《空间向量运算的坐标表示及应用(1)》示范公开课教案【高中数学北师大】

第三章空间向量与立体几何3.3.2空间向量运算的坐标表示及应用(1)教学目标教学目标1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量运算的坐标表示、掌握空间向量的平行和垂直的条件．教学重难点教学重难点重点：空间向量的正交分解与坐标表示．难点：空间向量的正交分解与坐标表示．教学过程教学过程一、情境导入回顾：空间向量基本定理的内容是什么？答案：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组x，y，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基．特别地，当空间的一组基向量两两垂直时，空间向量与空间直角坐标系之间有什么关系呢？设计意图：回顾空间向量基本定理的内容，引导学生进行思考，为讲解空间向量的正交分解及坐标表示作铺垫．二、新知探究问题1：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？答案：在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成了空间向量的一组基i，j，根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组x，y，反之，任意给出个三元有序实数组x，y，z，也可找到唯一的一个向量p=xi+yj+单位向量i，j，k都叫作坐标向量．xi，yj，zk实际上分别是向量p问题2：空间中任意一个向量与哪个点的坐标相同？答案：在平面直角坐标系中，点P的位置由向量OP唯一确定，类比到空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到OP=p．若点P的坐标为x，y，z，由空间向量的加法不难得出即，向量OP或p的坐标恰是点P在空间直角坐标系O-xyz中的坐标追问：若点A的坐标为x1，y1，z1答案：因为向量OA与点A的坐标相同，OA=x1，y1，又AB==也就是说，一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．问题3：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？答案：设向量a=x1（1）a+b=（2）a-b=（3）λa=λ（4）a·b=追问：你能否对空间向量运算的坐标表示进行证明呢？答案：结合空间向量坐标的定义，我们以数量积运算的坐标表示为例进行证明：∵a=x1∴a·b=根据向量数量积的分配律，以及i·i=j·j=k·k=1，i·j=j·k=i·k=即可得出a·b+=x因此，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们课下自主完成．总结：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．问题4：在学习平面向量运算的过程中，我们了解到向量可以帮助我们解决平面几何中的特殊位置关系与几何度量等问题，这些重要的性质和结论在空间向量中仍然成立吗？追问1：如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行？答案：设a=x1，y1，b=x2，y2，当b≠0时，a类比平面向量平行的坐标表示，我们可以得到：设空间向量a=x1，y1，z1，b=可以用坐标表示为x1，y1，z1追问2：这个充要条件能否表示为x1答案：显然，空间向量平行的充要条件不等价于x1x2=y1y2=z1z2，因为b≠0含义是b的坐标分量x2特殊地，当b=0时，b=0，追问3：如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的垂直？答案：在平面向量中，若a=x1，y1类比平面向量垂直的坐标表示，设空间向量a=x1，y三、应用举例例1：已知向量a=-1，求：（1）2a；（2）a+解：（1）2a=2（2）∵a+=-1-2a+b=-=2∴a+2例2：设向量a=1，x，（1）a//b；（2）解：（1）①当x=0时，a=1，0，1，②当x=1时，a=1，1，0，b③当x≠0时，且x≠1时，由a//b⇔1-x21综上所述，当x=0或x=2时，a//（2）a⊥∴1，⇔1-x2-3x2+1-四、课堂练习1．已知向量a=0，1，1，b=1，-2A．6B．－6C．4D．－42．已知向量a=1，1，0，b=-13．若四边形ABCD为平行四边形，且A4，1，3，B参考答案：1．解：∵a=0，1，1又因为向量a+b与向量c=所以存在实数λ，使得λa+b∴m=λ2=-λn=2λ，解得m=-2λ=-22．解析：因为a=1，1，0又ka+b与b所以ka+b·b=0，即-k3．解析：由四边形ABCD为平行四边形知AD=设Dx，y，z∴x-4=1y-1=12z-3=-6，解得∴D的坐标为5，五、课堂小结设计意图：引导学