有限元之平面刚架

第二章有限元法的直接方法

第一节

有限元法的思路

我们以压杆问题为例来说明有限元法的基本思路。图示结构，我们将杆件看成是连接三个节点的两个单元，首先看单元①，由材料力学公式△

可得到杆件一端位移为1，另一端位移为0时所需加的力，同理对单元②同样处理（所有节点位移和节点力均向右为正）。第一节

有限元法的思路由作用和反作用定律可知，节点1、2、3的受力如图所示。第一节

有限元法的思路由节点平衡有即第一节

有限元法的思路写成矩阵形式

引入边界条件得

第一节

有限元法的思路由此可求出节点位移，如果需要求约束反力，可由前面三个方程中的第一个方程求出。由以上实例分析，我们可以看到有限元法的基本思路如下：

1简化计算简图（建立力学模型）；

2将结构离散成在节点处联结的各个单元体（有限元模型）；

3编排单元号码与节点号码；

4将非节点菏载移置到节点上；

5求出以节点位移表示的单元节点力；

6建立节点平衡方程式；

7求出节点位移、节点力及应力。平面桁架问题在平面桁架中，每个杆件均为二力杆，但各杆件的方位不同，无法简单的向前面的阶梯拉压杆那样处理，应该怎样形成整个结构的节点平衡方程？平面桁架问题u2u1u1u2v1v2x1xyx1U1U1U2V1V2U2建立整体坐标系，将杆单元的节点位移和节点力沿整体坐标进行分解，这样不同单元在公共节点上的位移就相同了，可以实现方程的叠加。平面桁架问题任务：

去图书馆借阅有限元方面的参考书，学习平面桁架或空间桁架的有关内容，弄清楚具体处理问题的步骤和单元刚度矩阵的形式。FEM!!!第二节平面刚架有限元法的直接法

工程实际中刚架结构有着广泛的应用，如桥梁、高压输电塔、厂房以及一些其它塔架。其中很多钢架的结构和载荷都有一个对称面，因此可以简化为平面钢架来研究。钢结构桥力学模型图节点梁上弦杆下弦杆腹杆第二节平面刚架有限元法的直接法

2.2.1单元划分原则（略）2.2.2以节点位移表示节点力一、单元节点的单位位移与单元节点力的关系梁单元节点的单位位移与节点力之间的关系如图所示。说明如下：1图中位移正方向为u(右)、v(上)、θ（逆时针）；2

图中作用在单元上的力均满足平衡方程；3单元节点单位位移引起的单元节点力用材料力学中的力法求得；4单元节点力正方向与位移一致；5单元局部坐标如图所示（i节点为原点，x轴指向j点）。第二节平面刚架有限元法的直接法ijui=1EA,lijuj=1EA,lvi=1EI,lijVj=1EI,lij第二节平面刚架有限元法的直接法EI,lijθi=1EI,ljiθj=1第二节平面刚架有限元法的直接法二、单元节点位移与单元节点力之间的关系前面给出了单元单位节点位移与单元节点力之间的关系，由此结果，根据线性小挠度问题的叠加原理，可以很容易导出单元节点位移与节点力之间的关系。图中ui，vi，θi和uj，vj，θj表示单元e的i，j两个节点的位移，图示均为正方向，Ui，Vi，Mi和Uj，Vj，Mj表示同一单元由前述节点位移引起的单元节点力，正方向与位移一致。第二节平面刚架有限元法的直接法由叠加原理很容易得到如下关系式(2-1)第二节平面刚架有限元法的直接法三、单元刚度矩阵

1、节点位移与节点力的矩阵表达式将（2-1）式写成矩阵形式(2-2)第二节平面刚架有限元法的直接法将上式写成更简洁的形式(2-3)其中单元节点力列阵单元节点位移列阵单元刚度矩阵

2、单元刚度矩阵的特性

(1)[K]e中元素的力学意义

[K]e中的元素均是单位位移所引起的节点力的数值，所以它们是刚度系数。第二节平面刚架有限元法的直接法同一行的6个元素是6个节点位移对同一节点力的影响系数。同一列的6个元素是同一个节点位移对6个节点力的影响系数。即：kij为j点产生单位位移在i点引起的节点力。(2-2)第二节平面刚架有限元法的直接法

(2)[K]e具有分块性我们来观察单元刚度矩阵的结构，其数学表达式如下：第二节平面刚架有限元法的直接法根据分块的性质，(2-2)可写成是节点j的位移对节点i的节点力的影响系数子矩阵。

(3)[K]e具有对称性这一特性可由位移互等定理得到证明。2.2.3坐标变换

前面我们给出了梁单元的刚度矩阵，但给出的是梁单元局部坐标下的结果，在一个实际的刚架中，各梁单元的局部坐标是不一致的（因各梁的方向不同），因此为了将各梁单元组集成整个刚架，必须建立统一的坐标系——整体坐标系。第二节平面刚架有限元法的直接法①321②①21②23

由上面例子可见，①单元的局部坐标与整体坐标不一致，而②单元的局部坐标与整体坐标一致，这导致两个单元在节点2处的节点力、节点位移方向的不一致，因此需要进行坐标变换。将局部坐标下的节点位移、节点力变换到整体坐标系中，这样才有各单元在同一节点处的节点位移和节点力的方向是一致的。第二节平面刚架有限元法的直接法一、矢量的坐标变换式由图中的几何关系，得写成矩阵形式第二节平面刚架有限元法的直接法令则1、单元节点位移的坐标变换式（2-10）第二节平面刚架有限元法的直接法令则（2-10）可写成式中局部坐标中单元节点位移列阵；整体坐标中单元节点位移列阵；单元坐标变换矩阵（整体坐标到

局部坐标）；（2-12）第二节平面刚架有限元法的直接法2、单元节点力的坐标变换式同上有式中局部坐标中单元节点力列阵；整体坐标中单元节点力列阵；二、矩阵的坐标变换式（2-14）将（2-12）、（2-14）代入（2-3）得由于[T]为正交变换矩阵，所以有：第二节平面刚架有限元法的直接法其中2.2.4位移法基本原理回顾（不讲）2.2.5等效节点荷载的计算我们只需要计算出载荷作用下梁两端的固端反力，然后加上负号，即为等效节点荷载，固端反力可用力法求得，也可用虚功等效原则或变分法求得。一、单元局部坐标下等效节点荷载的计算

见教材18页，（2-27）--（2-30）GcdLGOyxVoiiVojMoiMojj2.2.5等效节点荷载的计算2.2.5等效节点荷载的计算GcdLGOyxVoiiVojMoiMojj2.2.5等效节点荷载的计算GcdLGOyxVoiiVojMoiMojj2.2.5等效节点荷载的计算GcdLGOyxVoiiVojMoiMojjUoiUoj第二节平面刚架有限元法的直接法二、整体坐标下等效节点荷载的计算令局部坐标下节点荷载向量整体坐标下节点荷载向量则由坐标变换公式（2-14）有第二节平面刚架有限元法的直接法2.2.6建立节点平衡方程1①324②③图示平面钢架，有3个单元，4个节点，每个单元的钢度矩阵均可按前面给出的公式计算并变换到整体坐标系，则有：①单元（1，2）②单元（2，3）第二节平面刚架有限元法的直接法③单元（3，4）以上三式中，均包含三个分量。将以上三个方程的对应项相加有（或利用节点平衡方程）：（2-40）第二节平面刚架有限元法的直接法上式可写成等效节点载荷向量。节点位移向量。结构的总体刚度矩阵，或称总刚度矩阵。总刚度矩阵的性质：1矩阵中的元素均为刚度系数2具有分块性质；3具有对称性；4具有带状性；5具有奇异质（因为没有引入边界条件，结构有刚体位移）。第二节平面刚架有限元法的直接法2.2.7引入边界条件由于总刚度矩阵[KZ]是奇异矩阵，式（2-40）的解不确定，为求出节点位移，必须引入边界条件，我们采用修改方程式法—对角线元素置“1”法。对[KZ]、{P}、{δ}的处理方法如下：将[KZ]中已知位移（零位移）所对应的行和列中的全部元素都置“0”，行、列交点处的主对角元置“1”；将等效节点载荷向量{P}中相应的元素也置为“0”；节点位移向量{δ}不变。处理后的方程见下式：第二节平面刚架有限元法的直接法第二节平面刚架有限元法的直接法2.2.8解方程组方程组的求解可采用Gauss消元法，同学们可以查阅有关书籍，当然也可以采用其它的求解方法。2.2.9求单元内力求单元节点力的目的是为了画出单元的内力图，进一步即可求出应力。

单元节点力是由单元节点位移和单元非节点荷载引起的节点力之和。公式表示如下：第二节平面刚架有限元法的直接法通过实例说明：单元节点力是由单元节点位移和单元非节点荷载引起的节点力之和。已知：EA，L，F。求内力和位移。△=FL/2EA，力F作用下杆的变形和内力。△F两端固定杆的变形、内力和固端力。F/2△F/2F节点位移引起的变形和固端力。△/2F/2F/2F/2F△为有限元计算的节点位移①②③+平面刚架有限元手算大作业选题要求：

自己命题，至少两个单元、5个自由度，至少有一个斜杆，