高三数学抽象函数与解题策略

抽象函数与解题策略2023/1/101.2023/1/102.那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。抽象函数的定义：2023/1/103.；抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如，对应的是指数函数对应的是对数函数等等。当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。2023/1/104.抽象函数也可以与我们熟悉的函数，如指数函数、对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。

2023/1/105.面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③利用函数的性质；分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题；构造与联想。2023/1/106.面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③利用函数的性质；④分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题；⑤构造与联想等。2023/1/107.是奇函数2023/1/108.策略一：赋予特殊值例题1、设函数（，且任意实数满足（1）求证：；（2）求证：为偶函数；（3）已知在上为增函数，解不等式），对2023/1/109.证明：（1）令令2023/1/1010.（2）令令，即为偶函数。2023/1/1011.（3）又或由（2）知f(x)为偶函数，又在上为增函数2023/1/1012.或2023/1/1013.例题2、设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。策略二：恒等变形2023/1/1014.分析：这同样是没有给出函数表达式的（T为非零常数）则为周期函数，抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出且周期为T。2023/1/1015.证明：已知

得2023/1/1016.由（3）得由（3）和（4）得上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。2023/1/1017.例题3、f(x)是定义在R上的函数，且若f(1)=2，求f(2005)的值。，（f(x)≠0，1）。2023/1/1018.解：已知2023/1/1019.解：∴f(x)是以4为周期的周函数，则2023/1/1020.例题4、设f(x)是定义在实数集R上的函数，；求证：f(x)是奇函数，又是周期函数。且满足下列关系：。2023/1/1021.证明：已知又（1）2023/1/1022.证明：（2）即f(x)是以40为周期的周期函数2023/1/1023.证明：由（1）式由（2）式综上所述，f(x)是奇函数，又是周期函数。即f(x)是奇函数2023/1/1024.例题5、已知函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非减函数。（1）证明f(1)=0；（2）若f(x)+f(x－2)≥2成立，求x的取值范围。策略三：利用函数的性质2023/1/1025.解：(1)令x=2,y=1，则f(2×1)=f(2)+f(1)(2)由已知f(x)+f(x－2)=f(x2－2x)≥2，又2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)

f(1)=0又f(x)为非减的函数f(x2－2x)≥f(4)2023/1/1026.解：x2－2x≥4即x2－2x－4≥0x≥1+或x≤1－已知f(x)对x>0有意义，且x－2>0

x>22023/1/1027.策略四：分类讨论例题6、（新）设f(x)是定义在R上的函数，时，，且对任意的实数求证：对于任意，都有。当x、y，均有2023/1/1028.证明：令若，令与已知矛盾2023/1/1029.当时，综上所述，对于任意，都有。2023/1/1030.例题7、若对任意实数x和常数a都有成立，试判断f(x)是不是周期函数？为什么？策略五：构造与联想2023/1/1031.看作是的一个原型，而的周期是的四倍，故可猜想4a是的一个周期可以把分析：观察已知的抽象关系式，可以联想到极其相似它与2023/1/1032.证明：2023/1/1033.即f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期。2023/1/1034.例题8、对每一实数对x、y，函数f(t)满足。若，试求满足的整数t的个数。2023/1/1035.解：令，得令，得，又令，得2023/1/1036.令，得（※）即当y为正整数时，由，2023/1/1037.，即对于一切大于1的正数t恒有又由（※）式下证明，当整数时，恒有：2023/1/1038.由（※）式即同理可得2023/1/1039.相加，即当整数时，恒有综上所述，满足的整数只有2023/1/1040.综合例题解析例题9、设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。（1）证明2023/1/1041.（2）证明：在R上是增函数；若，求满足的条件。，（3）设2023/1/1042.解：（1）令得或，当时，有，这与当时，矛盾，。若2023/1/1043.（2），则，由已知得，由若时，由2023/1/1044.

2023/1/1045.（3）由得由得（2）2023/1/1046.从（1）、（2）中消去得因为

即2023/1/1047.例题10、已知定义在R上的函数（1）值域为，且当时，；，均满足：试回答下列问题：满足：（2）对于定义域内任意的实数2023/1/1048.（1）试求的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）若函数存在反函数，求证：2023/1/1049.解：（1）在中，令，即2023/1/1050.解：函数的值域为

。也即：2023/1/1051.解：在中，令，得函数为奇函数（2）由（1）知，2023/1/1052.解：（※）式2023/1/1053.解：，且，则且函数在R上单调递减。2023/1/1054.解：（3）由（2）知函数在R上单调递减，则函数必存在反函数，则也为奇函数，且在上单调递减，且当时，2023/1/1055.解：由（2）中（※）式得2023/1/1056.解：令，则，则上式可改写为:不难验证：对于任意的上式都成立。（根据一一对应）2023/1/1057.解：2023/1/1058.解：2023/1/1059.例题11、设是定义在区间上的函数，且满足条件：(i)(ii)对任意的，都有。2023/1/1060.（1）证明：对任意的，都有（2）证明：对任意的，都有（3）在区间上是否存在满足题设，且使得；；条件的奇函数2023/1/1061.若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。2023/1/1062.已知对任意的，有，（1）证明：2023/1/1063.（2）证明：时，对任意的，，命题成立；当时，由可知，不妨设当2023/1/1064.（2）证明