高中数学高考52第八章 立体几何与空间向量 8 8 立体几何中的向量方法(二)-求空间角和距离

§8.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离第八章立体几何与空间向量NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则知识梳理ZHISHISHULI

l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围[0，π]求法cosθ＝_____2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝

.3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝

.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝

，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).|cos〈n1，n2〉|1.利用空间向量如何求线段长度？【概念方法微思考】2.如何求空间点面之间的距离？题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(

)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(

)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(

)基础自测JICHUZICE12345×××√(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(

)12345×题组二教材改编2.[P104T2]已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为A.45° B.135°C.45°或135° D.90°12345∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.√1234512345∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，123454.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为12345题组三易错自纠√12345解析以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，12345123455.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝

，则l与α所成的角为_____.∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.30°2题型分类深度剖析PARTTWO题型一求异面直线所成的角师生共研例1

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；证明如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，AC，FG⊂平面AFC，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.思维升华跟踪训练1

三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为√解析如图所示，取AC的中点D，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，题型二求直线与平面所成的角例2

(2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.师生共研(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；证明由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.解如图，作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.设DP与平面ABFD所成的角为θ，思维升华(1)证明：PO⊥平面ABC；跟踪训练2

(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝

，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.证明因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，如图，连接OB.所以△ABC为等腰直角三角形，由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC.(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.解由(1)知OP，OB，OC两两垂直，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示.设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z).题型三求二面角师生共研例3

(2018·达州模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝2，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF＝60°.(1)求证：BF⊥AE；∵BC＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，即BC⊥AC，又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACEF，而AE⊂平面ACEF，∴AE⊥BC，连接CF，∵四边形ACEF为菱形，∴AE⊥FC，又∵BC∩CF＝C，BC，CF⊂平面BCF，∴AE⊥平面BCF，∵BF⊂平面BCF，∴BF⊥AE.(2)求二面角B－EF－D的平面角的正切值.解

取EF的中点M，连接MC，∵四边形ACEF是菱形，且∠CAF＝60°，∴由平面几何易知MC⊥AC，又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，CM⊂平面ACEF，∴MC⊥平面ABCD.设平面BEF和平面DEF的一个法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，不妨令b1＝3，则n1＝(0，3，2)，同理可求得n2＝(0，3，－1)，设二面角B－EF－D的大小为θ，由图易知θ为锐角，思维升华利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解.(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，故BC⊥DM.所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC.又DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.当三棱锥M－ABC体积最大时，M为

的中点.由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，可取n＝(1，0，2)，例

(12分)如图，四棱锥S－ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CS＝2，∠BSD＝90°.答题模版DATIMUBAN利用空间向量求空间角(1)求证：AC⊥平面SBD；证明设AC∩BD＝O，连接SO，如图①，因为AB＝AD，CB＝CD，所以AC是BD的垂直平分线，即O为BD的中点，且AC⊥BD. [1分]在△BCD中，因为CB＝CD＝2，∠BCD＝120°，在Rt△SBD中，因为∠BSD＝90°，O为BD的中点，所以SO2＋CO2＝CS2，所以SO⊥AC. [4分]因为BD∩SO＝O，BD，SO⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD. [5分](2)若SC⊥BD，求二面角A－SB－C的余弦值.解方法一过点O作OK⊥SB于点K，连接AK，CK，如图②，由(1)知AC⊥平面SBD，所以AO⊥SB.因为OK∩AO＝O，OK，AO⊂平面AOK，所以SB⊥平面AOK. [6分]因为AK⊂平面AOK，所以AK⊥SB.同理可证CK⊥SB. [7分]所以∠AKC是二面角A－SB－C的平面角.因为SC⊥BD，由(1)知AC⊥BD，且AC∩SC＝C，AC，SC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.而SO⊂平面SAC，所以SO⊥BD.方法二因为SC⊥BD，由(1)知，AC⊥BD，且AC∩SC＝C，AC，SC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.而SO⊂平面SAC，所以SO⊥BD. [6分]由(1)知，AC⊥平面SBD，SO⊂平面SBD，所以SO⊥AC.因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以SO⊥平面ABCD. [7分]设平面SAB的法向量n＝(x1，y1，z1)，因为二面角A－SB－C是钝角，答题模板

利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；第二步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第三步：计算向量的夹角(或函数值)，并转化为所求角.3课时作业PARTTHREE12345678910111213141516基础保分练1.已知两平面的法向量分别为m＝(1，－1，0)，n＝(0，1，－1)，则两平面所成的二面角为A.60° B.120°C.60°或120° D.90°√即〈m，n〉＝120°.∴两平面所成二面角为120°或180°－120°＝60°.123456789101112131415162.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为√12345678910111213141516解析设CA＝2，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为12345678910111213141516√12345678910111213141516解析以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，12345678910111213141516∴n1＝(1，2，2).∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，123456789101112131415164.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与B1D所成角的大小为√12345678910111213141516解析以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).123456789101112131415165.(2018·上饶模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝AA1＝2，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为√12345678910111213141516解析以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设异面直线AB1和A1C所成的角为θ，12345678910111213141516√12345678910111213141516由图可知，二面角C－AB－O为锐角，123456789101112131415167.在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为_____.12345678910111213141516解析以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，12345678910111213141516取z＝1，则n＝(2，0，1)，设直线PA与平面DEF所成的角为θ，1234567891011121314151612345678910111213141516∴AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝EF＝CD＝2，则E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(0，2，0)，C(0，2，1)，123456789101112131415169.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是____.60°12345678910111213141516解析以B点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，12345678910111213141516∵异面直线所成角的范围是(0°，90°]，∴EF和BC1所成的角为60°.1234567891011121314151610.(2019·福州质检)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为_____.12345678910111213141516解析方法一延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求锐二面角的平面角.12345678910111213141516方法二如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，12345678910111213141516令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1，1，－3)，取平面ABC的法向量为m＝(0，0，－1)，设平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，12345678910111213141516(1)证明：B1Q⊥A1C；12345678910111213141516证明如图所示，连接AC1与A1C交于M点，连接MQ.∵四边形A1ACC1是正方形，∴M是AC1的中点，又Q是A1B的中点，又∵B1C1∥BC且BC＝2B1C1，∴MQ∥B1C1，MQ＝B1C1，∴四边形B1C1MQ是平行四边形，∴B1Q∥C1M，∵C1M⊥A1C，∴B1Q⊥A1C.12345678910111213141516(2)求直线AC与平面A1BB1所成角的正弦值.12345678910111213141516解∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，CC1⊥AC，CC1⊂平面A1ACC1，∴CC1⊥平面ABC.如图所示，以C为原点，CB，CC1所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，令AC＝BC＝2B1C1＝2，12345678910111213141516设平面A1BB1的法向量为n＝(x，y，z)，设直线AC与平面A1BB1所成的角为α，12345678910111213141516(1)证明：平面BEF⊥平面PEC；12345678910111213141516证明在Rt△ABE中，由AB＝AE＝1，得∠AEB＝45°，同理在Rt△CDE中，由CD＝DE＝2，得∠DEC＝45°，所以∠BEC＝90°，即BE⊥EC.所以PE2＋AE2＝PA2，即PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BE.又因为CE∩PE＝E，CE，PE⊂平面PEC，所以BE⊥平面PEC，所以平面BEF⊥平面PEC.12345678910111213141516(2)求二面角A－BF－C的余弦值.12345678910111213141516解由(1)知EB，EC，EP两两垂直，故以E为坐标原点，以射线EB，EC，EP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则12345678910111213141516设平面ABF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，设平面BFC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，12345678910111213141516记二面角A－BF－C为θ(由图知应为钝角)，12345678910111213141516技能提升练12345678910111213141516解析因为SA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.∵AB＝4，SA＝3，∴B(0，4，0)，S(0，0，3).设BC＝m，则C(m，4，0)，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ；证明连接A1Q.12345678910111213141516∵AA1＝AC＝1，M，Q分别是CC1，AC的中点，∴Rt△AA1Q≌Rt△CAM，∴∠MAC＝∠QA1A，∴∠MAC＋∠AQA1＝∠QA1A＋∠AQA1＝90°，∴AM⊥A1Q.∵N，Q分别是BC，AC的中点，∴NQ∥AB.又AB⊥AC，∴NQ⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∴NQ⊥AA1.又AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，∴NQ⊥平面ACC1A1，∴NQ⊥AM.由NQ∥AB和AB∥A1B1可得NQ∥A1B1，∴N，Q，A1，P四点共面，∴A1Q⊂平面PNQ.∵NQ∩A1Q＝Q，NQ，A1Q⊂平面PNQ，∴AM⊥平面PNQ，∴无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ.12345678910111213141516(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为60°？若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由.1234567891011121314151612345678910111213141516解如图，