一定是连续变化的。2.

根轨迹的对称性闭环系统的特征根可以是实数根（在实轴上）或复数根，而复数根又必然是成对出现的共轭复数，所以这些根必然对称于实轴。3.根轨迹的条数

ｎ阶系统有ｎ个根，且均为Kg的函数。当Kg从０→∞变化时，每一个根也连续移动，形成一条根轨迹，ｎ个根也就形成ｎ条根轨迹。因此根轨迹的条数=闭环特征方程根的数目=特征方程的阶次（=开环零点数m和开环极点数n中的较大者，一般n≥m）。4.根轨迹的起点（Kg=0）和终点（Kg

→∞）

根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数目m小于开环极点数目n，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处（又称为无穷零点或无限零点）。由幅值条件可知Kg=0对应根轨迹的起点，由上式可知Kg=0时，只有s→pi(i=1，2，…，n)时等式才成立，即根轨迹起始于开环极点。Kg→∞对应根轨迹的终点，同样Kg→∞时，只有s→zj(j=1，2，…，m)时等式才成立，即根轨迹终止于开环零点。当n>m时，上式分子分母同除以sn，有Kg→∞对应根轨迹的终点，也应该→0，即(n-m)个s趋向无穷远处。5.实轴上的根轨迹在s平面实轴上存在根轨迹的条件是：其右边开环实零点+开环实极点为奇数。共轭复数零点z1、z2到s1的相角之和为０°，相互抵消，因此开环共轭复数极点、零点对实轴上根轨迹的判断没有影响，仅取决于实轴上的开环零、极点。s1点左侧的开环零、极点至s1点的相角为０°,而右侧开环零、极点至s1点的相角为180°。欲满足相角条件，s1右边开环实零点+开环实极点必为奇数。逆时针方向为正，顺时针为负例系统的开环传递函数如下，求s平面实轴上存在根轨迹的区间。右边开环实零点+开环实极点必为奇数。[-0.5,0]右侧2个极点，不是根轨迹区间；[-1,-0.5]右侧3个极点，是根轨迹区间；[-5,-1]右侧4个极点，不是根轨迹区间；[-20,-5]右侧5个极点，是根轨迹区间；(-∞,-20]右侧6个极点，不是根轨迹区间。[-1,-0.5]∪[-20,-5]6.分离点和会合点若干条根轨迹在s平面相遇后又分开的点称为分离点或会合点。计算分离点和会合点的依据（2种方法）：若系统的开环传递函数jωσ

以上两种方法求出的方程式一致的，均为必要条件，即求出的s值是否是真正的分离点还需验证（2种方法）：1）、将求出的s值代入原方程，只有，才是真正的分离点或会合点。2）、看看求出的s值是否在实轴的根轨迹区间内。分离点会合点例已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的分离点和会合点。解：系统有一个开环零点为-1，有两个开环极点分别为-0.1和-0.5。根轨迹在实轴上的分布区间为[-0.5，-0.1]和(∞

，-1]。求根轨迹的分离点和会合点：S2=-0.33Kg2=0.06S1=-1.67Kg1=2.74求对应分离点、会合点的Kg：或：求出的两个分离点均在实轴的根轨迹区间内，所以s1和s2均是系统的分离点。jωσ例已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的分离点和会合点。解：根轨迹在实轴上的分布区间为[-1，0]和(∞

，-2]。求根轨迹的分离点和会合点：或：求出的s1在实轴的根轨迹区间内，s2不实轴的根轨迹区间内，所以s1是系统的分离点，s2不是，舍弃。分离点或会合点必然是实数或共轭复数，常见的分离点或会合点位于实轴上。一般情况下：实轴上的两个开环极点之间若存在根轨迹，则这两个极点之间存在一个分离点；实轴上的两个有限开环零点之间若存在根轨迹，则这两个零点会有之间存在一个会合点；实轴上的一个开环零点与一个开环极点之间的根轨迹一般既没有分离点也没有会合点，特殊情况下两者同时存在。jωσ7.根轨迹的渐近线（1）若根轨迹中有n－m条趋向无穷远处，则这些根轨迹存在渐近线，渐近线的倾角为计算时，k的取值到获得n－m个倾角即可。（2）n－m条渐近线与实轴交于一点（σa，j0）。例已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的渐近线。解：系统没有开环零点，有三个开环极点分别为0，-2和-4。8.根轨迹与虚轴的交点方法一：根轨迹与虚轴相交时，实部为0，即s=σ+jω=jω，将s=jω代入系统闭环特征方程，可求出ω和kg的值。例已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹与虚轴的交点。解：系统的闭环特征方程为:将s=jω代入特征方程上式中实部和虚部均为0，可解得方法二：利用劳斯判据，当根轨迹与虚轴相交时，表示系统存在纯虚根，处于临界稳定状态，利用劳斯判据的特例，即劳斯表第一列某个元素等于0。列劳斯表=0

Kg=6

用劳斯表s2行的系数可以构成辅助方程9.根轨迹的出射角（起始角）与入射角（终止角）出射角：根轨迹离开开环极点处的切线方向与正实轴之间的夹角。入射角：根轨迹进入开环零点处的切线方向与正实轴之间的夹角。出射角：系统的开环零极点分布如图所示，黑线为从极点p1出发的根轨迹。靠近p1取根轨迹上一点s0。讨论相角条件∠(s0-p1)∠(s0-z2)∠(s0-z1)∠(s0-p2)∠(s0-p3)出射角：根据相角条件，有当s0向p1无限趋近时p1的出射角各开环零极点到p1的矢量角取-π某一开环极点的出射角=π+(所有开环零点到被测开环极点矢量的相角之和)－(其他开环极点到被测开环极点矢量的相角之和)∠(s0-p1)∠(s0-z2)∠(s0-z1)∠(s0-p2)∠(s0-p3)入射角：黑线为进入零点z1的根轨迹。靠近z1取根轨迹上一点s0。讨论相角条件∠(s0-p1)∠(s0-z2)∠(s0-z1)∠(s0-p2)∠(s0-p3)∠(s0-p1)∠(s0-z2)∠(s0-z1)∠(s0-p2)∠(s0-p3)相角条件z1的入射角取π各开环零极点到z1的矢量角当s0向z1无限趋近时某一开环零点的入射角=π+(所有开环极点到被测开环零点矢量的相角之和)－(其他开环零点到被测开环零点矢量的相角之和)10.闭环极点之和若系统有n个开环极点，m个开环零点，当满足(n-m)2时，闭环极点之和等于开环极点之和。即此时若有一些根轨迹分支向左移动，则一定会有另外一些根轨迹分支向右移动。这对于判断根轨迹的走向很有意义。例单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制Kg从0→∞变化时的根轨迹。解：系统没有开环零点，有三个开环极点分别为0，-1和-4。所以根轨迹有三条，起始于开环极点，终止于无穷远处。实轴上的根轨迹：其右边开环实零点+开环实极点为奇数。根轨迹在实轴上的分布区间为[-0.5，-0.1]和(-∞，-1]。分离点：-0.47-2.87分离点：-0.47求出的s1在实轴的根轨迹区间内，s2不实轴的根轨迹区间内，所以s1是系统的分离点，s2不是，舍弃。-2.873条趋向无穷远处根轨迹的渐近线（1）倾角（2）与实轴交点-1.67根轨迹与虚轴的交点：将s=jω代入系统闭环特征方程系统的闭环特征方程为:将s=jω代入特征方程上式中实部和虚部均为0，可解得-0.47-1.67=0

Kg=20

用劳斯表s2行的系数可以构成辅助方程列劳斯表根轨迹的出射角与入射角

某一开环极点的出射角=π+(所有开环零点到被测开环极点矢量的相角之和)－(其他开环极点到被测开环极点矢量的相角之和)

某一开环零点的入射角=π+(所有开环极点到被测开环零点矢量的相角之和)－(其他开环零点到被测开环零点矢量的相角之和)p1p2p3根轨迹1、坐标不要忘记标注；2、关键点（零极点、分离点、与虚轴交点、渐近线与实轴交点）坐标和数值需要标注；3、根轨迹上应注明箭头，表示Kg增加时根轨迹的变化趋势。例单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制Kg从0→∞变化时的根轨迹。解：系统有一个开环零点-6，有两个开环极点分别为0和-4。所以根轨迹有两条，起始于开环极点，分别终止于开环零点和无穷远处。实轴上的根轨迹：其右边开环实零点+开环实极点为奇数。根轨迹在实轴上的分布区间为[-4，0]和(-∞，-6]。分离点：-2.54-9.46分离点：求出的两个分离点均在实轴的根轨迹区间内，所以s1和s2均是系统的分离点。1条趋向无穷远处根轨迹的渐近线（1）倾角（2）与实轴交点-2.54-9.46根轨迹与虚轴的交点：将s=jω代入系统闭环特征方程系统的闭环特征方程为:将s=jω代入特征方程上式中实部=0，且kg>0，ω2>0，∴kg=0，ω=0。=0

列劳斯表根轨迹的出射角与入射角

某一开环极点的出射角=π+(所有开环零点到被测开环极点矢量的相角之和)－(其他开环极点到被测开环极点矢量的相角之和)

某一开环零点的入射角=π+(所有开环极点到被测开环零点矢量的相角之和)－(其他开环零点到被测开环零点矢量的相角之和)p1p2z1下面考察根轨迹复数部分的形状，由相角条件可知根轨迹上一点s满足由于是在复平面，令s=σ+jω，代入上述方程对上式两端的角度值取正切运算，因为有即复数部分是一个圆，圆心坐标(-6,j0)，半径3.46。可以证明：带开环零点的二阶系统的根轨迹复数部分是一个圆，圆心在开环零点处，半径为开环零点到分离点的距离。根轨迹1、坐标不要忘记标注；2、关键点（零极点、分离点、与虚轴交点、渐近线与实轴交点）坐标和数值需要标注；3、根轨迹上应注明箭头，表示Kg增加时根轨迹的变化趋势。4.3开环零、极点对根轨迹的影响增加开环零点对根轨迹的影响一般可使根轨迹向s左半平面弯曲或移动，增强系统的相对稳定性，增大系统的阻尼；改变渐近线的倾角，减少渐近线的条数。增加开环极点对根轨迹的影响一般可使根轨迹向s右半平面弯曲或移动，降低系统的相对稳定性，减小系统的阻尼；改变渐近线的倾角，增加渐近线的条数。R(s)Y(s)_R(s)Y(s)_可见引入适当的零点能使不稳定的系统稳定。R(s)Y(s)_R(s)Y(s)_引入的零点一定要适当，例如将刚才引入的一阶微分环节2s+1换成0.1s+1并不能改善系统的稳定性。4.4参量根轨迹前面讨论的根轨迹都是以开环增益Kg作为参变量的，这种根轨迹称为常规根轨迹。有时需绘制除Kg以外的其它参数变化时闭环系统的根轨迹。此时称作参量根轨迹。一般系统参量根轨迹的绘制步骤可归纳如下：（1）求出原系统的特征方程；（2）以特征方程中不含该参量的各项除以特征方程，得到等效系统的开环传递函数。（3）根据上一节介绍的根轨迹绘制规则，绘制等效的根轨迹，即为参量根轨迹。系统特征方程如下式所示：以所选可变参量α代替Kg的位置等效开环传递函数为例已知系统的结构图如下所示，试画出其参量根轨迹。解：（1）求系统特征方程

（2）两边同除以R(s)_Y(s)对比前面提到的和

系统有一个开环零点0，两个开环极点±2j。所以根轨迹有两条，起始于开环极点，分别终止于开环零点和无穷远处。实轴上的根轨迹：其右边开环实零点+开环实极点为奇数。根轨迹在实轴上的分布区间为(-∞，0]。分离点：

-2

2求出的s1在实轴的根轨迹区间内，s2不实轴的根轨迹区间内，所以s1是系统的分离点，s2不是，舍弃。1条趋向无穷远处根轨迹的渐近线（1）倾角（2）与实轴交点

-2根轨迹与虚轴的交点：将s=jω代入系统闭环特征方程系统的闭环特征方程为将s=jω代入特征方程上式中实部=0，即ω=±2；虚部=0，即a=0。即与虚轴交点就是根轨迹的起点。根轨迹的出射角与入射角带开环零点的二阶系统的根轨迹复数部分是一个圆，圆心在开环零点处，半径为开环零点到分离点的距离。p1p2z1根轨迹R(s)_Y(s)4.5

系统性能的根轨迹分析

前面曾经对该问题进行过简单的阐述。（1）稳定性：由根轨迹的形状可知参数变化对系统稳定性的影响，即根轨迹必须位于s平面的左半平面。Kg若>20，则系统就不稳定。如果要求系统具有蓝色线的稳定裕度，则可见Kg的取值范围要进一步缩小。（2）稳态性能：由根轨迹及其幅值条件和相角条件可以分别求出系统型次ν（若有根轨迹起始于s平面的原点，即表示系统有开环极点=0，即可能是1型或以上型次）和开环增益Kg

（知道根轨迹上某一点坐标后，可根据幅值条件求出对应的Kg

值，继而获得开环传递系数K的值），结合输入信号的形式和前面讲过的表即可估算系统的稳态误差。（3）动态性能

以欠阻尼状态的典型二阶系统为例，考虑阻尼比ζ变化时(0→∞)的情况。此时为参量根轨迹。从坐标原点引出等阻尼线，与负实轴夹角为θ，则cosθ=ζ，由第三章知识可知，系统的超调量仅与ζ有关：

欲降低σ%→增大ζ→增大cosθ→减小θ。

ζ=0.707时称为最佳阻尼比，可知此时θ=45°，因此若想获得最佳阻尼比，则共轭复数极点应位于等ζ线与负实轴夹角45°附近。欲缩短ts→增大ζωn→―ζωn↓根轨迹中闭环极点分布与动态性能的关系：jωσ21极点坐标系统参数动态性能1↑↑—↑—↓2↑↓↑—↓↓主导极点对系统性能进行估计时，可将-4的极点忽略掉，此时即可按照刚才介绍的方法近似分析。即保留一对共轭极点作为主导极点。例单位反馈系统的开环传递函数如下，Kg取何值时系统对单位阶跃的响应存在振荡？Kg取何值时振荡最大？解：由题意知此为二阶系统，因此系统对单位阶跃的响应存在振荡时必有共轭根。绘制系统的根轨迹如图，Kg的取值必须使根在s平面的圆上，即界于两个分离点之间。0-2-4-6.83-1.17s1s2因此系统对单位阶跃的响应存在振荡时，Kg须在3.34和11.66之间。利用幅值条件0-2-4-6.83-1.17s1s2

Kg取何值时振荡最大？

振荡最大时，阻尼比ζ=cosθ最小，或阻尼角θ最大，因此可从原点引等阻尼线与圆相切，切点为A。此时阻尼角最大，由图示三角形可知，此时θ=45°。0-2-4-6.83-1.172.83AXY求切点A的坐标：引出线AX和AY，很容易得到AX=AY=OA×cos45°=2。即振荡最大时，

Kg的取值应使共轭根=-2±2j。利用幅值条件0-2-4-6.83-1.172.83AXY-2+2j即Kg=2时系统的振荡最大第四章小结:

根轨迹的定义根轨迹的基本概念根轨迹方程幅角条件相角条件常规根轨迹的绘制原则根轨迹的绘制方法参量根轨迹（等效开环传递函数）开环零点、极点分布对系统性能的影响根据根轨迹分析系统性能稳定性性能分析稳态性能动态性能根轨迹第七节MATLAB在根轨迹中的应用自动控制理论绘制控制系统的根轨迹图绘制根轨迹的常用命令为rlocus(num,den)或rlocus(num,den,K)。如果K的范围给定，则MATLAB在给定K值范围内绘制轨迹；否则K是自动确定。在绘制根轨迹时，MATLAB有x，y坐标的自动定标功能。如果用户需要，可自行设置坐标的范围，只要在相应的程序中加上如下的命令：V=[-xx-yy]；axis(V)它表示x轴的范围为-x～x，y轴的范围为-y～y。例4-11已知一单位反馈系统的开环传递函数为试用MATLAB绘制系统的根轨迹。自动控制理论解：K=1;Z=[];P=[0-1-2][num,den]=zp2tf(Z,P,K);Rlocus(num,den);V=[-42-33];Axis(V);Title(‘Root-locusplotofG(s)=k/s(s+1)(s+2)’);Xlable(‘Re’);Ylab