课件第六章变换

复变函数

与积分变换

主讲：周晖杰宁波大学科技学院数学组二零零七年六月

大学数学多媒体课件2023/1/102参考用书《复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社

《复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5

2023/1/103

目录第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的级数表示第五章留数及其应用第六章傅立叶变换第七章拉普拉斯变换第一章复数与复变函数2023/1/104第六章傅里叶变换

2023/1/105第六章傅里叶变换

6.1傅里叶变换的概念

6.2单位脉冲函数6.3傅里叶变换性质本章小结思考题2023/1/106第一节傅立叶变换的概念

一、周期函数展为傅立叶级数的三角式

三角形式2023/1/1072023/1/108上式称为傅氏级数的复指数形式．

指数形式2023/1/1092023/1/10102023/1/1011例1．解：2023/1/1012例2．解：2023/1/1013二、傅立叶积分与傅立叶变换

定理1

傅立叶积分上式(4)称为傅立叶积分公式的复指数形式．

2023/1/1014傅立叶变换傅立叶逆变换2023/1/10152023/1/1016例3．解：2023/1/10172023/1/1018例4．解：例5．解：2023/1/10192023/1/1020例6．解：2023/1/10212023/1/1022第二节单位脉冲函数及其傅氏变换一、引言

傅立叶级数与傅立叶变换以不同形式反映了周期函数与非周期函数的频谱特性，是否可以借助某种手段将它们统一起来？更具体的说，是否能够将离散频谱以连续频谱的方式表现出来？这就需要引入下面将要介绍的单位脉冲函数与广义傅立叶变换．在工程实际中，有许多物理现象具有一种脉冲特征，它们仅在某一瞬间或某一点出发，在物理学中常常有质点、点电荷、瞬时力等抽象模型．如：瞬时冲击力、脉冲电流、质点的质量等等，这些物理量都不能用通常的函数形式去描述，为了描述这一类抽象的概念．我们介绍单位脉冲函数．

2023/1/1023这就表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度，为了确定电流强度，我们引入一个新函数，称为单位脉冲函数，

2023/1/1024二、单位脉冲函数的概念及其性质

1.定义

2023/1/1025性质1（函数的筛选性质）

证明：

2023/1/1026性质2性质32023/1/1027三、单位脉冲函数的傅氏变换

2023/1/1028例1．解：2023/1/1029例2．证明：2023/1/1030例3．解：在这个例子中显示，在广义傅氏变换意义下，周期函数也可以进行傅氏变换，其频谱仍然是离散的，这一点与傅氏级数展开是一致的．所不同的是，这里用冲激强度来表示各频率分量的幅值的相对大小．2023/1/1031定理（对一般的周期函数）

证明：2023/1/1032例4．解：由单位阶跃函数的傅氏积分表达式:

2023/1/1033例5．解：2023/1/1034重要公式2023/1/1035第三节傅立叶变换的性质一、基本性质

2023/1/1036证明：2023/1/1037说明当一个函数（或信号）沿时间轴移动后，它的各频率成分的大小不发生改变，但是相位发生了变化；被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中得到了广泛的应用．例1．解：2023/1/1038例2．解：2023/1/1039证明：2023/1/1040例3．解：2023/1/1041证明：2023/1/1042推论：证明：2023/1/1043证明：2023/1/1044例4．解：方程两边取傅氏变换，得：求上述傅氏逆变换，可以得到：运用傅氏变换的线性性质，微分性质及其积分性质可以把线性常系数微分积分方程，通过解代数方程与求傅氏逆变换，可以得到此微分积分方程的解．2023/1/1045这一等式称为帕赛瓦尔（Parseval）等式．证明：2023/1/1046例5．解：由于被积函数是偶函数，所以又有2023/1/1047例6．解：2023/1/1048二、卷积与卷积定理

本节介绍傅氏变换的另一类重要性质：卷积与卷积定理．

1.卷积的概念2023/1/10492．卷积的性质（1）交换律证明：（2）结合律（3）分配律证明：2023/1/1050例1．解：2023/1/1051例2．解：讨论：2023/1/1052例3．解：2023/1/10532．卷积定理证明：(1)由卷积定义（位移性质）2023/1/1054(2)由卷积定义推论：利用卷积定理可以简化卷积的计算及某些函数的傅氏变换．

2023/1/1055例4．解：由前面讨论知:由卷积定理有:2023/1/1056例5．解：利用傅氏变换性质和卷积定理求傅氏变换．2023/1/1057例6．解：由位移性质得:

所以由象函数的位移性质得:所以由象函数的微分性质:2023/1/1058例7．解：根据卷积定理：由位移性质：由卷积定理：2023/1/1059例8．证明：由卷积定理：