数学建模选修课课件1与方程组

数学建模与实验

主讲教师：宋叔尼教授等2010年10月一、数学建模与数学建模竞赛首届国家最高科学技术奖获得者吴文俊院士：任何数学都要逻辑推理，但这只是问题的一个方面，更重要的是用数学去解决问题，解决日常生活及其他学科中出现的数学问题。

学校给的数学题目都是有答案的，已知什么，求证什么，都是清楚的，题目也一定是做得出的。但是将来到了社会上，所面对的问题大多是预先不知道答案的，甚至不知道是否会有答案。这就要求培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学问题的方法。

1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。

2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。

3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构。

4.模型求解。

5.模型的分析与检验。

数学建模的一般步骤建立数学模型来解决实际问题的过程，是各领域大量需要的。做这样的事情，所需要的远不只是数学知识和解数学题的能力，而需要多方面的综合知识和创新能力。因此应当努力培养和提高学生在这方面的能力。通过什么方式达到培养学生的创新能力？开展数学竞赛能促进数学研究专门人才的培养，那么,为什么不可以开展一项竞赛来促进数学应用人才的培养呢？从1983年起，美国一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面竞赛的可能性。经过论证、争论、争取资助的过程，1985年开始有了美国第一届大学生数学建模竞赛(简称MCM)(MathematicalContestinModeling)。竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办。从1985年起每年举行一届，在每年的二月下旬举行，到2010年已举行了26届。

比赛的形式：每个参赛队由三名学生和一个指导教师组成，在规定的三、四天时间内，由学生自行做题，教师不得参赛，共同完成一份答卷。每次的考题只有两个题，都是来自实际或有强烈实际背景的问题，没有固定的范围，可能涉及各个非常不同的领域。每个参赛队从这两个考题中任意选做一个题。参赛队的三名队员可以相互讨论，可以查阅资料，可以使用计算机和计算机软件。参赛队的答卷是一篇完整的论文。

比赛的结果：专家们在评卷时并不对论文给出分数，而是将论文分成一些等级

Outstanding（特等奖）

Meritorious（一等奖）

HonorableMention（二等奖）

SuccessfulParticipation（成功参赛奖）评卷的标准：并不是看答案对不对，而主要看论文的思想方法好不好，以及论述是否清晰。所有成功参赛的队员和教练都能得到一张奖状。同一个考题的几篇优秀论文甚至连答数都不一样，却同样都优秀。既然数学建模赛是考察解决实际问题的能力，那就一切都以解决实际问题的过程为准。论文中各种不同意见、不同答案可以并存，只要能够言之成理。如果你像解答纯数学题那样，只有数学公式和计算，而不讲清实际问题怎么变成数学公式，也不让计算结果再接受实际检验，即使答案正确，论文也很难评上好的等级。数学建模竞赛的三个步骤：1、建立模型：实际问题→数学问题；2、数学解答：数学问题→通过计算机得数学解；3、模型检验：数学解→实际问题的解决。如果你只重视中间一个步骤（一般初参赛的时候容易犯这个错误），而对第一和第三这两个步骤不予重视，那就违背了数学建模竞赛的宗旨，当然就不能得到好的结果。为什么要叫数学建模竞赛？就是因为它赛的是建立数学模型，而不只是比赛解答数学模型。MCM虽然只是美国的国内赛，但它欢迎其他国家的大学组队参加，而且有越来越多的国家（包括中国）大学参加这一竞赛。这就是通常所说的“国际(美国)数学建模竞赛”。经过酝酿、筹备，从1992年开始,由中国工业与应用数学学会举办我国自己的全国大学生数学模型竞赛（CMCM）。教育部对这项活动十分重视，决定从1994年起，由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同举办，每年一次。这就是通常所说的“全国大学生数学建模竞赛”。随着赛事的开展，越来越多的人认识到，数学建模竞赛是培养创新能力的一个极好载体:能充分考验学生的洞察能力、创造能力、数学语言翻译能力、文字表达能力、综合应用分析能力、联想能力、使用当代科技最新成果的能力等等。培养学生们同舟共济的团队精神、协调组织能力、诚信意识和自律精神。许多参加过数学建模竞赛的学生感受到“一次参赛，终生受益”。

二、学校数学建模培训方法与政策1.学校优惠政策1.1获得全国一等奖且符合学校免试推荐研究生基本条件，经三名以上本专业教授联名推荐，所在学院推免生遴选工作领导小组严格审查，可不受综合排名限制，获得免试内推研究生资格，并由学校单列计划，直接推荐。但学生有关说明材料和教授推荐信要进行公示。1.2

获得全国二等奖，且符合学校免试推荐研究生基本条件，获得外推考试资格。

1.3

根据比赛成绩对比赛学期三门课程的考试成绩按以下公式折算，但最高不能超过95分，三门课程总学分不超过6学分。免修、免考的课程成绩不得乘系数。乘系数课程必须为理论课程或与比赛项目相近的实践环节，具体由各学院教学办审核。记载成绩=考核成绩×R。

竞赛名称特等奖一等奖二等奖国际数学建模竞赛1.51.41.3全国数学建模竞赛1.41.3省数学建模竞赛1.21.11.4

奖金一等奖：3000元，二等奖：1500元2.东北大学在数学建模竞赛的获奖情况2005年，国际二等5个；2006年，国际一等1个，国际二等1个；2007年，国际一等2个，国际二等3个；2008年，国际二等6个。主要原因（1）学生的自发行为；（2）缺乏有效引导；（3）建模教学未能普及。2008年5月开始建立培训机制，提出开设课程。2009年开始进入常态化管理。2009年，国际一等2个，国际二等7个；2010年，国际一等12个，国际二等9个。2.东北大学数学建模培训

1)数学建模与实验（32学时，基础知识训练）

2)建模竞赛选拔

3)选拔队员培训（暑期培训，案例选讲）学校特等奖一等奖二等奖浙江大学1104华中科技大学156中国科技大学98哈尔滨工业大学839电子科技大学84北京理工大学77清华大学74西安交通大学64大连理工大学516

国内其他高校情况三、数学建模常用的方法类比法差分法变分法图论法层次分析法数据拟合法回归分析法数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）机理分析法排队方法对策方法决策方法模糊评判方法时间序列方法灰色理论方法现代优化算法（神经网络，模拟退火算法，遗传算法）四、数学模型分类与需要的相关知识优化模型微分方程模型统计模型概率模型图论模型

课程安排竞赛中的发散性思维方法借助于一系列问题来展开思路这个问题与什么问题相似？如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？极限情形（或理想状态）如何？综合问题的条件可得到什么结果？要实现问题的目标需要什么条件？借助于下意识的联想（灵感）来展开思路抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想综合所得到的联想和猜想，得到一些结论进一步思考找出新思路和方法参加数学建模竞赛需要知识

没有必要很系统的学很多数学知识。很多优秀的论文，是思维比较全面、贴合实际、能解决问题或是有所创新。

1.数学知识的应用能力

2.计算机的运用能力

3.论文的写作能力一定要有一个人会编程序，能够实现一些算法。另外需要有一个论文写的比较好，不过写不好也没关系，多看一看别人的优秀论文，多用几次word，Visio

。

竞赛中的群体思维方法

地位平等、相互尊重杜绝武断评价不要回避责任充分交流，不要对交流失去信心

“数学建模与实验”课程要求课程中课后（结课）数学建模与实验

宋叔尼2010年10月

第一讲

数学建模与方程组相关的问题

许多实际问题可以归结为方程组的求解例如：冶金工程、机械结构、大型的土木结构、最优控制大型输电网络、图像处理、种群繁殖、经济规划等。1.投入产出分析1949年，哈佛大学教授Leontief把美国经济分解成500个部门(如农业、制造业、服务业等)，对每个部门，其产出如何分配给其它经济部门？构建了500个未知数，500个方程的方程组，受计算机的限制只好把问题简化为42个未知数，42个方程的方程组。该成果获1973年诺贝尔经济学奖。下面假设：经济体系中仅由农业、制造业、服务业构成，这些部门生产商品和服务。

产出投入农业制造业服务业外部需求总产出农造业301045115200服务业2060070150初始投入3511075总投入100200150各部门间的投入产出平衡关系上表中第一行表示农业总产出为100时，15农产品用于农业生产，20用于制造，30用于服务，35用于外部需求。1.给定外部需求，建立求解各部门总产出模型。2.如果对农业、制造业、服务业的外部需求分别为50，

150，100，问三个部门的总产出分别应为多少？3.若三部门外部需求分别增加1单位，总产出应增加多少？4.若对任意给定的非负外部需求，都能得到非负总产出，称模型可行。为使模型可行，应满足什么条件？问题

产出投入农业制造业服务业外部需求总产出农造业301045115200服务业2060070150初始投入3511075总投入100200150设有n个部门，第i个部门的总产出为xi，用于(投入到)第j个部门xij，外部需求为di，则假设每个部门的产出与投入成正比，即xij/xj为常数，记为aij.1.给定外部需求，建立求解各部门总产出模型转换成记投入系数矩阵，产出向量需求向量，则方程组记为即这就是线性代数方程组。

产出投入农业制造业服务业农业0.150.100.20制造业0.300.050.30服务业0.200.300投入产出系数表

产出投入农业制造业服务业外部需求总产出农造业301045115200服务业2060070150初始投入3511075总投入100200150各部门间的投入产出平衡关系得到数学模型（线性方程组）2.如果对农业、制造业、服务业的外部需求分别为50，

150，100，问三个部门的总产出分别应为多少？用MATLAB求出即可3.若三部门外部需求分别增加1单位，总产出应增加多少？得令求解4.若对任意给定的非负外部需求，都能得到非负总产出，称模型可行。为使模型可行，应满足什么条件？要使模型可行，即对任意的外部需求得.由知，如果(即每个元素非负).即满足结论.如果，就有如果，必有.得到这等价于又因为一般来说数学建模过程如下：

形成论文假设载荷很小，则发生的形变也很小，用u=u(x)表示在载荷f(x)作用下弦的平衡位置，则AB非线性2.弦振动问题（微分方程问题）区间[a,b]上连续函数的全体，记为C[a,b];区间[a,b]上二阶连续可微函数的全体，记为C2[a,b];按照通常函数的加法和数与函数的乘法两种运算,构成实数域上的线性空间.

结合边界条件问题1方程组的求解问题微分方程的解是中的函数（或元素）。方程组的解是N－1维空间中的向量。时，该向量的极限是否为原方程的解？问题2设A，B是重力场中给定的两点，且A点高于B点，B点不正好位于A点下方。3最速降线问题一个在A点静止的质点在重力作用下沿着怎样的路线C无摩擦地从A点滑到B点，才能使所花的时间最短？该曲线C称为最速降线。如何求出该曲线？3.1问题的提出考虑连接A,B的曲线显然，质点运动的速度这里表示弧长。因此故所需时间为构造坐标系设曲线上一点处的切线与轴方向的夹角为；设质点的质量为，重力加速度为；由牛顿运动第二定律两端同乘以，则两边积分，则有但已设初速为零，故，从而

.于是我们的问题便是在条件，之下寻求使取最小的函数。由上可知，是的函数，同时是的函数；因此是函数的函数。工程上常常称是的泛函。记为3.2求解问题的初步设想先考虑从到的以下曲线：(i)直线段；(ii)圆弧(自己选择一条)；(iii)抛物线(自己选择一条)；分别计算所花的时间（练习）。

这样将分成个小段，每段长度。将区间等份，每段长度等于，而在区间内插入个分点，使对成立。此时，曲线相应地被分成小段：

3.3近似计算注意和不能改变，是固定点。记，是坐标为的点。而其余及纵坐标随着曲线的不同而改变。如果比较大，并且每个都比较小，则可近似地看成从到的直线段。质点在，两点的速度分别是，；

在直线段内的平均速度为质点经过这条直线段的时间是总时间近似地等于这样即求出了的值．求合适的使最小.4.多元函数的极小值问题（非线性方程组的计算问题）4.1函数的极小值问题与方程求根一元函数极值转化为函数方程求根多元函数极值问题转化为求非线性方程组解的问题设在取极小值，则设在取极小值，则即求f(x)=0的根.4.2Newton迭代法4.2.1Newton迭代公式

设(x)在有根区间[a,b]上二阶连续可微,给定根的某个近似值x0（初值）,取(x)(x0)+(x0)(x-x0),方程(x)=0近似为(x0)+(x0)(x-x0)=0若(x0)0,其解为因为得到根的新的近似值x1,一般地,在xk附近线性化方程为(xk)+(xk)(x-xk)=0设(xk)0,其解为迭代格式称为Newton迭代法.xyox0y=(x)x1x2直线y=(x0)+(x0)(x-x0)就是y-(x0)=(x0)(x-x0)Newton迭代法也叫切线法.k,2,1,0,)()(1L=¢-=+kxfxfxxkkk

设(x)在根附近具有二阶连续导数,则对充分接近的初值x0,Newton迭代法产生的序列xk收敛于,且定理

例用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根.4.2.2Newton迭代法的收敛性

例用Newton迭代法求8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0的根,在1.5附近的根.为了简化计算(xk),采用格式称为简化Newton迭代法.o