课件数学第八章d8.3

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一、全微分的定义二*、全微分在近似计算中的应用第三节全微分

一、全微分的定义————函数f(x,y)对x的偏微分——函数f(x,y)对y的偏增量————函数f(x,y)对y的偏微分

全增量zf(xx,yy)f(x,y).1.偏增量与偏微分f(xx,y)f(x,y)fx(x,y)x,f(x,yy)f(x,y)fy(x,y)y,——函数f(x,y)对x的偏增量

根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有f(xx,y)f(x,y)f(x,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y2.全微分的定义其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关,则称函数zf(x,y)在点(x,y)可微分,而AxBy称为函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即

dzAxBy.

如果函数在区域D内各点处都可微分,那么称这函数在D内可微分.

如果函数zf(x,y)在点(x,y)的全增量

zf(xx,yy)f(x,y)可表示为(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微

,则该函数在该点偏导数同样可证证:

由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有反例:

函数易知

但因此,函数在点(0,0)不可微.注:

定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:定理2

(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.所以函数在点可微.注意到,故有推广:

类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是例1.

计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.

计算函数的全微分.解:

可知当*二、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连

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