分式习题课及单元检测

分式习题课1．分式的概念(1)概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子eq\f(A,B)叫做分式．(2)三个要素(条件)：①形如eq\f(A,B)的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母．这三个条件缺一不可．破疑点区分整式与分式整式和分式的区别在于分式的分母中含有字母．因此，在判断一个式子是否是分式时，只看未化简的式子的分母中是否含有字母，即分母中含有字母的为分式．【例1】在以下式子中，哪些是分式？哪些是整式？eq\f(x,3)，eq\f(4,x)，eq\f(y－2,y)，eq\f(y,x－y)，eq\f(ab,2)，eq\f(3,π)，－eq\f(x－y,x＋y).解：分式有：eq\f(4,x)，eq\f(y－2,y)，eq\f(y,x－y)，－eq\f(x－y,x＋y)；整式有：eq\f(x,3)，eq\f(ab,2)，eq\f(3,π).2．分式有意义的条件(1)分式有意义的条件：分母不等于零(因为0不能作除数，所以分式有意义的条件是分母不等于零)．(2)分式无意义的条件：分母等于零．(3)分式的值为零的条件：分子等于零，分母不等于零．二者缺一不可．分式的值为零，千万不要无视分母不为零这个条件.谈重点分式有意义的理解(1)分式与分数不同，因为分数的分母是一个具体的数，是否为零，一目了然，而要明确分式是否有意义，需要分析、讨论分母中所含有的字母的取值范围，以免分母为零的情况发生．(2)必须在分式有意义的前提下，才能计算分式的值是多少；也必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值等于零的条件．【例2】以下分式中，当x取何值时，分式有意义？当x取何值时，分式的值为零？(1)eq\f(x－1,x2＋1)；(2)eq\f(3x＋1,2x－3)；(3)eq\f(|x|－2,x＋2)；(4)eq\f(2,x2＋5).解：(1)对于一切实数x，x2≥0恒成立，所以x2＋1＞0.所以无论x为何实数，分式eq\f(x－1,x2＋1)都有意义．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x2＋1≠0，))得x＝1，所以当x＝1时，分式eq\f(x－1,x2＋1)的值为零．(2)由分母2x－3≠0，得x≠eq\f(3,2)，所以当x≠eq\f(3,2)时，分式eq\f(3x＋1,2x－3)有意义．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋1＝0，,2x－3≠0，))得x＝－eq\f(1,3)，所以当x＝－eq\f(1,3)时，分式eq\f(3x＋1,2x－3)的值为零．(3)由分母x＋2≠0，得x≠－2，所以当x≠－2时，分式eq\f(|x|－2,x＋2)有意义．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|－2＝0，,x＋2≠0，))得x＝2，所以当x＝2时，分式eq\f(|x|－2,x＋2)的值为零．(4)因为对于一切实数x，x2≥0，所以x2＋5＞0恒成立，所以无论x为何实数，分式eq\f(2,x2＋5)都有意义．因为分子2≠0，所以分式的值不可能为零，即使该分式的值为零的x的值不存在．3.分式的根本性质(1)意义：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变；(2)用式子表示：eq\f(A,B)＝eq\f(A·C,B·C)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷C,B÷C)(其中C是不等于0的整式)．谈重点：分式的根本性质的理解分式的根本性质应注意“同〞的含义，“同〞字的意思是分子与分母都乘以(或除以)的整式是同一个整式．【例3】填空：①eq\f(y,3x)＝eq\f(〔〕,3x2y)；②eq\f(x,x＋y)＝eq\f(x·〔〕,〔x＋y〕·〔〕)＝eq\f(xy＋x2,〔〕)；③eq\f(7xy,5x2y)＝eq\f(7,〔〕)；④eq\f(1,a－b)＝eq\f(〔〕,〔a－b〕·〔〕)＝eq\f(a＋b,〔〕).解析：①将分式eq\f(y,3x)的分母乘以xy，才能得到3x2y，因此只有分子也同乘以xy，分式的值才能不变．②根据分式的根本性质分子、分母同时乘以(x＋y)，值不变，且最后结果的分子是xy＋x2；③分子、分母同时除以xy；④分子、分母同时乘以(a＋b)．答案：①xy2②x＋yx＋yx2＋2xy＋y2③5x④a＋ba＋ba2－b24．分式的约分、最简分式(1)分式的约分：根据分式的根本性质，把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的根据：分式的根本性质．(3)最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式．析规律分式约分的方法约分的方法：(1)先确定分子、分母的公因式：①当分子、分母都是单项式时，分子、分母的公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积；②当分子、分母是多项式时，应先将多项式因式分解，再根据以前所学确实定公因式的方法，确定公因式．(2)根据分式根本性质，分子分母都除以它们的公因式．【例4】把以下分式约分：(1)eq\f(－36xy2z3,6yz2)；(2)eq\f(8－2m,m2－16)；(3)eq\f(a2－4a＋4,a2－4).分析：(1)公因式是6yz2，分子、分母同除以6yz2；(2)因式分解后得公因式是(m－4)，所以分子、分母同除以(m－4)；(3)分解因式后得到的公因式是(a－2)，所以分子、分母同除以(a－2)．解：(1)eq\f(－36xy2z3,6yz2)＝eq\f(〔－36xy2z3〕÷〔6yz2〕,〔6yz2〕÷〔6yz2〕)＝－6xyz；(2)eq\f(8－2m,m2－16)＝eq\f(－2〔m－4〕,〔m＋4〕〔m－4〕)＝eq\f(－2,m＋4)；(3)eq\f(a2－4a＋4,a2－4)＝eq\f(〔a－2〕2,〔a＋2〕〔a－2〕)＝eq\f(a－2,a＋2).5．分式的通分、最简公分母(1)分式的通分：根据分式的根本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分．(2)通分的根据：分式的根本性质．(3)最简公分母：异分母的分式通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．析规律确定最简公分母(1)分母都是单项式时，①取所有分母的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②取分母中所有字母因式的最高次幂的积作为最简公分母的字母局部．(2)分母是多项式时，先因式分解，再确定最简公分母．【例5】通分：(1)eq\f(1,3x2)，eq\f(5,12xy)；(2)eq\f(b,3a)，－eq\f(ab,2c)；(3)eq\f(1,x2＋x)，eq\f(1,x2－x).分析：(1)最简公分母是12x2y，所以分式eq\f(1,3x2)的分子、分母都乘以12x2y与3x2的商4y，分式eq\f(5,12xy)的分子、分母都乘以12x2y与12xy的商x，即化为同分母的分数．(2)最简公分母是6ac，把分式eq\f(b,3a)的分子、分母都乘以2c，把分式－eq\f(ab,2c)的分子、分母都乘以3a，即可化为同分母分数．(3)先将分母x2＋x和x2－x因式分解，确定最简公分母为x(x＋1)(x－1)，把分式eq\f(1,x2＋x)的分子、分母都乘以(x－1)，把分式eq\f(1,x2－x)的分子、分母都乘以(x＋1)，即可化为同分母分数．解：(1)eq\f(1,3x2)＝eq\f(4y,3x2×4y)＝eq\f(4y,12x2y)，eq\f(5,12xy)＝eq\f(5·x,12xy·x)＝eq\f(5x,12x2y)；(2)eq\f(b,3a)＝eq\f(b·2c,3a·2c)＝eq\f(2bc,6ac)，－eq\f(ab,2c)＝－eq\f(ab·3a,2c·3a)＝－eq\f(3a2b,6ac)；(3)eq\f(1,x2＋x)＝eq\f(x－1,x〔x＋1〕〔x－1〕)，eq\f(1,x2－x)＝eq\f(x＋1,x〔x＋1〕〔x－1〕).6．分式中的符号变化问题分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，即“符号变其二，分式值不变〞．分式的符号变化规律解决此类问题，首先判断分子与分母的最高次项的符号，假设分子或分母的最高次项的系数是负数，那么把分子或分母的各项放到括号前是“－〞号的括号内，注意放到括号内的各项都要变号，再根据分式的符号变化规律解决问题．7．分式中的分数化为整数当分式的分子和分母中含有分数系数时，需要根据分式的根本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数(分子、分母的分数系数的最小公倍数)，使分子、分母中的系数全都化为整数．8．分式的应用在实际问题中，根据题意列出分式，再根据分式的根本性质，把分式约分或通分，从而来解决有关分式的实际问题．要注意实际问题中的数量关系，这是解决应用题的关键．,【例6－1】以下变形正确的选项是()．\f(－a＋b,c)＝－eq\f(a＋b,c) \f(a,－b－c)＝－eq\f(－a,b－c)\f(－a＋b,－a－b)＝－eq\f(－a＋b,－a＋b) \f(－a－b,－a＋b)＝eq\f(a＋b,a－b)答案：D【例6－2】不改变分式的符号，使分式eq\f(2－3x3,3－b3)的分子、分母最高次项的系数为正数．解：eq\f(2－3x3,3－b3)＝eq\f(－〔3x3－2〕,－〔b3－3〕)＝eq\f(3x3－2,b3－3).【例7】将分式eq\f－\f(1,2)y,\f(1,4)x＋\f(2,3)y)的分子和分母中的分数系数都化为整数．解：eq\f－\f(1,2)y,\f(1,4)x＋\f(2,3)y)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x－\f(1,2)y))×60,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(2,3)y))×60)＝eq\f(12x－30y,15x＋40y).【例8】甲、乙两地相距270千米，自行车与汽车都是从甲地驶往乙地，自行车的速度是x千米/时，汽车的速度是自行车的5倍，问自行车所用的时间是汽车所用时间的几倍？解：根据题意得，汽车的速度是5x千米/时．eq\f(270,x)÷eq\f(270,5x)＝eq\f(\f(270,x),\f(270,5x))＝5.故自行车所用的时间是汽车所用时间的5倍．9．求分式的值由条件，根据分式的根本性质，适当把分式进行变形，使变形后的分式出现条件的形式，然后把条件代入变形后的分式，来求分式的值．假设条件是分式的形式，常常把要求值的分式的分子、分母同除以一个适当式子进行变形，使要求值的分式出现的形式．有的还要把条件变形．【例9】eq\f(x,y)＝3，求eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－xy＋y2)的值．分析：由条件可知，y≠0.利用分式的根本性质，用y2去除待求式的分子与分母，再将其变形，使之出现条件式eq\f(x,y)，把eq\f(x,y)＝3代入即可求解．解：eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－xy＋y2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))\s\up12(2)＋2\f(x,y)－3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))\s\up12(2)－\f(x,y)＋1)＝eq\f(9＋6－3,9－3＋1)＝eq\f(12,7).10.分式中的创新题在分式的求值问题中，经常运用整体思想解决问题．当条件与要求的分式形式上有些相似，但又有区别时，要灵活运用整体思想，把条件或要求的分式进行变形，把条件整体转化．【例10】如果a－eq\f(1,a)＝eq\f(3,2)，求a＋eq\f(1,a)的值．解：因为a－eq\f(1,a)＝eq\f(3,2)，两边平方，得a2＋eq\f(1,a2)－2＝eq\f(9,4)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up12(2)－4＝eq\f(9,4)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4).所以a＋eq\f(1,a)＝±eq\f(5,2).分式的运算习题课1．分式的乘除(1)分式的乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(a·c,b·d).(2)分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为：eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(a·d,b·c).分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法那么进行运算，结果要化为最简分式．【例1】计算：(1)eq\f(4a4b2,15x2)·eq\f(9x,8a4b)；(2)eq\f(a2－1,a2＋2a＋1)÷eq\f(a2－a,a＋1)；(3)eq\f(a2－4,a2＋4a＋4)·eq\f(2a,a2－4a＋4)；(4)eq\f(4x2＋4xy＋y2,2x＋y)÷(4x2－y2)．解：(1)eq\f(4a4b2,15x2)·eq\f(9x,8a4b)＝eq\f(4a4b2·9x,15x2·8a4b)＝eq\f(3b,10x)；(2)eq\f(a2－1,a2＋2a＋1)÷eq\f(a2－a,a＋1)＝eq\f(〔a＋1〕〔a－1〕,〔a＋1〕2)·eq\f(a＋1,a〔a－1〕)＝eq\f(〔a＋1〕〔a－1〕〔a＋1〕,a〔a＋1〕2〔a－1〕)＝eq\f(1,a)；(3)eq\f(a2－4,a2＋4a＋4)·eq\f(2a,a2－4a＋4)＝eq\f(〔a＋2〕〔a－2〕,〔a＋2〕2)·eq\f(2a,〔a－2〕2)＝eq\f(2a〔a＋2〕〔a－2〕,〔a＋2〕2〔a－2〕2)＝eq\f(2a,a2－4)；(4)eq\f(4x2＋4xy＋y2,2x＋y)÷(4x2－y2)＝eq\f(〔2x＋y〕2,2x＋y)·eq\f(1,〔2x＋y〕〔2x－y〕)＝eq\f(1,2x－y).2．分式的乘方(1)法那么：分式乘方要把分子、分母分别乘方．(2)用式子表示：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(n)＝eq\f(an,bn).解技巧分式的乘方的理解(1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．【例2】计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,－b3)))eq\s\up12(4)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2y,－z2)))eq\s\up12(3).解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,－b3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(〔a2〕4,〔－b3〕4)＝eq\f(a8,b12)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2y,－z2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(〔x2y〕3,〔－z2〕3)＝eq\f(x6y3,－z6)＝－eq\f(x6y3,z6).3．分式的加减(1)同分母分式相加减：①法那么：分母不变，把分子相加减；②用式子表示：eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).(2)异分母分式相加减：①法那么：先通分，变为同分母的分式，再加减；②用式子表示：eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad,bd)±eq\f(bc,bd)＝eq\f(ad±bc,bd).警误区分式加减运算的注意点(1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母确实定；(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．【例3】计算：(1)eq\f(〔a－b〕2,2ab)＋eq\f(〔a＋b〕2,2ab)；(2)eq\f(a,a2－1)－eq\f(1,1－a2)；(3)eq\f(1,x＋y)－eq\f(1,x－y)＋eq\f(2x,x2－y2)；(4)eq\f(12,m2－9)＋eq\f(2,3－m)；(5)eq\f(x－3,x2－1)－eq\f(2,x＋1)；(6)eq\f(4,a＋2)－a－2.解：(1)eq\f(〔a－b〕2,2ab)＋eq\f(〔a＋b〕2,2ab)＝eq\f(〔a－b〕2＋〔a＋b〕2,2ab)＝eq\f(a2－2ab＋b2＋a2＋2ab＋b2,2ab)＝eq\f(2a2＋2b2,2ab)＝eq\f(a2＋b2,ab)；(2)eq\f(a,a2－1)－eq\f(1,1－a2)＝eq\f(a,a2－1)＋eq\f(1,a2－1)＝eq\f(a＋1,a2－1)＝eq\f(a＋1,〔a＋1〕〔a－1〕)＝eq\f(1,a－1)；(3)eq\f(1,x＋y)－eq\f(1,x－y)＋eq\f(2x,x2－y2)＝eq\f(1,x＋y)－eq\f(1,x－y)＋eq\f(2x,〔x＋y〕〔x－y〕)＝eq\f(〔x－y〕－〔x＋y〕＋2x,〔x＋y〕〔x－y〕)＝eq\f(2x－2y,〔x＋y〕〔x－y〕)＝eq\f(2〔x－y〕,〔x＋y〕〔x－y〕)＝eq\f(2,x＋y)；(4)eq\f(12,m2－9)＋eq\f(2,3－m)＝eq\f(12,〔m＋3〕〔m－3〕)－eq\f(2,m－3)＝eq\f(12,〔m＋3〕〔m－3〕)－eq\f(2〔m＋3〕,〔m＋3〕〔m－3〕)＝eq\f(12－2〔m＋3〕,〔m＋3〕〔m－3〕)＝eq\f(－2〔m－3〕,〔m＋3〕〔m－3〕)＝－eq\f(2,m＋3)；(5)eq\f(x－3,x2－1)－eq\f(2,x＋1)＝eq\f(x－3,〔x＋1〕〔x－1〕)－eq\f(2〔x－1〕,〔x＋1〕〔x－1〕)＝eq\f(x－3－2〔x－1〕,〔x＋1〕〔x－1〕)＝eq\f(－〔x＋1〕,〔x＋1〕〔x－1〕)＝－eq\f(1,x－1)；(6)eq\f(4,a＋2)－a－2＝eq\f(4,a＋2)－(a＋2)＝eq\f(4,a＋2)－eq\f(〔a＋2〕,1)＝eq\f(4,a＋2)－eq\f(〔a＋2〕2,a＋2)＝eq\f(4－〔a＋2〕2,a＋2)＝eq\f(4－a2－4a－4,a＋2)＝－eq\f(a2＋4a,a＋2).4．整数指数幂一般地，当n是正整数时，a－n＝eq\f(1,an)(a≠0)．这就是说，a－n(a≠0)是an的倒数．这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，am÷an＝am－n，am·a－n＝am＋(－n)＝am－n，因此am÷an＝am·a－n.特别地，eq\f(a,b)＝a÷b＝a·b－1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(n)＝(a·b－1)n，即商的乘方eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(n)可以转化为积的乘方(a·b－1)n.这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：(1)am·an＝am＋n(m，n是整数)；(2)(am)n＝amn(m，n是整数)；(3)(ab)n＝anbn(m，n是整数)．【例4】计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(－2)；(2)a2b－3(a－1b)3÷(ab)－1.解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))\s\up12(2))＝eq\f(1,\f(4,9))＝eq\f(9,4)；(2)a2b－3(a－1b)3÷(ab)－1＝a2b－3·a－3b3·ab＝a0b＝b.5．科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为原数整数局部的位数减1；(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a×10－n的形式，其中n为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a|＜10.提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比拟数的大小．【例5】把以下各数用科学记数法表示出来：(1)650000；(2)－36900000；(3)0021；(4)－00657.解：(1)650000＝×105；(2)－36900000＝－×107；(3)0021＝×10－6；(4)－00657＝－×10－6.6．分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．谈重点分式乘除混合运算的方法(1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号确实定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．7．分式的混合运算分式的四那么混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．解技巧分式混合运算的技巧分式四那么混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号确实定．8．把分式化简后再求值分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法那么，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．【例6】计算：eq\f(1－x2,x2＋4x＋4)÷(x－1)2·eq\f(x2＋3x＋2,x－1).分析：按照从左到右的顺序依次运算，把除法运算转化为乘法，然后根据乘法法那么进行运算，结果要化为最简分式或整式．解：eq\f(1－x2,x2＋4x＋4)÷(x－1)2·eq\f(x2＋3x＋2,x－1)＝eq\f(〔1＋x〕〔1－x〕,〔x＋2〕2)·eq\f(1,〔x－1〕2)·eq\f(〔x＋1〕〔x＋2〕,x－1)＝－eq\f(〔x＋1〕2,〔x＋2〕〔x－1〕2).【例7】计算：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a2－b2,a2＋2ab＋b2)＋\f(2,ab)÷\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))\s\up12(2)))·eq\f(2,a2－b2＋2ab).解：原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a2－b2,a2＋2ab＋b2)＋\f(2,ab)÷\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,ab)))\s\up12(2)))·eq\f(2,a2－b2＋2ab)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a2－b2,a2＋2ab＋b2)＋\f(2,ab)·\f(〔ab〕2,〔a＋b〕2)))·eq\f(2,a2－b2＋2ab)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a2－b2,a2＋2ab＋b2)＋\f(2ab,〔a＋b〕2)))·eq\f(2,a2－b2＋2ab)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a2－b2,〔a＋b〕2)＋\f(2ab,〔a＋b〕2)))·eq\f(2,a2－b2＋2ab)＝eq\f(a2－b2＋2ab,〔a＋b〕2)·eq\f(2,a2－b2＋2ab)＝eq\f(2,〔a＋b〕2).【例8】先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,x－1)－\f(x,x＋1)))·eq\f(x2－1,2x)，其中x＝－3.解：原式＝eq\f(3x〔x＋1〕－x〔x－1〕,〔x＋1〕〔x－1〕)·eq\f(〔x＋1〕〔x－1〕,2x)＝eq\f(3x2＋3x－x2＋x,2x)＝eq\f(2x2＋4x,2x)＝eq\f(2x·〔x＋2〕,2x)＝x＋2.当x＝－3时，原式＝－3＋2＝－1.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的根本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．作差法举例：假设x≠y且x＞0，y＞0，比拟eq\f(4,x＋y)与eq\f(x＋y,xy)的大小．解：eq\f(4,x＋y)－eq\f(x＋y,xy)＝eq\f(4xy－〔x＋y〕2,xy〔x＋y〕)＝eq\f(－〔x－y〕2,xy〔x＋y〕).因为x≠y，x＞0，y＞0.所以eq\f(－〔x－y〕2,xy〔x＋y〕)＜0，即eq\f(4,x＋y)＜eq\f(x＋y,xy).【例9】甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，那么他们两人谁能先完成任务？解：设甲每小时生产这种零件x个，那么乙每小时生产这种零件(x－8)个，甲完成任务需要时间为eq\f(168,x)小时，乙完成任务需要时间为eq\f(144,x－8)小时．eq\f(168,x)－eq\f(144,x－8)＝eq\f(168〔x－8〕－144x,x〔x－8〕)＝eq\f(24〔x－56〕,x〔x－8〕).∵x＞8，∴x－8＞0，∴x(x－8)＞0.故当x＞56时，eq\f(168,x)－eq\f(144,x－8)＞0；当x＝56时，eq\f(168,x)－eq\f(144,x－8)＝0；当x＜56时，eq\f(168,x)－eq\f(144,x－8)＜0.所以假设甲每小时生产零件多于56个，那么乙先完成任务；假设甲每小时生产零件等于56个，那么两人同时完成任务；假设甲每小时生产零件小于56个且多于8个，那么甲先完成任务．10．分式混合运算的开放型题运用分式的混合运算解决开放型问题，关键还是进行分式的混合运算，只是题目具有一定的开放性，所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．举例：P＝eq\f(a2＋b2,a2－b2)，Q＝eq\f(2ab,a2－b2)，用“＋〞或“－〞连接P，Q共有三种不同的形式：P＋Q，P－Q，Q－P，请选择其中一种进行化简求值，其中a＝3，b＝2.【例10】A＝eq\f(1,x－2)，B＝eq\f(2,x2－4)，C＝eq\f(x,x＋2).将它们组合成(A－B)÷C或A－B÷C的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x＝3.分式方程习题课1．分式方程的概念分母中含未知数的方程叫做分式方程．谈重点分式方程与整式方程的区别从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数．【例1】以下方程：①eq\f(x－3,5)＝1，②eq\f(3,x)＝2，③eq\f(1＋x,5＋x)＝eq\f(1,2)，④eq\f(x,2)＋eq\f(2,x)＝5.其中是分式方程的有()．A．①② B．②③C．③④ D．②③④解析：根据分式方程的定义知②③④是分式方程，应选D.答案：D2.分式方程的解法(1)解分式方程的根本思路：分式方程eq\o(→,\s\up7(去分母),\s\do5(转化))整式方程．(2)解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去．(3)对分式方程解法的理解：①解分式方程的根本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解；②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解；③在解分式方程时，方程两边约去含有未知数的公因式时，假设该公因式的值为零，会造成原方程失根，所以在解分式方程时，两边不能同时除以含有未知数的公因式；④验根的方法：代入原分式方程，看左右两边是否相等，但这种方法较麻烦，直接代入最简公分母验根较为简捷．解技巧分式方程验根的方法把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误．【例2】解以下方程：(1)eq\f(7,x2＋x)＋eq\f(3,x2－x)＝eq\f(6,x2－1)；(2)eq\f(x,2x－5)－1＝eq\f(5,5－2x).解：(1)方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得7(x－1)＋3(x＋1)＝6x.解这个方程，得x＝1.检验：当x＝1时，x(x＋1)(x－1)＝0，所以x＝1是原方程的增根，即原方程无解．(2)方程两边同乘2x－5，得x－(2x－5)＝－5.解这个方程，得x＝10.检验：当x＝10时，2x－5≠0，所以x＝10是原方程的解．3．分式方程的应用分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的根本思路和方法是一样的．列分式方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②找：找出相等关系；③设：设未知数；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；⑦答：写出答案．解技巧构建分式方程的方法(1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够表达全部(或大局部)题意的相等关系列方程；(2)在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比拟麻烦，需要间接地设出未知数，或设出一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数．【例3】今年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援〞，某厂方案生产1800吨纯洁水支援灾区人民，为尽快把纯洁水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原方案的倍，结果比原方案提前3天完成了生产任务．求原方案每天生产多少吨纯洁水？解：设原方案每天生产x吨纯洁水，那么依据题意，得eq\f(1800,x)－eq\f(1800,＝3，整理，得＝900，解之，得x＝200.把x＝200代入原方程，成立，∴x＝200是原方程的解．答：原方案每天生产200吨纯洁水．4．分式方程无解型问题解答分式方程无解型问题的方法是：首先将分式方程转化为整式方程，然后再将分式方程的增根(使分式方程的分母为零的未知数的值)代入整式方程(因为方程假设有增根，那么增根是通过解整式方程而得到的，故它满足整式方程)，从而求出方程中的参数值．5．生活中的分式方程列分式方程解实际问题时，关键是从实际问题中找出等量关系．另外，还要注意对方程的根进行检验．检验时，要注意双重检验：既要根据所列方程进行检验，又要根据实际问题进行检验．举例：甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等．甲、乙两人每天共加工35个玩具，问甲、乙两人每天各加工多少个玩具？解：设甲每天加工x个玩具，那么乙每天加工(35－x)个玩具．根据题意，得eq\f(90,x)＝eq\f(120,35－x)，解得，x＝15.经检验，x＝15是原方程的解且符合实际意义．所以35－x＝35－15＝20(个)．答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．【例4－1】关于x的分式方程eq\f(a－1,x＋2)＝1有增根，那么a＝________.解析：去分母得a－1＝x＋2，将x＝－2代入得a－1＝0，解得a＝1.答案：1【例4－2】假设关于x的方程eq\f(x－2,x－3)＝eq\f(m,x－3)＋2无解，求m的值．解：方程两边同乘(x－3)，得x－2＝m＋2(x－3)．整理，得m＝－x＋4.因为当x＝3时，分式方程无解，所以m＝1.【例5】某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．(1)求第一批购进书包的单价是多少元？(2)假设商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？解：(1)设第一批购进书包的单价是x元，那么第二批购进书包的单价为(x＋4)元．根据题意，得eq\f(2000,x)×3＝eq\f(6300,x＋4)，解得x＝80.经检验，x＝80是原方程的解．答：第一批购进书包的单价是80元．(2)解法一：eq\f(2000,80)×(120－80)＋eq\f(6300,84)×(120－84)＝1000＋2700＝3700(元)．解法二：eq\f(2000,80)×(1＋3)×120－(2000＋6300)＝12000－8300＝3700(元)．答：商店共盈利3700元．6．分式方程中的阅读题在解分式方程中的阅读题时，首先要认真阅读题意，仔细观察列举的条件，观察比拟所给各方程的特点和它的解与原方程的关系，发现解答过程的错误或探究得出其中的规律，然后根据题目的要求改正题目中的错误或者根据发现的规律解答提出的问题．阅读理解题是新课标理念下的创新题型，应予以重视．7．分式方程中的开放型问题分式方程中的开放型问题，其答案一般不唯一．有两种类型：一是条件开放型问题，二是结论开放型问题．解答这类题目的一般方法是：通过条件，联想有关概念或法那么，探求结论．例如：请根据所给方程eq\f(6,x)＋eq\f(6,x－5)＝1联系生活实际，编一道应用题．(要求题目完整，题意清楚，不要求解方程)解：甲、乙两人合作加工一批零件，甲比乙每小时多加工5个零件，他们合作6h完成了加工任务．问：甲、乙每小时各加工零件多少个？这批零件共有几个？8．列分式方程解答综合性问题解容许用题的关键是弄清题目中的数量关系，选择适宜的关系式列出分式方程，求出方程的解来解决问题．如果涉及用其他知识的综合题，应认真分析题意建立适当的数学模型来解答．例如：从甲地到乙地共50千米，其中开始的10千米是平路，中间的20千米是上坡路，余下的20千米又是平路．小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路和上坡路上保持匀速)．解：设小明在平路上的速度为x千米/时，根据题意，得eq\f(13,6)－eq\f(10,x)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)－\f(20,x)))，解得x＝15.经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意．答：小明在平路上的速度为15千米【例6】先阅读以下一段文字，然后解答问题：方程x－eq\f(1,x)＝1eq\f(1,2)的解是x1＝2，x2＝－eq\f(1,2).方程x－eq\f(1,x)＝2eq\f(2,3)的解是x1＝3，x2＝－eq\f(1,3).方程x－eq\f(1,x)＝3eq\f(3,4)的解是x1＝4，x2＝－eq\f(1,4).方程x－eq\f(1,x)＝4eq\f(4,5)的解是x1＝5，x2＝－eq\f(1,5).问题：观察上述方程及其解，再猜测出方程x－eq\f(1,x)＝10eq\f(10,11)的解．把你解题得到的收获用语言表述出来，和你的同伴互相交流．解：x1＝11，x2＝－eq\f(1,11).方程的左边是未知数与其倒数的差，方程的右边是比带分数的整数局部大1的数与其倒数的差，此时方程的解就可以直接写出了．【例7】请选择一组a，b的值，写出一个形如eq\f(a,x＋2)＝b的关于x的分式方程，使它的解为x＝2，这样的分式方程可以是__________．解析：根据题意，把x＝2代入方程eq\f(a,x＋2)＝b中，化简整理，得a＝4b.再任意给出一对a，b的值，使其满足a＝4b即可．写出一个题目所要求的分式方程，如当a＝4，b＝1时，所写的方程为eq\f(4,x＋2)＝1.答案：eq\f(4,x＋2)＝1(不唯一)【例8】某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助设计出来．解：(1)设甲工程队每天能铺设x米，那么乙工程队每天能铺设(x－20)米．根据题意得eq\f(350,x)＝eq\f(250,x－20)，解得x＝70.检验：x＝70是原分式方程的解．答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．(2)设分配给甲工程队y米，那么分配给乙工程队(1000－y)米．由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y,70)≤10，,\f(1000－y,50)≤10.))解得500≤y≤700.所以分配方案有3种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．第十五章分式单元检测一、选择题(本大题共8小题，每题4分，共32分．在每题所给的4个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后括号内)1．在，，，中，是分式的有()．A．1个 B．2个C．3个 D．4个2．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值()．A．不变 B．扩大2倍C．扩大4倍 D．缩小2倍3．分式有意义的条件是()．A．x≠0