《空间向量的运算(1)》示范公开课教案【高中数学北师大】

《空间向量的运算(1)》教案教学目标教学目标1.经历由平面向量的运算和运算规则推广到空间向量的运算和运算规则的过程，体会从二维空间到三维空间的变化，培养学生迁移的能力；2.掌握空间向量的加减法和数乘运算．教学重难点教学重难点重点：空间向量的加减法和数乘运算．难点：空间向量加法结合律的证明．教学过程教学过程一、情境导入情境：有两个中学生在一个密闭的房间内用塑料子弹练习打靶，其中一个人直接将枪对准目标射击，正中靶心；另外一个人在准备瞄准时意外“走火”，子弹经房顶、墙壁、地面等多次反射，最后居然也打中靶心，不考虑空气阻力等因素，两人的子弹起点和终点位置相同，那么它们所对应的向量也相同吗？其中的道理是什么呢？一起来探究吧！设计意图：通过实际的问题情境，引导学生类比之前学习的平面向量进行思考，为讲解空间向量的运算作铺垫．二、新知探究问题1：对于空间中任意两个向量，总能证明它们是共面的，你能类比平面向量的线性运算，得出空间向量的线性运算及运算律吗？追问1：平面向量有几种线性运算，满足哪些运算律呢？答案：平面向量的线性运算：1.向量的加法；2.向量的减法；3.向量的数乘；向量的加法和数乘运算满足以下运算律：加法交换律：a+b=b+追问2：空间向量的加减法应该怎样定义呢？答案：向量的加法：已知空间向量a，b，过空间任意一点A作AB=a，BC=b，再作向量AC，如图，把向量AC叫作空间向量a，b即a+b=AB这个求两个空间向量和的法则，叫作向量求和的三角形法则．当空间向量a，b不平行时，过空间任意一点O作OA=a，OB=b，这时O，A，B三点不共线，在平面OAB内，以OA，OB为邻边作□OABC．因为由此可见，平面向量求和的平行四边形法则，对空间向量同样适用．与平面向量类似，空间向量a，b的差也可以定义为a+-b，记作a-b，其中-b是b的相反向量如图（1）中，a-b=OA如图（2）中，DA是B'C'的相反向量，所以AB-思考：空间向量的加法满足哪些运算律呢？答案：与平面向量的加法满足的运算律类似，空间向量的加法也满足如下的运算律：加法交换律：a+b=向量加法交换律的证明相对简单，同学们可自行证明，下面我们对向量加法的结合律进行证明：以平行六面体ABCD-A'B'C'D'一方面：AB+另一方面：AB+所以AB+问题2：你能类比平面向量的数乘运算得出空间向量的数乘运算的定义或法则吗？答案：与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa．求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量λ（1）λa（2）当λ>0时，向量λa与向量a方向相同；当λ<0时，向量λa与向量a方向相反；当λ=0时，根据以上定义不难得出，对于任意一个非零向量a，当λ=1a时，λa=a追问：空间向量数乘运算的定义也和平面向量一样，你能将平面向量数乘运算的运算律，推广到空间向量的数乘运算中吗？答案：空间向量的数乘运算满足如下的运算律：（1）λμ（2）λ+μa=（3）λa其中，λ∈R，μ∈问题3：两个平面向量共线的充要条件是什么？这个充要条件对空间向量也成立吗？答案：对任意两个平面向量a，bb≠0，a//b的充要条件是存在实数λ，使a=根据空间向量数乘运算的定义，λa是与向量a共线的向量，因此，对于空间任意两个向量a，bb≠0，若存在实数λ，使得a=λb，则a与b共线，反之，由共线向量的定义，若向量a与b共线且b≠0，则一定存在实数λ使得a=λb（其中λ=ab，若向量a，b方向相同，则λ>0；若向量a，b也就是说，平面中两个向量共线的充要条件，对于空间向量同样成立．定理：空间两个向量a，bb≠0共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=通常把这个定理称为共线向量基本定理．（也称“一维向量基本定理”）注意：（1）向量共线等价于向量平行；（2）验证过程中对b≠0的约束；（3）该定理在用于证明直线平行时，需要注意排除重合的情况．思考：任意给定两个不共线的向量a，b，若存在实数x，y，使得向量c=xa+yb，则向量c与答案：根据平面向量基本定理：若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量c，存在唯一的有序实数对x，y，使得：可得，空间向量共面的充要条件：两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对x，y，使得：设计意图：类比平面向量，得出空间向量的线性运算，进一步引导学生对运算律进行推广，并指出在推广过程中继承的运算法则和可能产生的心得运算法则，大胆猜想，小心求证．三、应用举例例1：如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量表达式，（1）AB+（2）DD'-（3）AB+解：（1）AB+（2）DD'-（3）设M为CB'的中点，则AB+化简后，所对应的向量如图：例2如图，M，N分别是四面体ABCD的棱AB，CD的中点．求证：MN=证明：取BD的中点E，连接ME，NE．因为M，N分别是四面体ABCD的棱AB，CD的中点，易知：ME=12又MN=四、课堂练习1．在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，M为A'C'与B'D'的交点．若AB=a，AD=b，A．-12C．-12a2.已知非零向量a，b，且AB=a+2b，BCA．A，B，CB．A，B，DC．B，C，DD．A，C，D参考答案：1．解：BM=BB'+2.解：因为AD=AB+又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．故选B．五、课堂小结空间向量共线的充要条件：对任意两个向量a，bb≠0，a//b的充要条件是存在实数λ，使a=空间向量共面的充要条件：两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的