第三章第二节离散信号频域分析

第二节

离散信号的频域分析一、周期信号的频域分析二、非周期信号的频域分析三、离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT）

离散傅里叶级数(DFS)定义一个周期为N的周期序列可表示为：用傅里叶级数表示，其基波频率为：用复指数表示：第k次谐波为：由于是周期序列，且k次谐波也是周期为N的序列：因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从0到N-1的N个谐波分量就足以表示原来的信号。这样可把离散傅里叶级数表示为式中，乘以系数1/N是为了下面计算的方便；为k次谐波的系数。将上式两边同乘以并从n=0到N-1求和，得到：由复指数序列的正交性：所以，得到周期序列的离散傅里叶级数表达式：令则得到周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对n和k均为离散变量。如果将n当作时间变量，k当作频率变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为DFS的正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为DFS的反变换。由于故是周期为N的离散周期信号。周期序列的信息可以用它在一个周期中的N个值来代表。

离散傅里叶级数的性质1.线性设周期序列和的周期都为N，且若则有2．周期序列的移位设则如果m>N，则m=m1+Nm23．周期卷积设和都是周期为N的周期序列，它们的DFS系数分别为令则上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于它们各自离散傅里叶级数的乘积。周期卷积的计算：周期卷积中的序列和对m都是周期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的，周期卷积仅在一个周期内求和。相乘和相加运算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓，就得到周期卷积。周期卷积满足交换律两个周期序列的乘积的DFS为：离散傅里叶级数性质汇总一、Fourier变换的几种可能形式

时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—离散傅里叶变换连续时间、连续频率—傅里叶变换时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。连续时间、离散频率—傅里叶级数时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时域是周期函数。离散时间、离散频率—离散傅里叶变换一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω0=2π/T0)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)傅里叶变换傅里叶级数序列的傅里叶变换离散傅里叶变换(DFS：离散傅里叶级数，DTFT：序列的傅里叶变换，DFT：离散傅里叶变换）二、周期序列的DFS及其性质周期序列的DFS正变换和反变换：其中：DFS的性质1、线性：其中，为任意常数若则2、序列的移位3、调制特性4、周期卷积和若则同样，利用对称性若则三、离散傅里叶变换（DFT）同样：X(k)也是一个N点的有限长序列有限长序列的DFT正变换和反变换：其中：x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔抽样。(DFT：离散傅里叶变换，DTFT：离散时间信号的傅里叶变换）四、离散傅里叶变换的性质DFT正变换和反变换：1、线性：这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且若则2、序列的圆周移位

定义：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。这里包括三层意思：先将

进行周期延拓再进行移位最后取主值序列：

n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-1圆周位移的含义

由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把

排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于

在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:

。12345n=0N=6调制特性：时域序列的调制等效于频域的圆周移位3、共轭对称性序列的Fourier变换的对称性质中提到：其中：任意序列可表示成和之和:其中：共轭反对称分量：共轭对称分量：任意周期序列：定义：则任意有限长序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列：圆周共轭对称序列满足：圆周共轭反对称序列满足：同理：其中：

序列DFT共轭对称性

序列DFT实数序列的共轭对称性纯虚序列的共轭对称性

序列DFT例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:4、复共轭序列5、DFT形式下的Parseval定理6、圆周卷积和若则圆周卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圆周移位5）相乘相加NNN…-3-2-101234567…543210111100…10011110011……11110011110…1001111100111110011111000111100011118

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同样，利用对称性若则7、有限长序列的线性卷积与圆周卷积线性卷积：N点圆周卷积：NN讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为N点；对x2(n)周期延拓：圆周卷积：N小结：线性卷积求解方法时域直接求解补N-N1个零x(n)N点DFT补N-N2个零h(n)N点DFTN点IDFTy(n)=x(n)*h(n)DFT法x(n)为无限长序列—混叠失真x(n)为有限长序列，长度为M由频域抽样序列还原得到的周期序列是原非周期序列的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数N。所以：时域抽样造成频域周期延拓同样，频域抽样造成时域周期延拓频率采样定理若序列长度为M，则只有当频域采样点数:时，才有即可由频域采样不失真地恢复原信号，否则产生时域混叠现象。用DFT对模拟信号作频谱分析信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换对连续时间非周期信号的DFT逼近1）将在轴上等间隔（T）分段2）将截短成有限长序列3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔，时域周期延拓，周期为对连续时间非周期信号的DFT逼近过程 1）时域抽样 2）时域截断 3）频域抽样近似逼近：对连续时间周期信号的DFS逼近1）将在轴上等间隔（T）分段2）频域截断：长度正好等于一个周期近似逼近：频率响应的混叠失真及参数的选择同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾频谱泄漏在实际应用中，通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔内,也就是说，在时域对信号进行截断操作,或称作加时间窗,亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定理可知，时域相乘,频域为卷积,这就造成拖尾现象,称之为频谱泄漏.改善方法：1）增加x(n)长度2）缓慢截短对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏0n0nn栅栏效应用DFT计算频谱时，只是知道为频率的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。补零点加大周期，可使F变小来提高辨力，以减少栅栏效应。栅栏效应改善方法：增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密DFT只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频谱，而不是连续函数频率分辨率提高频率分辨率方法： 增加信号实际记录长度 补零并不能提高频率分辨率序列的抽取与插值信号时间尺度变换（抽样频率的变换） 抽取：减小抽样频率 插值：加大抽样频率1、序列的抽取将x(n)的抽样频率减小D倍 每D