痛点问题之概率统计经典解答题2023高考数学-考前高效冲刺-新高考版

23痛点问题之概率统计经典解答题秒杀总结★我们用三条主线将高中数学概率、统计的有关概念串联起来：一是统计的基本研究过程：收集数据→整理数据→分析数据→统计推断．收集数据整理数据分析数据统计推断三种抽样方法：简单随机抽样（抽签法、随机法），系统抽样，分层抽样．五种统计图表：频率分布表，频率分布直方图，茎叶图，散点图，列联表．两种数字特征：集中趋势(众数、中位数、平均数)，离散程度（极差、方差、标准差）．三种统计推断：用样本估计总体（估计思想），回归分析（拟合思想），独立性检验（检验思想）．二是随机事件的基本研究过程：随机事件→事件概率→基本概型．随机事件事件概率基本概型八种常见事件：随机事件，基本事件，等可能事件，并事件，交事件，互斥事件，对立事件，相互独立事件．三种常见求法：用频率估计概率，利用基本概型的概率公式，转化为简单事件的概率.七种概率模型：古典概型，几何概型，互斥事件概率，对立事件概率，条件概率，相互独立事件概率，独立重复试验概率．三是随机变量的基本研究过程：随机变量→概率分布模型→分布列及数字特征．随机变量概率分布模型分布列及数字特征两类随机变量：离散型随机变量，连续型随机变量．四种分布模型：两点分布，超几何分布，二项分布，正态分布．三个问题：概率分布列，数学期望，方差．典型例题例1．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊､尊重､合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王､小张､小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王､小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为.(1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；(2)比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：【解析】【分析】（1）“比赛完3局时，求三人各胜1局”分为两种情况，①小王胜小张，小王输给小马，小马输给小张；②小张胜小王，小张输给小马，小马输给小王.（2）比赛完4局时，小马做1次裁判分为两种情况：①小王胜小张，小王输给小马，小马胜小张；②小王输给小张，小张输给小马，小马胜小王.比赛完4局时，小马最多做2次裁判.(1)设小王与小张比赛小王获胜记为事件A，小马与小张比赛小张获胜记为事件B，小马与小王比赛小马获胜记为事件C，且A，B，C相互独立.则设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件M，则(2)X的可能取值为1，2则X的分布列为X12P则例2．（2022·全国·高三专题练习（理））2021年4月23日是第26个“世界读书日”，某校组织“阅百年历程，传精神力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题.每位参赛同学回答次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取.规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10分，否则得0分；挑战题答对一个得30分，否则得0分.已知小明能正确回答基础类问题的概率为，能正确回答挑战类问题的概率为，且每次回答问题是相互独立的.(1)记小明前2题累计得分为，求的概率分布列和数学期望；(2)记第题小明回答正确的概率为，证明：当时，，并求的通项公式.【答案】(1)01040数学期望为(2)证明见解析，【解析】【分析】（1）写出的可能取值，并求出相应的概率，从而求出分布列及期望；（2）根据题意列出与的关系式，利用构造法求出的通项公式.(1)的所有可能取值为0，10，40，.∴的分布列如下：01040；(2)根据题意得：第题回答正确的概率为，则，所以，而，∴成首项为，公比为的等比数列，所以，故.例3．（2022·广东·高三开学考试）学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为．求p为何值时，取得最大值．【答案】(1)分布列见解析，（分）(2)【解析】【分析】（1）可取5，6，7，8，9，10，求出对应随机变量的概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可；（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率为，再根据导出求出函数的单调区间，即可得出答案.(1)解：可取5，6，7，8，9，10，，，，，，，分布列如下：5678910所以（分）；(2)解：设一天得分不低于3分为事件，则，则恰有3天每天得分不低于3分的概率，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值.例4．（2022·全国·高三专题练习）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度21232527293133平均产卵数/个7112124661153251.92.43.03.24.24.75.8（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.01）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.附：回归方程中，，.参考数据52151771371781.33.6【答案】（1）；（2）当时，.【解析】【分析】（1）根据散点图判断更适宜作为关于的回归方程类型；对两边取自然对数，求出回归方程，再化为关于的回归方程；（2）由对其求对数，利用导数判断函数单调性，求出函数的最值以及对应的值.【详解】解：（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数关于温度的回归方程类型.对两边取自然对数，得，令，，，则，由数据得，，，所以，，所以关于的线性回归方程为，则关于的回归方程为；（2）由得，因为，令得，解得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以有唯一的极大值为，也是最大值；所以当时，.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了概率的计算与应用问题，属于中档题.例5．（2022·全国·高三专题练习）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．附：若，则，，．【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）4.【解析】【分析】（Ⅰ）根据“”原则及图形的对称性即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）由题可知服从超几何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由题可知服从二项分布，利用公式即可求解．【详解】（Ⅰ）由，易知，则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84．（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，，∴的分布列为∴．（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，∴．【点睛】方法点睛：本题以北斗三号全球卫星导航系统为背景，考查正态分布、超几何分布、二项分布，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.过关测试1．（2022·全国·高三专题练习）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知这种球的质量指标ξ(单位:g)服从正态分布N(270，).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.（i）求出f(p)的最大值点;（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.参考数据:ζ~N(u，)，则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9544.【答案】（1）136；（2）（i）；（ii）分布列见解析.【解析】【分析】（1）由正态分布原则即可求出排球个数；（2）（i）根据二项分布先求出，再利用导数求出取得最大值时的值；（ii）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列.【详解】（1）因为ξ服从正态分布N(270，)，所以，所以质量指标在(260，265]内的排球个数为个；（2）（i），令，得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以的最大值点；（ii）的可能取值为0，1，2，3.；；；；所以的分布列为0123P【点睛】求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.2．（山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（一））十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？附：.【答案】（1）①；②；（2），有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.【解析】【分析】（1）①利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式求得所求的次品率.②根据条件概率计算公式，计算出所求概率.（2）先求得的表达式，利用导数求得，填写列联表，计算，由此作出判断.【详解】（1）①Ⅰ批次芯片的次品率为.②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，由己知得，，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，.（2）个芯片中恰有个不合格的概率.因此，令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.由数据可建立2×2列联表如下：（单位：人）开机速度满意度芯片批次合计IJ不满意12315满意285785合计4060100根据列联表得.因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.【点睛】求解最值点有关的题目，是利用导数研究函数的单调性，由此来求得最值点.3．（广西桂林市、崇左市2021届高三5月份数学（理）第二次联考试题）十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为，．（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；（2）当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？【答案】（1）；（2）至少要进行19轮竞赛．【解析】【分析】（1）由题意可知获“优秀小组”的情况包含三种情况，分别计算概率，再求和；（2）首先计算甲乙同学获得“优秀小组”的概率，再根据，利用基本不等式求的范围，再将概率表示为二次函数求的最大值，根据，计算的最小值.【详解】（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲答对1次，乙答对2次的概率②甲答对2次，乙答对1次的概率；③甲答对2次，乙答对2次的概率故所求的概率（2）他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为：因为，，，所以，，所以利用基本不等式知，当且仅当时，等号成立，，令，则，所以当时，，他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足由，则，所以理论上至少要进行19轮比赛.【点睛】关键点点睛：本题考查独立事件概率，二项分布，最值的综合应用，重点考查读懂题意，抽象与概括能力，属于中档题型，本题第二问的关键是求出每次获得“优秀小组”的概率的最大值，并能抽象概括他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足.4．（2022·山东潍坊·模拟预测）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品．(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了个数学题，个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为，答对每一个物理题的概率为．①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时、的值．(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．【答案】(1)①；②至少要进行轮游戏，，．(2)【解析】【分析】（1）①利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；②利用导数求出学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为的最大值，可知学生甲在轮活动中获得奖品的个数，由可求得的值，即可得解；（2）设选出的是第个箱子，计算出在第个箱子中第三次取出的是物理题的概率为，进而可求得所求概率为，结合数列的求和公式可求得所求事件的概率.(1)解：①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件．则；②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为，令，，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，即当时，．学生甲在轮活动中获得奖品的个数，由，知．故理论上至少要进行轮游戏，此时，．(2)解：设选出的是第个箱子，连续三次取出题目的方法数为．设数学题为，物理题为，第三次取出的是物理题有如下四种情形：取法数为，取法数为，取法数为，取法数为，从而，第三次取出的是物理题的种数为．则在第个箱子中第三次取出的是物理题的概率为．而选到第个箱子的概率为，故所求的概率为．【点睛】关键点点睛：本题考查概率与数列的综合应用，在求解第三问时，关键要求出在第个箱子中第三次取出物理题的概率，那么就应该对前三次取出的题目所属科目进行列举，进而求解.5．（2022·湖南·一模）甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每场比赛采用5局3胜制(即有一运动员先胜3局即获胜，比赛结束)．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或3：1取胜的运动员积3分，负者积0分，以3：2取胜的运动员积2分，负者积1分，已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为．(1)甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分的概率分布列和数学期望；(2)甲、乙两人比赛2场后，求两人积分相等的概率．【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；(2).【解析】【分析】(1)根据题意知X的可能取值为0，1，2，3﹒X＝0时，乙以3：0或3：1成绩胜甲；X＝1时，乙以3：2成绩胜甲；X＝2时，甲以3：2成绩胜乙；X＝3时，甲以3：0或3：1成绩胜乙.(2)设第i场甲、乙两名运动员积分分别为，则，则，即，则，据此根据(1)中分布列计算概率即可.(1)随机变量X的所有可能取值为，，，，，∴X的分布列为：X0123P∴数学期望；(2)记“甲、乙比赛两场后，两名运动员积分相等”为事件M，设第i场甲、乙两名运动员积分分别为，则，因两名运动员积分相等，∴，即，则，∴．6．（2022·福建福州·模拟预测）某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加（，且）次抽奖，每次中奖的概率为，不中奖的概率为，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个；方案①：若中奖则得30分，否则得0分；方案②：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．(1)如果，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；(2)记顾客甲第i次获得的分数为，并且选择方案②．请直接写出与的递推关系式，并求的值．（精确到0.1，参考数据：．）【答案】(1)应选择方案①，理由见解析；(2)，【解析】【分析】（1）分别求得两个方案的累计积分的期望值即可进行选择；（2）依据题给条件即可求得的值．(1)若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为40，35，10，5．

，，，，所以．

若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为30，15，10，则，，，，

因为，所以应选择方案①．(2)依题意得，

的可能取值为10，5其分布列为105P所以，则，

由得，

所以为等比数列．其中首项为，公比为．

所以，故．7．（2022·全国·模拟预测）某商店计划七月份订购某种饮品，进货成本为每瓶元，未售出的饮品降价处理，以每瓶元的价格当天全部处理完.依经验，零售价与日需求量依据当天的温度而定，当气温时，零售价为每瓶元，日需求量为瓶；当时，零售价为每瓶元，日需求量为瓶；当时，零售价为每瓶元，日需求量为瓶.已知七月份每天气温的概率为，的概率为，的概率为.(1)求七月份这种饮品一天的平均需求量；(2)若七月份某连续三天每天的气温均不低于，求这三天销售这种饮品的总利润的分布列及数学期望.【答案】(1)瓶(2)答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得日需求量分别为、、时的概率，然后利用随机变量的数学期望公式即可求解；（2）先设出每天的进货量，分和求出日利润，然后由题意得和的概率，对这三天的气温情况讨论，求得这三天的总利润的所有可能取值及其对应的概率，进而得分布列，即可求得数学期望.(1)解：设七月份这种饮品的日需求量为，则的可能取值有、、，由题意知，，，所以，故七月份这种饮品一天的平均需求量为瓶.(2)解：因为这三天每天的气温不低于，所以这三天这种饮品每天的需求量至多为瓶，至少为瓶，设这三天每天的进货量为瓶，则，当时，日利；当时，日利润.由题意知七月份某一天的气温的概率，所以的概率，的概率.设这三天销售这种饮品的总利润为，若这三天的气温都满足，则，；若这三天中有两天的气温满足，一天的气温满足，则，；若这三天中有一天的气温满足，两天的气温满足，则，；若这三天的气温都满足，则，.所以的分布列如下表所示：故，其中.【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.8．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，，其中表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：，，，，，其中.(1)试判断与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程；(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；（ii）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】(1)适宜，(2)（i）；（ii）【解析】【分析】（1）判断出适宜作为y关于x的回归方程类型，利用公式求出y关于x的回归方程；（2）（i）设出事件，利用全概率公式进行求解，（ii）在第一问的基础上，利用条件概率进行求解.(1)刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓，故适宜作为y关于x的回归方程类型.令，得，于是，因为，，所以，，所以，，即；(2)（i）设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，“随机抽取一件药品为第1条生生产线生产”，“随机抽取一件药品为第2条生生产线生产”，则，，又，，于是.（ii）.9．（2022·全国·高三专题练习）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.16.3024.870.411.64表中，，，.根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.（i）建立关于的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取）.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）每件产品的平均销售利润为4元（2）（i）（ii）该厂应投入256万元营销费.【解析】【分析】（1）分别求出三类产品的频率，求出分布列及其数学期望即可；（2）（i）利用公式求出相关系数，即可求出回归方程；（ii）设年收益为万元，求出，设，，求出函数的导数，根据函数的单调性即可求出的最大值.【详解】（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，由直方图可得，，，三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，所以，，，，所以随机变量的分布列为：1.53.55.50.150.450.4所以，，故每件产品的平均销售利润为4元；（2）（i）由得，，令，，，则，由表中数据可得，，则，所以，，即，因为，所以，故所求的回归方程为；（ii）设年收益为万元，则，设，，则，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，所以，当，即时，有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题，求回归直线方程的步骤：（1）依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；（2）计算的值；（3）计算回归系数；（4）写出回归直线方程.10．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求；②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.【答案】（1）分布列见解析；（2）①；②，.【解析】【分析】（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，，，，∴的分布列为：－101（2）由（1），，同理，经过2轮投球，甲的得分取值：记，，，则，，，，由此得甲的得分的分布列为：－2－1012∴，∵，，∴，，∴，代入得：，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，∴．∴．【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．11．（2022·辽宁·一模）北京时间2021年11月7日凌晨1点，来自中国赛区的EDG战队，捧起了英雄联盟S11全球总决赛的冠军奖杯．据统计，仅在bilibili平台，S11总决赛的直播就有3.5亿人观看．电子竞技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注．已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组．第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组．第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军);获胜队伍成为败者组第一名．第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军．假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立．问：(1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？(2)已知队伍B在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据分析得到获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，从而求出相应的概率；（2）合理设出事件，利用条件概率公式进行求解.(1)由题意可知，第一轮队伍A和队伍D对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，所以所求的概率为(2)设表示队伍B在比赛i中胜利，表示队伍B在比赛i中失败，设事件E：队伍B获得亚军，事件F：队伍B所参加的所有比赛中败了两场，则事件F包括，，，，，且这五种情况彼此互斥，进而事件包括，且这两种情况互斥，进而所以所求事件的概率为12．（2022·重庆八中高三阶段练习）女排世界杯比赛采用局胜制，前局比赛采用分制，每个队只有赢得至少分，并同时超过对方分时，才胜局；在决胜局（第五局）采用分制，每个队只有赢得至少分，并领先对方分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得分.现有甲乙两队进行排球比赛.（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲､乙各分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢分的概率为，乙发球时甲赢分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.求甲队在个球以内（含个球）赢得整场比赛的概率.【答案】(1);(2)【解析】【分析】（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；（2）先根据比赛规则确定x的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.【详解】（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，（2）设甲队x个球后赢得比赛，根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为；两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.故所求概率为：13．（2022·全国·高三专题练习）有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）分甲乙交换的均是红球，甲乙交换的均是白球，两种情况讨论即可得解；（2）写出随机变量X的所有可能取值，先分别求出一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球，乙袋中有1个白球3个红球，乙袋中有3个白球1个红球的概率，从而可求得对于随机变量的概率，写出分布列，根据期望公式即可求出数学期望.【详解】解：（1）甲乙交换的均是红球，则概率为，甲乙交换的均是白球，则概率为，所以乙袋中红球与白球个数不变的概率为；（2）X可取0，1，2，3，4，由（1）得，一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球的概率为，乙袋中有1个白球3个红球的概率为，乙袋中有3个白球1个红球的概率为，则，，，，，所以随机变量X的分布列为X01234P所以数学期望.14．（2022·全国·高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；（2）请写出与的递推关系；（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.【答案】（1）分布列答案见解析，；（2）；（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.【解析】【分析】（1）依题意可得，进而可得分布列和期望；（2）由可得结果；（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.，的分布列为0123故.（2）依题意，，即.（3）由（2）知，则当时，可得，数列是首项为公比为的等比数列.，即.，所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到；后两问的关键点是得到递推关系.15．（2022·全国·高三专题练习）国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与比赛，A的胜率分别为；B与比赛，B的胜率分别；C与D比赛，C的胜率为．任意两局比赛之间均相互独立．（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式，结合条件概率的计算公式进行求解即可；（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3，求出每种可能性的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行运算求解即可.【详解】解：（1）进入第二轮的概率为，与比赛，获胜，与比赛，获胜，且与比赛，获胜，其概率为，故在进入第二轮的前提下，最终获得冠军的概率．（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3．，，，．的分布列为：0123．【点睛】关键点睛：根据条件概率的运算公式、认真阅读题干理解题意是解题的关键16．（2022·山东青岛·一模）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：1234523298604020求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；(3)证明：．附：经验回归方程系数：，；参考数据：，，（其中，）．【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2)回归方程为，预测成功的总人数为465(3)证明见解析【解析】【分析】（1）结合相互独立、独立重复试验的概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.（2）利用换元法，结合回归直线方程的计算公式，计算出关于的回归方程，并由求得预测值.（3）通过求“在前轮没有成功的概率”大于，来求得“前轮就成功的概率”小于，从而证得不等式成立.(1)由题知，的取值可能为1，2，3所以；；；所以的分布列为：123所以数学期望为.(2)令，则，由题知：，，所以，所以，，故所求的回归方程为：，所以，估计时，；估计时，；估计时，；预测成功的总人数为.(3)由题知，在前轮就成功的概率为又因为在前轮没有成功的概率为，故.17．（2022·全国·高三专题练习）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第站、第站、第站、、第站，共站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站（获胜）或第站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数、、、、、）．(1)求、、，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示；(2)求证：为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．【答案】(1)，，，且.(2)证明见解析(3)【解析】【分析】（1）根据题意可直接求得、、，然后讨论棋子跳到第站，所包括两种情形，可得出关于和的表达式；（2）计算得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；（3）求得，利用累加法可求得，即可得解.(1)解：棋子开始在第站是必然事件，所以，棋子跳到第站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以；棋子跳到第站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为；②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，所以；棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为；②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为，故，棋子跳到站只有一种情况，棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为，所以，.(2)证明：由（1）可得且，所以，数列为等比数列，且公比为.(3)解：由（2）可知，所以，.所以，玩该游戏获胜的概率为.【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：（1）当出现时，构造等差数列；（2）当出现时，构造等比数列；（3）当出现时，用累加法求解；（4）当出现时，用累乘法求解.18．（2022·全国·模拟预测）某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率；(2)乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利？并说明理由.【答案】(1)；(2)乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由见解析.【解析】【分析】(1)采用方案一，得分不低于60分，则至少回答正确两道填空题，根据每次回答问题的独立性即可求；(2)分别计算出采用方案一时得分的数学期望和采用方案二时得分的数学期望，比较两个数学期望即可判断该选择哪一种方案更加有利.(1)甲同学采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答