《椭圆的简单几何性质(1)》示范公开课教案【高中数学北师大】

《椭圆的简单几何性质（1）》教案教学目标教学目标1．掌握椭圆的简单几何性质．2．能根据几何条件求出椭圆标准方程，利用椭圆的标准方程研究它的性质并画出图形．教学重难点教学重难点重点：掌握椭圆的简单几何性质．难点：利用椭圆的标准方程研究它的性质并画出图形．教学过程教学过程新课导入我们利用椭圆的定义及图象认识了椭圆并且得到椭圆的标准方程，接下来，与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们也可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等．二、新知探究问题1由椭圆C的标准方程x2a21．范围由方程①可得椭圆C上的任意一点P(x,y)总满足x这说明椭圆C位于四条直线：x=-a，x=a，y=-b，y=b2．对称性根据椭圆方程的结构特点，可以发现：若(x0,y0)是椭圆方程的一组解，即x02a2+y02b2=1，则(x0，-y0)，(-x0，y0)，3．顶点在椭圆C的标准方程①中，当x=0时，y=±b．这说明B1(0，-b)，B2(0，b)是椭圆C与y轴的两个交点．同理，当y=0时，因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点．这四个交点叫作椭圆的顶点．椭圆x2a2+y2b2=1线段A1A2，B且|A1Aa和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长．问题2：观察图象，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，这是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量来刻画椭圆的扁平程度吗？这个量对椭圆的形状有何影响？答案：我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即ca如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O=ca=e,显然0<e<l．问题3当椭圆C的焦点在y轴上时，通过其标准方程y2a2焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程xy范围-a-a顶点A1(-a,0)，A2(a,0)A1(0,-a)，A2(0,a)轴长长轴长为2a，短轴长为2b焦点F1(-c,0)F1(0,-c)焦距2c对称性对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点离心率0答案：通过椭圆焦点在y轴上时其标准方程y2a2注意：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c，最小值为a-(4)O为长轴中点、短轴中点、F1(5)P为短轴端点时，∠F三、应用举例例1求椭圆9x2解将已知方程化为椭圆的标准方程x则a=5，b=3，c=a因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10，2b=6，离心率是e=c两个焦点分别是F1(-4，椭圆的四个顶点分别是A1(-5，0)，A2将方程变形为y=±3525-x2，由y=3525-x2x012345y3.02.92.72.41.80先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图)．例2求椭圆m2解由已知得x2因为0<m2<4所以椭圆的焦点在x轴上，并且半长轴长a=1半短轴长b=12m，半焦距所以椭圆的长轴长2a=2m，短轴长焦点坐标为(-32m顶点坐标为(1m，0)，(-1离心率e=c总结：用方程研究椭圆几何性质的步骤：(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)．(3)求出a，b，c．(4)写出椭圆的几何性质．例3神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行,实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆,地心为椭圆的一个焦点,如下图所示．假设航天员到地球表面的最近距离为d1,最远距离为d2,地球的半径为R,我们想象存在一个镜像地球,其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上,上面发射某种神秘信号,需要飞行中的航天员中转后地球上的人才能接收到,则传送神秘信号的最短距离为解设航天员到地球表面最近距离时在点P,最远距离时在点P1,设椭圆的方程为x2a2+y两焦点分别为F1，F2,飞行中的航天员为点由已知可得d则2a=故传送神秘信号的最短距离为|PF四、课堂练习1．请说明椭圆x2a2+y2b22．根据下列条件，求椭圆的离心率：(1)长轴与短轴之比为3∶2；(2)以短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．3．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标，并以矩形为参照画出椭圆的图形：(1)x2+4y参考答案：1．a为长半轴长，b为短半轴长，c为半焦距长，e为离心率，它们在图中的标记如图所示．2．（1）由题意不妨设a=3，b=2，则c=a（2）由题意得b=3c，a2=b23．（1）由题意得标准方程x24+y2=1，可得长轴2a=4，短轴2b=2，焦距（2）由题意得标准方程x24+y29=1，可得长轴2a=6，短轴2b=五、课堂小结椭圆的简单几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程xy范围-a-a顶点A1(-a,0)，A2(a,