逻辑学-谓词逻辑

第十章谓词逻辑第一节谓词逻辑概述一、命题逻辑与谓词逻辑二、个体词与谓词三、量词一、命题逻辑与谓词逻辑

通过前面关于命题逻辑的学习，我们知道命题逻辑是关于联结词的推理理论。在命题逻辑中，简单命题被当做基本单位来讨论，简单命题分为：主项、谓项、联项、量项，对其内部结构不再分析。如，

如果某甲作案，那么他一定有作案动机，某甲没有作案动机，所以，某甲没作案。

这个推理的根据就是关于“如果，那么”的推导规则。这种关于联结词的推理理论，就是命题逻辑。而谓词逻辑和命题逻辑不一样，在谓词逻辑中，简单命题不是被当作基本单位来讨论，而是要讨论其内部结构，以此作为出发点展开推演。例如，

所有的作案者都有作案动机，某甲没有作案动机，所以，某甲不是作案者。

这个推理的前提和结论都是简单命题，推理的根据主要涉及量词。这种关于量词的推理理论，现代逻辑称为谓词逻辑。谓词逻辑是命题逻辑的发展。与命题逻辑不同，它把简单命题加以分析，区别出哪些是个体词，哪些是谓词，哪些是量词，抽象出它们的形式，然后研究这些命题形式的逻辑性质和关系，找出有效推理的形式和规律。考察和研究这一部分的逻辑理论，就构成了谓词逻辑。二、个体词与谓词

1.个体词、谓词的涵义在谓词逻辑中，命题被分解为个体词、谓词和量词（以及联结词）这些更小的逻辑单位。那么，简单命题从内容上不外乎两类：一类表达事物具有或不具有某种性质；一类表达事物与事物之间具有或不具有某种关系。例如，

（1）我是学生。表达“我”这个人具有“学生”这一性质。（2）王五不是李四的朋友。指出名叫“王五”和“李四”的两个人之间没有“朋友”这种关系。由此可见，命题至少可分为两部分：一是指称事物的那部分，如“我”、“王五”、“李四”；二是指称性质或关系的那部分，如“是学生”、“…是…的朋友”。应当指出的是，这里所谓的事物是极其广泛的，指客观存在的个体，包括有形的自然实体（如某个人）和无形的抽象客体（如某个自然数）。这些广泛的一个事物统称为个体。

性质和关系则是依附个体、说明个体的，如“是红的”、“大于”等等。性质和关系统称为属性。

表示个体的语词叫个体词。在自然语言中，个体词一般是名词。如“马克思”、“北京”、“世界上最高的山”等。

表示属性的语词叫谓词。在自然语言中，谓词通常是联结词加形容词或名词组成词组，或者就是动词或动词词组。如“是光荣的”、“是导体”、“大于”、“支持”等。2.“….元谓词”的表述谓词是用于说明个体词的。说明一个个体词的谓词是一元谓词，如“…是光荣的”、“…是导体”；说明两个个体词的谓词是二元谓词，如“…是…的朋友”、“…大于…”等；说明三个个体词的谓词是三元谓词，如“…在…和…之间”、“…在…和…之后”等；依次类推，说明n个个体词的谓词是n元谓词。3.个体词、谓词的符号化对于一个简单命题而言，至少可将其分解为两部分：个体词、谓词。那么，如何将个体词和谓词用符号化来表示呢？我们总是在一定范围内讨论个体的性质、个体之间的关系。表示个体词的符号一般由个体变元和个体常项。个体变元表示一定范围内的不确定个体，记为小写的：

x,y,z,…;x1,x2,x3,…;个体常项表示一定范围内确定的个体，记为小写的：

a,b,c,…;

个体变元的变化范围即变域，逻辑上一般称为论域或个体域，记为D。个体词就是指称D中个体的语词。表示性质或关系的符号是谓词符号，记为大写的：

D,E,F,G,H,I,…。谓词符号和个体词符号结合后形成的公式，可以刻画形式简单的语句。其中，与个体变元结合后，一元谓词形成的公式可记为：Dx,Ex,Fx,…;

二元谓词形成的公式可记为：Dxy,Exy,Fxy,…;或者，xDy,xEy,xFy,…;n元谓词形成的公式可记为：Dx1x2x3….xn,Ex1x2x3….xn，Fx1x2x3….xn，…。

因此，命题一旦被分解为个体词和谓词后，对于原来只能用命题变元表示的简单命题，现在可以用较小的逻辑单位更精确地符号化了。比如，如果用a表示专有名称“张三”，用D表示一元谓词“会死”。那么命题：

张三会死。可表示为Da。读时，先读个体符号词，后读谓词符号。如果用F表示二元谓词“…是…的朋友”，那么：

Fxy表示x是y的朋友；

—Fxy表示x不是y的朋友。

对于命题逻辑中的５个联结词：∧、∨、→、←→、—仍在原来的意义上使用。三、量词

1.量词的涵义前面讲到可将命题分为个体词和谓词。但是，仅仅包含个体词和谓词的表达式也不全部都是具有真假的简单命题。如，语句Fx断定“x是紫色的”，但由于x是指称不确定个体的个体变元，因而Fx没有真假，不是命题，是没有真假的命题函数，即从个体到真值的函数。这种语句，有时称为开语句。那么，如何使得Fx这样的表达式有真假呢？可采取两种方法。第一，用个体常项代替个体变元。如，令a表示“这朵玫瑰花”，那么Fa就表示语句“这朵玫瑰花是紫色的”。这种语句称为闭语句。闭语句是有真假的命题。第二，对个体变元加以量化。例如，在论域D中对Fx进一步断定：对于所有的x来说，Fx成立；或者断定：至少存在着一个x，Fx成立。也就是断定：所有的个体是紫色的；或者断定：至少有一个是紫色的。这样的断定就是命题，它们有真假。在量化过程中，我们使用了量词这类对谓词逻辑来讲非常重要的语词。因此，需要把命题划分为个体词、谓词、量词。量词就是表示论域D中个体词数量的语词。量词分为两种：一种是全称量词，如“每一个”、“所有”、“凡”等，它们指称论域D中个体的全部；另一种是存在量词，如“存在”、“有些”、“有”等，它们指称论域D中个体至少有一个存在。在传统逻辑中，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题。在现代逻辑中，全称量词用“∨”和个体变元表示，如“所有x”或“任何x”均记为“∨x”。存在量词用“？”和个体变元表示，如“有x”、“存在x”、“至少有一个x”，均记为“？x”。“∨x”和“？x”都是符号化量词，即逻辑的量词，它们的意义是确定的，都是逻辑常项。2.直言命题的符号化形式AEIO四种直言命题，均可以通过谓词逻辑将其符号化。例如，（1）凡事物都是发展的。如果用x表示（1）的个体词，用D表示谓词“是发展的”，那么（1）可表示为：∨xDx。读成：“对所有x而言，x都是发展的。”（2）凡自然数都大于零。如果不限制论域，那么这个命题的翻译比较复杂，它不能写成：∨x（x都大于零）。因为其是说：“对于所有的x，x都大于零”。由于对论域没加限制，所以个体变元可以泛指宇宙中的任何个体。这样其意指宇宙中所有个体均大于零，这和（2）的含义不符。因此，全称肯定命题应译成蕴含式：

∨x（x是自然数→x大于零）如果用N和E分别表示“是自然数”、“大于零”。那么例（2）的完全符号化为：

∨x（Nx→Ex）（3）所有大学生都不是儿童。如果用S表示“是大学生”，用C表示“是儿童”，则全称否定命题可以符号化为：

∨x（Sx→—Cx）读成：“对所有x而言，如果x是大学生，那么x不是儿童”。可见，全称命题一般应译为蕴含式。（4）有的大学生是儿童。可符号化为：？x（Sx∧Cx）读作：“存在x，x是大学生而且x是儿童”。（5）有人不是中国人。如果用H表示“是人”，用C表示“是中国人”，则可将命题（5）符号化为：

？x（Hx∧—Cx）可见，特称命题一般译为合取式。那么，SAP、SEP、SIP、SOP四种命题形式，如果s不是个体词，那么可取谓词语言（S，P），其中s、p都是一元谓词，则可以得到这些命题在谓词逻辑中对应的符号化形式。（见板书）如果s是个体词，此时没有形如SIP、SOP的命题，而SAP、SEP在谓词逻辑中的形式。（见板书）3.专有名词和二元谓词的符号化（6）小李没有同任何人吵架。如果用a表示专有名词“小李”，用D表示二元谓词“…同…吵架”，用M表示“是人”，那么例（6）可译为：

∨x（Mx→—Dax）（7）有些大一学生认识小李。如果用F表示“是大一学生”，用R表示“认识”，则例（7）可译为：？X（Fx∧Rxa）注意：以上对命题符号化时，由于没有限制论域（个体域、变域），论域就包括整个宇宙中所有个体（事物）的集合，即全域。但我们通常在一定的范围内讨论问题，所以个体变元的论域被限制在一个特定范围内，量词也就只表示这个特定范围内个体数量的语词。例如，如果我们以自然数作为个体域D，那么∨x这个量词就只表示“所有的自然数”，这样例（2）就可以符号化为：∨xEx。如果以大学生为个体论域D，？x就表示“至少一个大学生”。这样例（4）就可符号化为：？xCx。