高三数学一轮复习 圆的方程 新人教B

..重点难点重点：圆的方程、点与圆的位置关系难点：垂径定理的应用、圆的方程求法．知识归纳1．圆的方程(1)圆的标准方程：圆心(a，b)，半径为r的圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2..3．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，则点P在圆

．(2)当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，则点P在圆

．(3)当(x0－a)2＋(y0－b)2<r2时，则点P在圆

．外上内.误区警示1．解决有关轨迹问题时，要注意所求得轨迹方程表示的曲线上的点是否都是满足题设要求的轨迹上的点．2．与圆有关的最值问题，要特别注意是整个圆周上的点，还是一段圆弧上的点．..在解决与圆有关的最值问题时，主要借助圆的几何性质，用数形结合的方法求解．1．圆上点到定点P的距离的最大(小)值：连结圆心C与P交圆于两点为最大(小)值点．(1)点P在⊙C内，过点P的⊙C的弦中，最长的为EF(过圆心)，最短的为AB(AB⊥EF)，在⊙C上所有点中，点E到点P距离最小，点F到点P距离最大．.(2)点P在⊙C外，PC与圆交于E、F，圆上所有点中到点P距离最大(小)的点为F(E)，过点P可作两条直线PA、PB与⊙C相切，且PC为∠APB的平分线，PC垂直平分AB..2．圆上的点到定直线的距离最值：由圆心向直线作垂线与圆两交点为最值点．直线l与⊙C外离，PC⊥l交⊙C于A、B，则在⊙C上到直线l距离最大(小)的点为B(A)．.3．已知点P(x，y)为圆上动点(1)形如 的最值转化为动直线的斜率求解，一般在相切位置取最值．(2)形如ax＋by的最值，一般设u＝ax＋by，转化为动直线的截距问题．用判别式法求解，或在相切位置取最值．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值转化为动点到定点的距离问题或设(x－a)2＋(y－b)2＝k2，转化为两圆有公共点时，k的取值范围问题．..[例1](2010·新课标全国)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________．分析：⊙C与直线相切于B，∴CB为圆的半径，且CB与直线垂直，又⊙C过点A，∴AC也等于圆的半径，而圆心C(a，b)中含两个未知数，故建立a、b的两个方程即可获解．.答案：(x－3)2＋y2＝2..2．求圆的方程时，常常要将所给条件恰当翻译，用数学语言加以表达．如①圆过点A，则点A的坐标代入圆的方程一定成立．②圆过两点A、B，则线段AB的中垂线过圆心．③圆心在直线l上，(一)可设出圆心坐标；(二)可考虑圆心是否在另一条直线l′上，由l与l′方程联立求圆心．④圆与直线l相切，则(一)d＝r；(二)Δ＝0.应特别注意圆与直线l相切于点P的含义．⑤圆C截直线l得弦AB，则半弦2＋弦心距2＝半径2..(文)(09·辽宁)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.答案：B

.(理)(09·重庆)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：点(1,2)到y轴距离为1，又圆心在y轴上，且过点(1,2)，∴圆心为(0,2)．答案：A.[例2](文)若直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)()A．在圆内 B．在圆上C．在圆外 D．不能确定答案：C

..答案：A

.(文)已知点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝4内，则直线ax＋by＋1＝0与圆C的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不能确定答案：D

..答案：C

..分析：直线过点A，可设出点斜式方程与圆方程联立，由韦达定理可得出B、C坐标关系，设P(x，y)，可由A、B、C、P共线得kAP＝kBC，消去斜率k可得轨迹方程，注意k不存在情形．.答案：D

.(文)由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝3C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝1解析：由题设知，在Rt△OPA中，OP为圆半径OA的2倍，即OP＝2，∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.选A.答案：A.(理)(09·上海)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1.答案：A点评：求动点M的轨迹方程时，设M(x，y)，然后结合已知条件找x、y满足的关系式．如果点M的运动依赖于点A的运动，而点A在已知曲线C上，这时将A的坐标用x、y表示，代入C的方程，即得M点的轨迹方程..[例4](09·全国Ⅱ)已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．分析：由于AC⊥BD，所以四边形的面积为|AC|·|BD|，又AC与BD交于点M，故只要将|AC|、|BD|利用垂径定理转化为弦心距，可建立其联系．.答案：5

...答案：D

..[例5]过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的弦共有()A．16条B．17条C．32条D．34条分析：验证可知，点A在圆内，过圆内一点的直线与圆相交最长弦为圆的直径，最短弦为与经过该点的直径垂直的弦，由弦长为整数，故可找此二值之间的整数，看有多少个，即可知弦的条数，特别注意，介于最大值与最小值之间的弦长为整数的弦各有两条．.解析：∵圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的标准方程为：(x＋1)2＋(y－2)2＝132，即此圆是一个以点O(－1,2)为圆心，以R＝13为半径的圆．∵|OA|＝12，而R＝13，经过A点且垂直于OA的弦是经过A点的最短的弦，∴其长度为2 ＝10；而经过A点的最长的弦为圆的直径2R＝26；.∴经过A点且为整数的弦长还可以取11,12,13,14,15，…，25共15个值，又由于圆内弦的对称性，经过某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间，则一定有2条，而最长弦与最短弦各只有1条，故一共有15×2＋2＝32条．答案：C..解析：在第一象限内圆x2＋y2＝100上的整数点只有(6,8)，(8,6)，又点(10,0)，(0,10)在圆上，∴由对称性知x2＋y2＝100上横、纵坐标均为整数的点共有12个．过这12个点的圆x2＋y2＝100的切线有12条，割线有 ＝66条，共78条．其中垂直于坐标轴的有14条，过原点与坐标轴不垂直的有4条，∴共有78－18＝60条．答案：A..一、选择题1．(文)(2010·福建)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝0[答案]D[解析]抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)．∴圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0..[答案]D

..2．(文)一条线段AB长为2，两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是()A．双曲线 B．双曲线的一支C．圆 D．半圆[答案]C[解析]由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB的中点到原点的距离总等于1，∴AB的中点轨迹是圆，故选C...[答案]C[解析]设中点M(x，y)，则点A(2x－3,2y)，∵A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1，故选C..3．直线xsinθ＋ycosθ＋sinθ·cosθ＝0与圆2x2＋2y2＝1的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定[答案]A.二、填空题4．(文)一条光线从点A(－1,1)出发，经x轴反射到⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上，则光走过的最短路程为________．[答案]4[解析]

A(－1,1)关于x轴的对称点B(－