高等数学-d31微分中值定理

第三章中值定理导数应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第二节)推广微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理微分中值定理

第三章费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:则费马证毕罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,则因此在(a,b)内至少存在一点若M>

m,则M和m

中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件不全具备,结论不一定成立.则由费马引理得例如,使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:

设证

F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.3)罗尔定理常用来判别的零点。例1.

证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设例2.

设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设求证存在使例设可导，且在连续，证:设辅助函数因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即使得例设和在上连续，在内可导，且证明：存在使得证:令且在上连续，在内可导，由题则由罗尔中值定理知存在使得即(09-10)二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论1:若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.令则在区间I

上每一点处则在

I上有这里C是一个确定的常数.推论2:若函数与的导数都相等，与推论1:若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.证:

在

I

上任取两点格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.例3.

证明等式证:

设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在

I

上例4.

证明不等式证:

设中值定理条件,即因为故因此应有例5.

设不恒为常数的函数证:因为在[a,b]

上连续，在区间(a,b)

内可导，且

f(a)=f(b)，试证在(a,b)

内至少存在一点使得在[a,b]

上连续，取到最大、最小值，所以在[a,b]

上故至少二者之一不等于不恒为常数，f(a)，不妨设且在[a,c]

上满足拉格朗日中值定理条件，至少存在一点使得故分别设为设证明对任意有证：例不妨设三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:问题转化为证柯西构造辅助函数证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:

柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率例6.设至少存在一点使证:

问题转化为证设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点

,使即证明例7.设至少存在一点使证:

设根据定理，则上满足内至少存在使即证明柯西中值定理条件,一点

,内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式关键:

利用逆向思维设辅助函数费马引理作业习题三p1381(1),2,5,6,810(1),11(1),14,15,16(1)第二节例设和在上连续，在内可导，且证明：存在使得证:令且在上连续，在内可导，由题则由Rolle中值定理知存在使得即(09-10)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:

所给条件可写为试证必存在想到找一点c,使证:

因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在例(08-09)例

设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:

问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点(06-07)思考与练习1.

填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程2.

试证：且1)存在使得在[0,1]上连续,使得2)设函数在(0,1)内可导,证:1)令则在[0,1]上连续,又由零值定理，使得即使得2)证:2)令且则由罗尔定理，使得即在从而上连续,在内可导,3.

若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.4.

思考:在即当时问是否可由此得出

不能!因为是依赖于x

的一个特殊的函数.因此由上式得表示x

从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数备用题求证存在使1.

设可导，且在连续，证:设辅助函数因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即使得设证明对任意有证：2.不妨设3.

试证至少存在一点使证:

法1

用柯西中值定理.则f(x),g(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即例7.

试证至少存在一点使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在费马(1601–1665)费马法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:历经358年,直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决.引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡