广东中考数学复习课件：第一部分第四章第4讲第2课时与圆有关的位置

第2课时与圆有关的位置关系1.探索并了解点与圆的位置关系，了解直线和圆的位置关系.2.知道三角形的内心和外心.3.掌握切线的概念；探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线.1.已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A)B.点A在⊙O内D.点A与圆心O重合与⊙O的位置关系是( A.点A在⊙O上

C.点A在⊙O外

答案：C2.已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是()A.2.5B.3C.5D.10答案：C3.如图4-4-35，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以)点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为(

图4-4-35A.2.3B.2.4C.2.5D.2.6答案：B4.(2017年广东广州)如图

4-4-36，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的()图4-4-36B.三角形角平分线的交点D.三条高的交点A.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点答案：B5.(2017年浙江杭州)如图

4-4-37，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径.若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.图4-4-37答案：50°知识点内容点与圆的位置关系(1)d＜r⇔点P在⊙O内；(2)d＝r⇔点P在⊙O上；(3)d＞r⇔点P在⊙O外直线和圆的位置关系关系图形公共点个数数量关系相离0d＞r相切1d＝r相交2d＜r知识点内容三角形外心三角形的三个顶点确定的圆叫做外接圆，其圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，这个交点叫做三角形的外心内心和三角形的三边都相切的圆叫做内切圆，其圆心是三角形三条角平分线的交点，这个交点叫做三角形的内心(续表)知识点内容切线的性质和判定判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线垂直于过切点的半径注意经过切点并垂直于切线的直线必过圆心切线长概念经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角(续表)

点、直线与圆有关的位置关系 例1：如图

4-4-38，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，)使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(

图4-4-38A.1B.1或5C.3D.5

解析：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.答案：B

例2：(2018年山东泰安)如图

4-4-39，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3,4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为(

)图4-4-39A.3B.4C.6D.8解析：∵PA⊥PB,∴∠APB＝90°,∵AO＝BO,∴AB＝2PO.若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，如图4-4-40，图4-4-40则OQ＝3，MQ＝4.∴OM＝5.又∵MP′＝2，∴OP′＝3.∴AB＝2OP′＝6.故选C.答案：C

[思想方法]圆是轴对称图形，也是中心对称图形，因此在确定圆的位置或解决关于圆的计算时应该运用分类讨论的思想考虑是否有多种情况.【试题精选】1.⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，)B.点A在圆内D.无法确定则点A与圆O的位置关系为( A.点A在圆上

C.点A在圆外

答案：B2.如图4-4-41，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，)以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是(

图4-4-41A.相离C.相切B.相交D.以上三种情况均有可能

答案：C

[名师点评]判断点(直线)与圆的位置关系的关键是运用点(直线)到圆心的距离d和圆的半径r之间的数量关系进行比较.切线的判定与性质

例3：(2018年山东滨州)如图

4-4-42，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：图4-4-42(1)直线DC是⊙O的切线；(2)AC2＝2AD·AO.[思路分析](1)先证OC∥AD，再证OC⊥DC，根据切线的判定得出即可；(2)连接BC，求出∠ADC＝∠ACB＝90°，求出△DAC∽△CAB，根据相似三角形的判定得出即可.证明：(1)如图4-4-43，连接OC，图4-4-43＝，即AC2＝AB·AD.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC.∴DC是⊙O的切线.(2)连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴AB＝2AO，∠ACB＝90°.∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB.∴ACADABAC∵AB＝2AO，∴AC2＝2AD·AO.【试题精选】

3.(2018年四川南充)如图

4-4-44，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求tan∠CAB的值.图4-4-44解：(1)如图D37，连接OC，BC.图D37∵⊙O的半径为3，PB＝2，∴OC＝OB＝3，OP＝OB＋PB＝5.∵PC＝4，∴

OC2＋PC2＝OP2.∴△OCP是直角三角形.∴OC⊥PC.∴PC是⊙O的切线.(2)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACO＋∠OCB＝90°.∵OC⊥PC，∴∠BCP＋∠OCB＝90°.∴∠BCP＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.∴∠A＝∠BCP.在△PBC和△PCA中，∠BCP＝∠A，∠P＝∠P.∴△PBC∽△PCA.

[解题技巧]添加有关切线辅助线的原则是：有点连半径，证垂直；无点作垂直，证半径.

1.(2016年广东)如图

4-4-45，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F. (1)求证：△ACF∽△DAE；(3)连接EF，求证：EF是⊙O的切线.图4-4-45(1)证明：∵BC

为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°.又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°.∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°.∴∠CAF＝∠AFC＝30°.∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°.∴∠D＝∠DEA＝30°.∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC.∴△ACF∽△DAE.(3)证明：如图

D38，过点

O作OM⊥EF于点M，∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF，∴△OAF≌△OBE.∴OE＝OF.∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°.∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF.又∵∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线.图D382.(2017年广东节选)如图

4-4-46，AB是⊙O的直径，AB＝，点E为线段OB上一点(不与O，B重合)，作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB. (1)求证：CB是∠ECP的平分线；

(2)求证：CF＝CE.

图4-4-46(1)证明：如图

D39，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.图D39∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠CEB＝90°.∴∠PCB＋∠OCB＝90°，∠BCE＋∠OBC＝90°.∴∠BCE＝∠BCP.∴CB平分∠ECP.(2)证明：如图

D39，连接AC.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BCP＋∠ACF＝90°，∠ACE＋∠BCE＝90°.∵∠BCP＝∠BCE，∴∠ACF＝∠ACE.∵∠F＝∠AEC＝90°，AC＝AC，∴△ACF≌△ACE.∴CF＝CE.

3.(2018年广东)如图

4-4-47，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E.图4-4-47(1)证明：OD∥BC；(2)若tan∠ABC＝2，证明：D