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第六章第四节机动目录上页下页返回结束全微分偏增量与全增量根据一元函数微分学中增量与微分的关系得全增量的概念如果函数在点的某邻域内有定义,并设为这邻域内的任意一点,则称为函数在机动目录上页下页返回结束偏增量与全增量定义,并设为这邻域内的任意一点,则称为函数在机动目录上页下页返回结束偏增量与全增量定义,并设为这邻域内的任意一点,则称为函数在点对应于自变量增量的全增量,记为即机动目录上页下页返回结束全微分的定义如果函数在点的全增量可以表示为依赖于而仅与有关,则称函数在点可微分,称为函数微分,记为即其中不在点的全函数若在某区域内各点处处可微分,则称这函机动目录上页下页返回结束全微分的定义函数若在某区域内各点处处可微分,则称这函机动目录上页下页返回结束全微分的定义函数若在某区域内各点处处可微分,则称这函数在内可微分.如果函数在点可微分,则函数在该点连续.事实上,所以故函数在点处连续.机动目录上页下页返回结束可微的必要条件定理1(必要条件)如果函数在点处可微分,则该函数在点的偏导数必存在,且在点处的全证设函数在点处可微分,则对于点的某个邻域内的任意一点微分为恒有机动目录上页下页返回结束可微的必要条件恒有机动目录上页下页返回结束可微的必要条件恒有从而有上式两端除以令并取极限,即得即同理有特别当时上式仍成立(此时),注:一元函数在某点可导是在该点可微的充分机动目录上页下页返回结束可微的必要条件注:一元函数在某点可导是在该点可微的充分机动目录上页下页返回结束可微的必要条件注:一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件.但对于多元函数则不然.定理1的结论表明,二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.事实上.函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率,而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况.机动目录上页下页返回结束例如,对二元函数我们可用定义求出即在点处的两个偏导数而存在且相等.若令点沿着直线趋于则有机动目录上页下页返回结束若令点沿着直线趋于则有机动目录上页下页返回结束若令点沿着直线趋于则有它不随着而趋于即不是关于的高阶无穷小.故函数在点处是不可微的.本例说明:偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.机动目录上页下页返回结束定理2(充分条件)如果函数的偏导则函数在该点处可证函数的全增量对两个中括号内的表达式,分别应用拉格朗日中微分.数在点处连续,有值定理,机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束其中由题设条件,在点处连续,故从而有其中为的函数,且当时,同理有机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束其中为的函数,且当时,于是而其中所以,由可微的定义知,函数在点处可微.机动目录上页下页返回结束例1求函数的全微分.解因为且这两个偏导数连续,所以机动目录上页下页返回结束例2计算函数在点(2,1)处的全微分.解因为所以从而所求全微分机动目录上页下页返回结束例3求函数的全微分.解由故所求全微分机动

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