2022-2023学年江西省宜春市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年江西省宜春市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.

2.

3.设k＞0，则级数为()．A.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性与k有关

4.

5.A.e-1dx

B.-e-1dx

C.(1+e-1)dx

D.(1-e-1)dx

6.

7.设函数z=sin(xy2)，则等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

8.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

9.设y=lnx，则y″等于()．

A.1/x

B.1/x2

C.-1/x

D.-1/x2

10.A.-1

B.0

C.

D.1

11.（）。A.

B.

C.

D.

12.方程x2+y2-2z=0表示的二次曲面是.

A.柱面B.球面C.旋转抛物面D.椭球面

13.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的()。

A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件

14.

15.A.连续且可导B.连续且不可导C.不连续D.不仅可导，导数也连续

16.

17.A.A.

B.

C.

D.

18.

19.点作曲线运动时，“匀变速运动”指的是()。

A.aτ为常量

B.an为常量

C.为常矢量

D.为常矢量

20.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关21.设y=cos4x，则dy=（）。A.

B.

C.

D.

22.微分方程y"-4y=0的特征根为A.A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，423.

24.

25.

26.

27.

28.

A.x=-2B.x=2C.y=1D.y=-2

29.

A.必定存在且值为0B.必定存在且值可能为0C.必定存在且值一定不为0D.可能不存在30.微分方程y'=1的通解为A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x31.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

32.

33.下列关系正确的是（）。A.

B.

C.

D.

34.设函数y=ex-2,则dy=()A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-1)dxD.e^xdx

35.A.

B.

C.

D.

36.

37.A.e2

B.e-2

C.1D.038.

A.

B.

C.

D.

39.设函数f(x)在[0，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)在(a，b)()．

A.不存在零点

B.存在唯一零点

C.存在极大值点

D.存在极小值点

40.

41.

42.A.A.1B.2C.3D.443.A.A.

B.B.

C.C.

D.D.

44.设y=exsinx，则y'''=A.cosx·ex

B.sinx·ex

C.2ex(cosx-sinx)

D.2ex(sinx-cosx)

45.

46.

A.仅有水平渐近线

B.既有水平渐近线，又有铅直渐近线

C.仅有铅直渐近线

D.既无水平渐近线，又无铅直渐近线

47.

48.

设f(x)=1+x，则f(x)等于（）。A.1

B.

C.

D.

49.

50.（）。A.收敛且和为0

B.收敛且和为α

C.收敛且和为α-α1

D.发散

二、填空题(20题)51.

52.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．53.54.已知当x→0时，-1与x2是等价无穷小，则a=________。55.56.

57.微分方程y＋y=sinx的一个特解具有形式为

58.

59.

60.

61.

62.63.64.65.66.设区域D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，则化为极坐标系下的表达式为______．

67.幂级数的收敛半径为______.

68.

69.

70.

三、计算题(20题)71.

72.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

73.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

74.

75.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

76.求微分方程的通解．77.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．78.79.证明：80.

81.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

82.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．83.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．84.85.

86.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．87.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则88.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

89.

90.求曲线在点(1，3)处的切线方程．四、解答题(10题)91.

92.93.求曲线y=x3-3x+5的拐点.94.

95.

96.97.设y=x2+sinx，求y'．98.99.求在区间[0，π]上由曲线y=sinx与y=0所围成的图形的面积A及该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积Vx。

100.

五、高等数学(0题)101.

则dz=__________。

六、解答题(0题)102.设区域D由x2+y2≤1，x≥0，y≥0所围成．求

参考答案

1.A

2.D

3.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．

由于为莱布尼茨级数，为条件收敛．而为莱布尼茨级数乘以数-k，可知应选A．

4.B

5.D本题考查了函数的微分的知识点。

6.C

7.D本题考查的知识点为偏导数的运算。由z=sin(xy2)，知可知应选D。

8.C

9.D由于Y=lnx，可得知，因此选D．

10.C

11.C

12.C本题考查了二次曲面的知识点。x2+y2-2z=0可化为x2/2+y2/2=z,故表示的是旋转抛物面。

13.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定。∴可导是可积的充分条件

14.A

15.B

16.D

17.B本题考查的知识点为可导性的定义．当f(x)在x=1处可导时，由导数定义可得

18.C

19.A

20.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性。

21.B

22.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B。

23.A

24.C解析：

25.A

26.D解析：

27.A

28.C解析：

29.B

30.D

31.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

32.C解析：

33.C本题考查的知识点为不定积分的性质。

34.B

35.A

36.A解析：

37.A

38.B本题考查的知识点为交换二次积分次序。由所给二次积分可知积分区域D可以表示为1≤y≤2，y≤x≤2，交换积分次序后，D可以表示为1≤x≤2，1≤y≤x，故应选B。

39.B由于f(x)在[a，b]上连续f(z)·fb)<0，由闭区间上连续函数的零点定理可知，y=f(x)在(a，b)内至少存在一个零点．又由于f(x)>0，可知f(x)在(a，b)内单调增加，因此f(x)在(a，b)内如果有零点，则至多存在一个．

综合上述f(x)在(a，b)内存在唯一零点，故选B．

40.C

41.D解析：

42.D

43.C本题考查了二重积分的积分区域的表示的知识点.

44.C由莱布尼茨公式，得（exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).

45.A

46.A

47.B解析：

48.C本题考查的知识点为不定积分的性质。可知应选C。

49.D

50.C

51.22解析：52.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．

(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．

本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．

x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．

53.

本题考查的知识点为定积分的换元法．

解法1

解法2

令t＝1＋x2，则dt＝2xdx．

当x＝1时，t＝2；当x＝2时，t＝5．

这里的错误在于进行定积分变量替换，积分区间没做变化．54.当x→0时，-1与x2等价，应满足所以当a=2时是等价的。55.0

56.

57.

58.y=xe+Cy=xe+C解析：

59.1/e1/e解析：

60.00解析：

61.0

62.-1本题考查了利用导数定义求极限的知识点。

63.1/2本题考查了对∞-∞型未定式极限的知识点，

64.65.f(0)．

本题考查的知识点为导数的定义．

由于f(0)＝0,f(0)存在，因此

本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误：

因为题设中只给出f(0)存在，并没有给出f(x)(x≠0)存在，也没有给出f(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误．

66.

；本题考查的知识点为二重积分的直角坐标与极坐标转化问题．

由于x2+y2≤a2，y＞0可以表示为

0≤θ≤π，0≤r≤a，

因此

67.3

68.

69.(sinx+cosx)exdx(sinx+cosx)exdx解析：

70.7/571.由一阶线性微分方程通解公式有

72.

73.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

74.

75.

76.

77.

列表：

说明

78.

79.

80.

81.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

82.函数的定义域为

注意

83.

84.

85.

则

86.由二重积分物理意义知

87.由等价无穷小量的定义可知

88.

89.

90.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f