西工大、西交大自动控制原理 第六节　线性系统的稳态误差计算11-12

第六节线性系统的稳态误差计算内容回顾开始本节原理性误差:控制系统由于系统结构、外作用形式和类型所产生的稳态误差。控制系统的稳态误差，是系统控制精度(准确度)的一种度量，通常称为稳态性能。基本概念非线性因素（静摩擦、间隙、不灵敏区、零点漂移）不考虑稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳定状态时系统精度的度量。无差系统在阶跃函数作用下没有原理性误差的系统。基本概念有差系统在阶跃函数作用下具有原理性误差的系统。控制系统的典型结构图为：1.误差与稳态误差二种定义方法1.误差与稳态误差1、从输出端定义

被控制量(即系统的输出量)希望值与其实际值之差定义为系统的误差理想工作情况下，应满足1.误差与稳态误差输出端误差定义有：1、从输出端定义1.误差与稳态误差2、从输入端定义系统的误差等于系统的输入与系统主反馈信号之差1.误差与稳态误差两种定义间的关系因而有或单位反馈时，有输入端定义输出端定义1.误差与稳态误差稳态误差

以后均采用输入端定义的误差来讨论。误差信号包含二个分量：稳态分量和暂态分量。其中稳态分量反映了控制系统跟踪输入信号的能力和精度。即反映了系统的稳态性能。1.误差与稳态误差对于一个稳定的系统，过渡过程结束后，误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，记为显然：稳态误差

1.误差与稳态误差稳态误差的计算用终值定理求稳态误差的终值拉氏变换的终值定理：若1.误差与稳态误差稳态误差的计算1.误差与稳态误差稳态误差的计算根据终值定理，可得稳态误差的终值：1.误差与稳态误差稳态误差的计算可见，系统的稳态误差与系统的结构和参数有关，同时与系统的外作用有关。1.误差与稳态误差注意：

使用终值定理是有条件的。这个条件为：在复平面右半平面及虚轴上解析，即的极点均在平面的左半平面(包括坐标原点)。

不满足以上条件不能使用终值定理。对于一个稳定系统，其闭环极点均在平面左半平面。只有当输入信号为或它们的线性组合时，才能使用终值定理！1.误差与稳态误差[例1]系统结构图如下，当输入信号为时，试求系统的稳态误差。解：首先判断系统的稳定性：系统的特征方程式为1.误差与稳态误差要使系统稳定应有：稳态误差要求越大越好。但太大(大于6后)系统就不稳定了。最小为

2.用静态误差系数法求稳态误差对输入信号而言，系统的开环传递函数为：其中，为前向通道传递函数。若将系统开环传递函数写成典型环节乘积的一般形式为：

2.用静态误差系数法求稳态误差为开环增益;为积分环节的个数。

2.用静态误差系数法求稳态误差若令：则有：

2.用静态误差系数法求稳态误差系统稳态误差的终值除与输入信号有关外，还与系统的开环增益及开环传递函数中的积分环节的数目有关。

2.用静态误差系数法求稳态误差根据系统开环传递函数中积分环节的数目把系统分为：型系统I型系统II型系统系统型别

2.用静态误差系数法求稳态误差当有阶跃输入信号作用于系统时，系统稳态误差(的终值)为

2.用静态误差系数法求稳态误差定义：静态位置误差系数对0型系统对I型以上系统，位置误差

2.用静态误差系数法求稳态误差当速度(斜坡)输入函数作用于系统时，系统稳态误差(的终值)为

2.用静态误差系数法求稳态误差静态速度误差系数定义：0型系统，，I型系统，，II型以上系统，，“速度误差”

2.用静态误差系数法求稳态误差当有加速度输入函数作用于系统时，系统稳态误差(的终值)为

2.用静态误差系数法求稳态误差定义：静态加速度误差系数

对0型系统，；对Ⅰ型系统，；对Ⅱ型系统,；对Ⅲ型以上系统

，；“加速度误差”系统型别静态误差系数阶跃输入斜坡输入加速度输入位置误差速度误差加速度误差ⅠⅡⅢ

2.用静态误差系数法求稳态误差

2.用静态误差系数法求稳态误差可以直接利用静态误差系数求系统稳态误差(的终值)。使用静态误差系数法求取系统稳态误差终值时，应注意以下几点：控制过程：1系统必须是稳定的，否则稳态误差毫无意义；

2静态误差系数法，只适用于求输入信号作用下的稳态误差，不能用于干扰作用下稳态误差的计算。因此，干扰作用下的稳态误差(的终值)仍用终值定理求；

2.用静态误差系数法求稳态误差3公式中的K

必须是系统的开环增益；控制过程：4静态误差系数法计算系统稳态误差的公式是根据输入端定义的误差情况下推得的。若对输出端定义的误差进行计算时，对单位反馈，以上公式仍可使用。但对非单位反馈系统，计算时，不能直接应用以上公式；5因为静态误差系数的推导仍然依据拉氏变换的终值定理，所以使用静态误差系数法计算系统稳态误差时，仍应满足使用终值定理的条件。

2.用静态误差系数法求稳态误差[例2]系统结构图如下，当输入信号为时，试求系统的稳态误差。解：首先分析系统的稳定性。系统的特征方程式为：

2.用静态误差系数法求稳态误差应用劳斯判据，可得稳定的充要条件：系统的开环传递函数为：∴此为Ⅱ型系统，其静态误差系数为：

2.用静态误差系数法求稳态误差解：首先分析系统的稳定性。系统的特征方程式为：[例3]系统结构图如下，当输入为时，试求系统的稳态误差，

2.用静态误差系数法求稳态误差应用劳斯判据，可知系统是稳定的。系统的开环传递函数为：∴此为Ⅰ型系统

，其静态误差系数为：

2.用静态误差系数法求稳态误差要求，这是一个非单位反馈系统，所以不能直接用静态误差系数法求，应用终值定理求。

3.用动态误差系数法求稳态误差以上两种方法均可方便地求出稳态误差(的终值)。但它们存在以下局限性：控制过程：1因为拉氏变换的终值定理的运用是有条件的，即函数应在平面的左半平面及虚轴上（原点除外）没有极点。而

所以它们只能求取当输入信号为阶跃、斜坡、速度、加速度函数或是它们的线性组合时的稳态误差。对正弦等其它输入信号则不能应用。

3.用动态误差系数法求稳态误差2静态误差系数法，只适用于求输入信号作用下的稳态误差，不能用于干扰作用下稳态误差的计算。因此，干扰作用下的稳态误差(的终值)仍用终值定理求；运用动态误差系数法求稳态误差，就可以克服以上局限性。3静态误差系数法，只适用于求误差信号的终值，不能误差信号随时间的变化

3.用动态误差系数法求稳态误差设系统结构图为：将在的邻域展开成泰勒级数，有：

3.用动态误差系数法求稳态误差对应的误差极数为：这一无穷级数的收敛域是的邻域。这对应于时成立的误差级数。因此在初始条件为零时，对上式进行拉氏反变换，可得稳态误差随时间变化的表达式：

3.用动态误差系数法求稳态误差若令：则稳态误差的表达式可表示成

3.用动态误差系数法求稳态误差定义：为动态误差系数。习惯上称为动态位置误差系数，称为动态速度误差系数，称为动态加速度误差系数。同样，对于扰动信号，也可以定义动态误差系数定义：为对于的动态误差系数。

3.用动态误差系数法求稳态误差简便的方法来求动态误差系数：显然，当已知系统的结构、参数以及系统的外作用(或)时，就可根据上述(或)的表达式求出系统的稳态误差随时间变化的规律。但求解过程中需要对或求导，很繁琐。总可将误差传递函数(或)写成有理分式形式

3.用动态误差系数法求稳态误差然后作长除法(也称综合除法)，可得：这也是一个无穷极数，其收敛域也在的邻域，与前面系统动态误差系数公式相比，显然，这里的系数就是系统的动态误差系数。

3.用动态误差系数法求稳态误差各型系统动态误差系数为：型系统I型系统II型系统

3.用动态误差系数法求稳态误差[例3]设有二个单位反馈系统，其开环传递函数分别为：(1)试求出它们的静态误差系数；(2)若输入信号试写出它们的稳态误差表达式。

(均为正数)解：(一)求静态误差系数:

3.用动态误差系数法求稳态误差对系统1:系统为Ⅰ型系统对系统2:系统为Ⅰ型系统

3.用动态误差系数法求稳态误差(二)求稳态误差的表达式:

先求两系统的动态误差系数:系统1的动态系数为:再求作用下的稳态误差的表达式

3.用动态误差系数法求稳态误差系统2的动态系数为:系统1的稳态误差表达式为：

3.用动态误差系数法求稳态误差

这一项在求稳态误差时就不必考虑了。稳态误差的终值为系统2的稳态误差表达式为：

3.用动态误差系数法求稳态误差稳态误差的终值为由于前述静态误差系数都是对系统输入信号定义的，所以系统在扰动作用下的稳态误差不能用静态误差求取，只能用终值定理和动态误差系数法来求。

4.扰动作用下的稳态误差用终值定理和动态系数法求取扰动作用下系统的稳态误差终值和稳态误差表达式的方法与求输入信号作用下系统稳态误差的方法完全类似。我们只讨论扰动作用下系统稳态误差(的终值)与哪些因素有关。

4.扰动作用下的稳态误差

4.扰动作用下的稳态误差

4.扰动作用下的稳态误差由上式可以看出:

扰动信号作用下系统稳态误差（的终值）除了与扰动信号有关外，还与系统的结构和参数有关。具体地说，还与系统开环传递函数

的积分环节个数、开环增益以及的积分环节数目有关。

4.扰动作用下的稳态误差再做进一步的研究：当时，若：若：当时，

4.扰动作用下的稳态误差若若若当时，

4.扰动作用下的稳态误差若若若若

4.扰动作用下的稳态误差由此可见，当扰动分别为为阶跃、斜坡或加速度函数时，扰动引起的系统稳态误差的终值，除与扰动信号有关外，只与的积分环节数目及增益有关。

5.减小或消除系统稳态误差的措施要减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数(对干扰信号

为传递函数

)中积分