信号处理技术课件-chapter

信号处理技大 生课第二离散变(DiscreteHilbert参考章：第四奥本海姆：第七离散时间信号处理：第十实因果序列的 h(n)he(n)ho h(n)1[h(n)h h(n)1[h(n)h 11 n0,(n0,h(n)0,h*(n)h(n)Re[h(n)],(n0,h(0)h*(0)2e1hn0,(n0,h(n)同理，由(3)

hh(n)jIm[h(n)],(n0,h(0)h*(0)2j12no1h2n若h(n)又是实序列时，则11h(n), nh(n) h(n),en1h( nh(n)h(n),2he(n),nn由偶部得原序en或 1 1 nh(n) on 1h(n),n从原序列求奇h(n)2honnn结论：对实因果序列，已知he(n)就可确定已知ho(n)及h(0)就可确定

取虚H(ej)h(n)h(n)H(ej)Im[H(ej Re[H(ej为方便，式(4)可写为记

h(nh(n)he(n)uu(n)n,nn由实因果序列傅氏变换的虚部Hj(ejω)及h(0)H(ejω)及其实

取实HIej)h(n)h(n)H(ej)Re[H(ej Im[H(ej式(5)可写

稳定实因果序列傅氏变换实、虚部间Hilbert变换对H(z)12jH(z)12jH(v)U(z/v)v1dv,|z|cR

式中，HR(v)是he(n)的z变换（用v平面表示 U(z)u(n)zn2znz02zn2 1z

1

1z1z

,|z|H(z)2j1H(v)zH(z)2j1H(v)zvdv,|z|Rzv

利用(8b)可由z变换实部在单位圆上的值求得变换本[例题]已知

H(ej)

1cos ,||112cos2R求R解：HR

j)

1(ejej)/令ejω=v，并代入到(8b)，得 [1(vv1)/2]zvH(z)

2jc(1v1)(1v)zv

,|z|1[v(v21)/2](zv)2jc(v)(1v)(zv)vV平面的4个极点分v,v0;v1/,v

dv,||

z0

zH(z)Res[G(v),vk[v[v(v21)/2](z

0[v[v(v21)/2](z(v)(1v)(z

[(21)/2](z)z/2 z

,|z|傅氏变换实、虚部之间的Hilbert变换令(8b)中的z=rejω,r>1，H

j)

HRcR

rej

vej,dvjej c: 2

1r1ej(HR )1r1ej()其中1r1ej()

1r 记Re1r1ej()

12r1cos()r-

Pr( 1r1ej()

2r1sin( 记Im1r1ej()

12r1cos()r

Qr( H(rej

H(ej)[P()

jQ

HR(rej)jHI(rej

2 实H(rej) R2H(rej) R2H )PjRr)d,rH(rej) I2H )QjRr)d,r

其中，是用单位圆上zz变换令(10)式中的r→1：(10)的左端为(10)式的右端，其中则：Qr(θ-ω)，在r→12r1sin(limQr(r

r11 cos() 2sin( sin() ctg12cos() 1cos( HI )HI )2HR 2由于ctg((θ-ω)/2)在θ=ω之点有奇点，应挖去 - ω- ω πH(ej)lim

H(ej)ctg(

2P

,P 主 H(ej)ctg(2 用同样方法，利用(7)h(nho(n)unh(0)1H(z)1

HI(v)U

2j H(ej)h(0) H(ej)ctg(

2 但(11)、(12)中，θ=ω时ctg(θ-ω)/2为∞，在求积挖去θ=ω的这一点（即积分区分两部

））

幅度与相位间的Hilbert变换若ˆ(n)是稳定实因果序

lnH(z)ˆ(z)ˆ(z)ln|H(z)|ejarg[H(z)]ln|H(z)|jarg[H(z)]则可按照式(11)、(12)，ln|H(z)|与arg[H(z)]在单位圆互成Hilbert变换。以H(ejω)代入上式的ˆ(ej)lnH(ej)ln|H(ej)|jarg[H(ej jln|H )j2ln|H ln|H )jh(0)ˆ j2

(13)与(14)式即为：幅度与相位间的Hilbert变换最小相位（上两式是由lnH(z)导出的，但因H(z)的零点，对为-∞，变为极点。H(z)的零点也在单位圆内也可从zd[lnH(z)]

dH

Hz)有理函数Q(z)P'(z)P(z)Q'(z) H

H(z)P(z)/Q(z

P(z)Q(z)Q

要求P(z、Q(z（）z。非最小相位系统转换为最小相位若非最小相位系统H(z)有一个单位圆外零点可写为

1z*z *H(z) z0)H1(z)(z z0) , *

z1

H(z)(1z*z 0Hmin(z)Hap

1z*z00

H(z)1H 最小相∴总可以找到一全通函数，使非最小相位转到最小相Hmin(z)与HL(z)、Hmax(z)的转线性相位HL(z)的特点：无极点，其零点间共轭反级

Re HminHmin(z)Hap(z)HL(z)

级Re Re HminHmin(z)Hap(z)Hmax(z)

最小相位与最大相位系统间的直HH(z) N(n)zN(1z 1kkhmin(0)(1zk n0时，得常数hmin(0),即NkN

z1kHap(z) k,N1阶全通kk

1zz由(17)式HmaxzHminz)Hap将前两式代入，消去(1-zkz-1)后N NkHmax(z)hmink

(z

z*)

(0)z(N1)

(1z* k k 当要求hmax(n)为实序列时，就要求z*和z成对出现， 就要求有以下关N

N(1z*)

kkk1必含有1zkzk

否则hmax(n)部不可能Hmax(Hmax(z)(Nhmin(0)(1zkz)N(N由(18)＝Hmin(zHmin z(N1)N nNh(n)z(NnN1n'置h(N1n')zn

式即最小相位传递函数转为最大相位系统的关

N(z)

(N1n)z

N(z)

(n)zhmax(n)hmax(n)hmin(N1

周期序列与其奇、偶部的~取周期序列h 中的一个周期N，根据§2.1节的式，当h(n)为实序列时hh(n)he(n)ho~~~he(n)2[h(n)h(n)],n0,1,2...,N~1~ho(n) [h(n)h~1~2现定义N为偶数时的周期序列的N2nN时，~(n0（如图 ~h(n为“因果性周期序时，~(n N时，~(n) 2~如当周期N=8时，周期性因果序列h(n)及相 h(n)、he(n)、ho

如下图所示

h(n)可 h~n)；由n=0时为轴翻转1800。由 h得he(n(21)第三式可得ho(n)~h- - ~0 h- - ~0 ----~0Nn--0Nnh(n)h(n)~2~heh(0),n~n1,2,,N2Ne2nN1,,N2

~

，可求

~h~hh(n)h(0),h(N/~2~ho~n1,2,,N2n0,2nN1,,N2若定义

n1,2,,N

UN(n)0,n

n0,21,,N2

则(22a)可表示为h he(n)UN(22b)可表示为

(n)~ (nN

h ho(n)UNhh~

h h(2 ~h~h~从he(n)可

h(0)，h2)可DFT的Hilbert本节是从上节周期性因果序列的条件可HR(kjHI(k从jHI(kHR(k 从(22)d：h(nh(nu 1N1 H(k)

UN(km)HRNN

称周期性卷积 N1

(22)cN/

Nk/而UN(k)uN

2

1WN21

j2k(N j2

11 j2(N1)

j2k(N

－（－，k对k 引入罗

jN

j2 j2

k法 2

1

j2 1 1

j2N

ej 2

j21

N，k21

j2kj2

，k 1 N，k j j j2

(e

)，k j j j (e N，k0即 (k N2 k，kN

V(k 0，k偶 U(kV(kN(k ，将其右移m位后代入（ 所以（23）式可 N1

N1 H(k)

HR(m)VN(km)NN

HR(m)N(kNNK为奇、偶时的 K=0时的

~(kR

N1 即 H(k)H(k) H(m)V(k N H(k)jH(k 所

N1 jHI(k)

HR(m)VN(kI取主值后：jH(k)I

N1 H(m)V(k1

0kNRN，RN 由(22)e出发，类似地可导得由虚部求实部的关RNH(k)RN

N

jH(m)V(km)h(0)(1)kh(N0kN

从HCT(HilbertConvolve (1)连续时间信号的HilbertTransform连续信号x(t)，通过一 h(t) 的系

ˆ(t)x(t)h(t)x(t)

11

1tˆ(t)x(t)为的Hilbert变换，即对（25）二边作付ˆ(j)X(j)H( 其中

H(j)

F[t] jF[t]由信号与系统课程可知 1

1,代入上

F[jt]

1,j,H(j)jsgn()jj,定义：由 及其 ˆ(tz(t)x(t)jˆ(t)称为 的解析信号 ytic付氏变换后其频Z(j)X(j)ˆ((26X(j)jH(j)X((26)2X(j),

0,(2)离散时间信号的HilbertTransform把上述的连续的信号与系统公式转为离散域，(27)可写为 jH(ejw)

j( 2),0

jj(e2),是一个振幅特性为1（全通）的90度移相器，也称Hilbert变换器，其脉冲响应h(n)

H(ej)ejnd

(30

0

jej

d j

jnd2 1cosn sin2(n)

2 n

2 n

n

n1cosn

0n或 n

n nn

离散后，(29)a式为Z(ej)X(ej)ˆ(ej 2X(ej0(29)b Z(ej)(26)式到数字域为

0,ˆ(ej)X(ej)H(ej

所以 X(ej)ˆ(ej)/H(ej 现将(33)代入到(32)a，且由(30) ˆ(ej

(ej),0Z )

H(ej

jX )

0,

所以不论由X(ej 或ˆ(ej 均可得到Z(ej解析信号实、虚部付氏变换间的Hilbert解析信号(28)式离z(n)x(n)jˆ(n)

其付氏变换由(32)a表示，X(ej)、ˆ(ej)分别是z(n)的实、虚部的付氏变换，刚才是已知X(ej) 或已知Xˆ(ej)可求Z(ej

，现给出X(ej

间互在0:Z(ej

，由

X(ej)jXˆ(ej X(ej)jXˆ(ej归纳X(e

)

jˆ(ej),0

(ej),移项jX(ej),0ˆ(ej)

jX ),(36)、(37)即解析信号z(n)的虚部变

ˆ(ej

与实部换X(ej

间的DHT利用(30)式还可将（37）、（36）分别表示为ˆ(ej)H(ej)X(ejX(ej)