数学常微分方程第二章

任课老师：戴滨林上海交通大学博士复旦大学博士后副教授硕士导师戴滨林

E-mail：bldai@办公室：数学系404办公室电话：65904529常微分方程

Ordinarydifferentialequation王高雄周之铭朱思铭王寿松编（第三版）电子课件第二章一阶微分方程的初等积分法IntegratedMethodofFirstOrderODE初等积分法/IntegratedMethod/：通过积分求解常微分方程的一种方法，其特点是微分方程的解可用初等函数以及初等函数的积分形式来表示。方程类型/Classifications/：Ch.2IntegratedMethodofFirstOrderODE本章内容/MainContents/§2.1变量分离方程与变量变换§2.2线性方程与常数变易法§2.3恰当方程与积分因子§2.4一阶隐式方程与参数表示本章要求/Requirements/

熟练掌握一些重要的常见的一阶方程的类型及其求解方法。注意：正确判断方程的类型Ch.2IntegratedMethodofFirstOrderODE本章目录/MainContents/§2.1变量分离方程与变量变换§2.2线性方程与常数变易法§2.3恰当方程与积分因子§2.4一阶隐式方程与参数表示

§2.2线性方程与常数变易法

/LinearODEandvariationofconstantsMethod/本节要求/Requirements/

熟练掌握线性方程和伯努利方程的求解方法。

了解黎卡提方程的简单性质及其求解方法。内容提要/ConstantAbstract/一、一阶线性微分方程/First-OrderLinearODE/………………(2.2.1)的方程称为一阶线性微分方程(即关于是线性的)其中

为x的已知函数。当

时，称为齐次线性方程;

当

时，称为非齐次线性方程。

形如一般形式…………(2.2.2)§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod假设函数在区间a<x<b上连续,则根据解的存在性及唯一性定理可知，在区域

方程(2.2.1)的初值问题的解是存在唯一的。………………(2.2.1)§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod（1）齐次线性方程/HomogenousLinearODE/解法:分离变量，得:积分，得:

..……..(2.2.2)§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod得

因为为(2.2.2)的解,所以其通解为:

…….…(2.2.3)其中c为任意常数。

满足初始条件

的解是…..(2.2.3)’§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod由公式(2.2.3)’得，所求特解为:由公式(2.2.3)得，所求通解为：解例1

的通解,并求满足条件的特解

试求微分方程§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod（2）非齐次线性方程/Non-HomogenousLinearODE/采用常数变易法求解设想方程

有形如(2.2.3)的解，但其中的常数c变易为x的待定函数

即设….(2.2.4)

……………(2.2.3)方程的解。§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod

上式代入方程(2.2.1)，得:即:积分得:

§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod代入(2.2.4)………..(2.2.5)得:同时，方程满足初始条件的特解为:§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod其中第一项是线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方程特解。非齐次线性方程通解的结构：

通解等于其对应齐次方程通解与自身的一个特解之和。由(2.2.5)得:§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod例2

解1)先求对应的齐次方程通解

2)用常数变易法求方程通解

设是方程的解，代入原方程，得§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod说明：对于一阶线性方程，也可直接用通解公式计算得出。§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod例3

解1)转换变量位置2)用公式求方程通解

§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod有时方程关于x为y的函数，方程关于于是仍可以根据上面的方法求解。注意:

不是线性的，但如果视是线性的，§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod例求值问题的解.解:先求原方程的通解故所给初值问题的通解为练习§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod解1)先解齐次方程积分，得：2)设,代入原方程，得:练习

(1)§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod化简得:所以，通解为:§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod练习

(2)解用公式求解,

即:

§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod解方程可以改写为:练习

(3)故通解为:即:§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod二、可化为线性方程的方程1伯努利方程/BernoulliODE/2*黎卡提方程/RiccatiODE/§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod1伯努利方程/BernoulliODE/形如的方程称为伯努利方程，其中它通过变量代换可化为线性方程。解法：将方程(2.2.6)的各项同乘以得:令§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod用上式求解后，代入原变量,便得原方程的通解。§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod例4将方程改写为:解故§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod例

求方程的通解.解:解以上线性方程得2黎卡提方程

/RiccatiODE/形如

的方程称为黎卡提方程。特点:在一般情况下，此类方程的解不能用初等函数及其积分形示表示，如果先由观察法或其他方法知道它的一个特解时，才可以通过初等积分法，求出它的通解。§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod解法

若方程有一特解为设则化为伯努利方程。§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod

由观察看出是方程的一个特解，于是令，则得

解

故原方程的通解为例5§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod例6

试求形如的特解,解此微分方程。解

设代入方程得:所以故是方程的一个特解。令于是方程化为伯努利方程§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod故原方程的通解为§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod练习§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod练习方程各项同除以得:解

令于是方程化为:即§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod解经观察，方程有一个特解令练习§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod思考题§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod提示:1

23（线性方程）（伯努利方程）（线性方程）§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod解

原方程可改写为:故通解为:§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod即:或：§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod例R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.

三线性微分方程的应用举例电路的Kirchhoff第二定律:在闭合