高三数学立体几何复习

立体几何复习中国人民大学附属中学.一．学习目标：1．掌握平面公理、性质，并运用其判定共线、共面、共点问题；2．掌握点与线、线与线、线与面、面与面的位置关系的判定方法和性质的运用；3．理解空间向量的概念，掌握向量的共线、共面的定理及运用；了解空间向量的基本定理，向量的数量积，一个向量在另一个向量上的射影；4．能建立空间的直角坐标系，掌握空间向量的坐标运算，会运用向量进行有关平行和垂直的相应的证明；解决夹角和距离的问题；5．会运用角与距离的概念求线线角、线面角、面面角及线线距、线面距、点面距、面面距；6．理解特殊几何体（棱柱、棱锥、正多面体及球）的概念和性质，并且能运用线面关系思想解决特殊几何体的相关问题；7．了解球面距离概念，会求简单的球面上两点间的距离．.知识体系直线、平面、简单的几何体平面的基本性质直线与平面的关系空间向量角和距离简单的几何体.平面的基本性质三个公理三个推论线在面内面面的交线三点决定平面一线和线外一点两条相交直线两条平行直线.直线与平面的关系线与线线与面面与面相交平行异面垂直斜交线在面内平行相交（垂直）平行相交（垂直）.空间向量空间向量及其运算空间向量的坐标表示共线与共面基本定理数量积射影空间直角坐标直线的方向向量平面的法向量计算角和距离向量的运算.角和距离角距离异面直线成角直线与平面成角二面角两点距离点到平面的距离线面距离面面距离异面直线距离.简单几何体棱柱与棱锥正多面体、欧拉定理球棱柱棱锥直棱柱斜棱柱正棱锥一般棱锥正棱柱球面距离球面面积球的体积.三．重点难点重点：有关空间点、线、面的位置关系的证明；向量的表示方法；向量的基本运算；空间角度与距离的求解；特殊几何体的表面积与体积计算是重点．难点：异面直线的角度与距离．二面角的平面角，特殊几何体表面上两点间距离（特别是球面上两点距离）求解．.四．主要内容：1．点、直线、平面是立体几何中三个基本元素，有关平面的性质的三个公理及推论是立体几何中推理的主要理论根据．2．空间直线和直线、直线和平面、平面和平面位置关系的定义，判定及性质研究是该章的主要内容，而平行和垂直的位置判定又是本章的核心内容，为此，必须熟练地掌握平行与垂直的判定和性质的证明与运用．现分述如下：.（1）线线平行的证明思路：①平行线公理（公理4）；②线面平行的性质定理；③如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行；④两个平行平面和第三平面相交，则它们的交线平行；⑤空间向量坐标法：两条直线的方向向量共线，记=(a1，a2，a3)，=(b1，b2，b3)，则//等价于存在实数λ，使ai=λbi（i=1，2，3）．.（2）线面平行的证明思路；①线面平行的定义；②线面平行的判定定理；③两个平面平行，则其中一个平面内任一直线，必平行于另一平面；④空间向量坐标法：直线的方向向量与平面的法向量垂直。.（3）面面平行的证明思路；①面面平行的定义；②面面平行的判定定理；③同垂直于一条直线的两个平面平行；④如果两个平面都与第三平面平行，则这三个平面平行；⑤空间向量坐标法（即证一个平面内两不平行向量分别平行于另一平面内的向量或两个平面的法向量平行）．.（4）线线垂直的证明思路①异面直线垂直的定义；②三垂线定理及逆定理；③线面垂直的定义④空间向量坐标法：记=(a1，a2，a3)，=(b1，b2，b3)，则⊥a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．.（5）线面垂直的证明思路①线面垂直的定义；②线面垂直判定定理；③两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于一个平面；④两个平面互相垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面；⑤一条直线垂直于两个平行平面中一个，则必垂直于另一个平面；⑥空间向量坐标法（运用构造平面的法向量判定线面垂直，即直线的方向向量平行于平面的法向量）．.（6）面面垂直的思路①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理；③空间向量坐标法：即两个平面的法向量互相垂直。.注意事项一.证明题：1.必须画图，说明辅助线的画法；2.证明中不要跳步，要用足相关的定理、定义，必要时可以用计算来证明；3.重要的定理要注明，如三垂线定理。.二.计算题：1.要用定义指明所求的角或距离；如求二面角问题中要找出交线，并在两个平面内分别找到与交棱垂直的直线，指出二面角的平面角；2.如果用余弦定理，则要指明三角形；3.必要时可以转化为平面问题解决。.三.向量问题：1.建立恰当的直角坐标系；2.分清楚直线的方向向量和平面的法向量；特别是法向量，一定要说清楚是哪一个平面的法向量，并用垂直关系来解；3.在用空间基本定理解题时，要注意四点共面的条件应用。.1．空间四点A、B、C、D确定六条直线，若AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC同时成立，则A、B、C、D四点的位置关系是（）（A）一定共面（B）一定共线（C）不一定共面（D）满足题设的四点不存在C.2．已知a,b是不同的直线，α,β是不同的平面，则下列条件中，不能判定a⊥b的是（）（A）a⊥α,b⊥β,α⊥β（B）a⊥β,bβ（C）a//α,b//β,α⊥β（D）a⊥α,a⊥β,b//βC.3．下列四个命题中正确命题的个数是（）①垂直于同一直线的两个平面平行；②两个平面都与同一直线平行是这两个平面平行的充要条件；③与一个平面等距离的两点的连线，一定平行于这个平面；④如果一个平面与两条异面直线的公垂线垂直，那么这两条异面直线必分别平行于这个平面。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个A.4．若，，为任意向量，则下列公式不一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）D.5．已知+=(2,,2)，－=(0,,0)，则cos=（）（A）（B）（C）（D）A.6．正三棱锥的侧面与下底面所成的二面角的余弦值为，则其相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）0D.7．水平地面有一个圆球，在阳光的照射下，其影子伸到距球与地面接触点10m远处，若此时，垂直于地面长为1m的木杆影子长为2m，则此球的半径为（）（A）20m（B）(－1)m（C）5m（D）(10－20)mD.8．若等边△ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面BPQC，若折叠后AB的长为d，则d的最小值为（）（A）a（B）a（C）a（D）aC.9．正八面体相邻两面所成的二面角的正切值为（）（A）1（B）2（C）－（D）－2D.10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的底面A1C1内取一点E，使AE与AB、AD所成的角均为60°，则线段AE的长为（）（A）（B）（C）（D）A.11．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为那么该三棱柱的体积是（）（A）96（B）16（C）24（D）48D.12．设ABCD为正四面体，E、F分别是AC、AD的中点，则△BEF在该四面体的面ADC上的射影是（）（A）（B）（C）（D）A.13．Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D是BC的中点，AC=4，DE⊥平面ABC，且DE=1，则点E到AC的距离是

。.14．已知球面上A、B两点的球面距离等于1，过这两点的球的半径的夹角等于60°，则这个球的表面积与体积之比等于

。π

.15．长方体的对角线的长等于1，其长、宽、高分别为x、y、z，则x+y+z的最大值等于

。.16．过底面边长为1的正三棱锥的一条侧棱和高作截面，如果这个截面的面积为，那么这个三棱锥的侧面和底面所成的角的正切值等于

。2

.17．PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为

。.18．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值等于

。.19．若P是△ABC所在