《基本计数原理》示范公开课教案【高中数学北师大】

《基本计数原理》教案教学目标教学目标1．理解基本计数原理，能正确区分“类”和“步”，掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系；2．能运用两个计数原理解决一些简单的实际问题．教学重难点教学重难点重点：理解基本计数原理.难点：正确选择加法原理或者乘法原理解决问题.教学过程教学过程一、情境创设问题：新冠病毒疫情期间，飞飞出差前，需要做核酸检测。于是他打开手机，搜素附近的核酸检测点，手机显示附近的核酸检测点有150个，并且核算检测的类型有三种不同的方式，分别是单人取样检测，58元/次，5人混合检测，18元/次，10人混合检测，13元/次.请你帮飞飞计算一下，他有多少种不同的检测方式呢？今天我们就来研究这样的计数问题.设计意图：通过设置情境，使学生提取相关知识，明确学习目标.二、探究新知探究分类加法计数原理问题1：用一个大写的英文字母或者一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？分析:因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码.问题2：问题1中最重要的特征是什么？分析：最重要的特征是要完成一件“给一个座位编号”的事情，并且可以按字母和数字两类不同的方式来完成这件事。这两类方法编出的号码互不相同，把这两类号码数相加就得到号码的总数.例1从甲地到乙地，可以乘飞机，可以乘火车，也可以乘轮船，还可以乘汽车.一天中，飞机有2班，火车有4班，轮船有2班，汽车有1班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同走法?分析:从甲地到乙地有两类方法，第一类：乘飞机，有2种方法；第二类：乘火车，有4种方法.第三类：乘轮船，有2种方法；第四类：乘汽车，有1种方法.共有：2+4+2+1=9（种）方法.问题3：你能由前两个例子归纳出解决问题的一般步骤吗？解决上面问题的一般步骤：分类，类与类不相交；求每一类的方法数；总方法数就是各类方法数之和问题4：“不同方法”与“完成这件事”有什么关系？分析：“不同方法”都能独立“完成这件事”，不依赖“其他方法”.分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同方案.在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方法中有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法.归纳：分类加法计数原理特点（1）各类方案之间相互独立，都能独立的完成这件事，要计算方法种数，只需将各类方法数相加；（2）要先根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.设计意图：通过问题、归纳、操作确认、解释说明等环节，得出分类加法计数原理.探究分步乘法计数原理问题1：例2春节到了，某同学要与父母一起参加家庭聚会.她有3件不同的上衣，4条不同的裤子，如果把1件上衣和1条裤子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？分析：我们先看裤子的选择方法数，有4条不同的裤子，则有4种选择方法；每一条裤子对应三件不同的上衣.因此，根据分类加法计数原理，共有N=3+3+3+3=3×4=12种搭配方法.问题2：（2）她还有5双不同的鞋子，如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？分析:由题意知还有5双不同的鞋子，且每一双鞋子对应的裤子和上衣的搭配方法有12种，如图因此，根据分类加法计数原理，共有N=12+12+12+12+12=12×5=3×4×5=60种搭配方法.问题3：你能由上面例子发现一些简化过程的关键要素吗？分析：实际上，我们可以发现，（1）是分两步完成，第1步确定裤子有4种选择方法，第2步确定每一条裤子对应3件上衣；（2）是在（1）的基础上确定每一双鞋子对应12种裤子和上衣的搭配方法，即需要分三步完成.问题4：这类问题有什么样的特点？（1）完成一件事需要经过n个步骤；（2）完成每一步有若干种方法，且每一步对其他步没有影响；（3）把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.问题5：“分步方法”与“完成这件事”有什么关系？分析：要完成这件事，“各步”中的方法必须依次都完成，步与步之间是连续的，且相互依存.分步乘法计数原理：完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法.设计意图：列举熟悉的、简单的问题，使学生在情感上接受分步计数的方式.借助具体问题，使学生理解分步乘法计数原理；通过设问，加深学生对原理的理解.归纳：分步乘法计数原理特点（1）各步骤相互依存,每步都完成才算完成此事；（2）确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.思考：你能总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系吗？相同点：都是回答完成一件事的不同方法种数.不同点：分类加法计数原理针对“分类”问题，各类方案相互独立，方案中各种方法相互独立，任何一类中的任何一种方法都能单独完成这件事.分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，各个步骤都完成才算完成这件事.设计意图：明确两个原理的联系和区别，才能更好地使用.培养学生概括问题的能力.三、应用举例例3有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.（1）若只需1名参加，共有多少种选法？（2）若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？分析：（1）要完成的一件事是“选一名人员参加活动”，可以按照性别分类完成这件事；（2）要完成的一件事是“在教师、男学生、女学生各1名参加活动”，可以分步骤解决这件事.解：（1）只要选出1名就可以完成这件事，而选出的1名有3种不同类型，即教师、男学生或女学生，因此要分3类相加：第1类，选出的是教师，有3种选法；第2类，选出的是男学生，有8种选法；第3类，选出的是女学生，有5种选法.根据分类加法计数原理，共有N=3+8+5=16种选法.（2）完成这件事，需要分别选出1名教师、1名男学生和1名女学生，可以先选教师，再选男学生，最后选女学生，因此要分3步相乘：第1步，选1名教师，有3种选法；第2步，选1名男学生，有8种选法；第3步，选1名女学生，有5种选法.根据分步乘法计数原理，共有N=3×8×5=120种选法.例4书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？（3）从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法?分析：（1）要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成；（3）要完成的一件事是“从书架上取2本不同学科的书”，可以先分类确定从哪两层取书籍，再分步确定每一类中取哪本书，来完成这件事.解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数为N=4+3+2=9.（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为N=4×3×2=24.（3）需先分类再分步.第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法；第二类：从一、三层各取一本，有4×2=8种方法；第三类：从二、三层各取一本，有3×2=6种方法；根据两个基本原理，不同的取法总数是N=4×3+4×2+3×2=26答:从书架上取2本不同种的书，有26种不同的取法.小结反思：两个计数原理的综合应用题，区分“分类”、“分步”是关键；明确“完成一件事”含义是突破口；“化繁为简”是原则.设计意图：学以致用.巩固对两个原理的理解；通过对比两个原理以及不同的解题思路让学生体会到两个计数原理在实际生活中的应用.四、课堂练习1．有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法．2.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?参考答案：1.15种解析：有三类不同方案：第一类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第二类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第三类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．2.10000个解析：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以𝑚1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以𝑚2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以𝑚3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以𝑚4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成𝑁＝10×10×10×10＝10000个四位数的号码．设计意图：此题要让学生注意关键词的含义，审题时明确干什么事非常重要；对象选择不同，采用的计数方法也会不同.五、课堂小结使用两个原理的原则使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手．“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成