2022年初升高暑期数学精品讲义专题09 函数及其表示重难点突破【含答案】

专题09函数的概念及其表示一、考情分析二、经验分享【知识点一、函数的概念】1．函数的概念设A、B是______，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_____x，在集合B中都有______的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．名师解读：（1）“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应．（4）函数符号“”是数学中抽象符号之一，“”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，也不一定是解析式，还可以是图表或图象．2．函数的构成要素由函数概念知，一个函数的构成要素为___________．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．辨析与：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量x的函数，它是一个变量，是的一个特殊值．3．相等函数（同一函数）对于两个函数，只有当两个函数的_______都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数．名师解读：（1）判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．（3）在化简解析式时，必须是等价变形．【知识点二、区间及其表示】1．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b．我们规定：（1）满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为___________；（2）满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为___________；（3）满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为__________．其中实数a，b都叫做相应区间的端点．我们可以在数轴上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端点，我们用_____表示包括在区间内的端点，用_____表示不包括在区间内的端点．定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间注意：区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开．2．无穷大的概念实数集可以用区间表示为___________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．把满足的实数x的集合分别表示为．【知识点三、函数的三种表示方法】1．解析法用___________表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．2．图象法用___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．3．列表法通过列出___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．名师解读：（1）解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．（2）图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．（3）列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性．【知识点四、分段函数】1．分段函数的概念在函数定义域内，对于自变量x的不同___________，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．名师解读：（1）分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式．分段函数是一个函数，而不是几个函数．（2）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．（3）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．2．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据每段的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图象，作图时要注意每段曲线端点的___________，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点．名师解读：作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．【知识点五、映射】一般地，设A，B是两个___________，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的___________元素x，在集合B中都有___________的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射．名师解读：（1）映射包括非空集合A，B以及对应关系f，其中集合A，B可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何形式的集合．当A，B为数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射．（2）集合A，B是有先后次序的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的．（3）集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和它对应（有，且唯一），但允许B中元素没有A中元素与之对应．（4）A中元素与B中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”．知识提升对于映射，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中元素相对应的元素叫象，集合A叫原象集，象集为C，则．象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和象不可以互换．设A，B是两个集合，是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射．三、题型分析（一）．函数概念例1．（1）、（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）如图，可以表示函数的图象的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念判断【详解】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求故选：D（2）、（2021·全国·高一单元测试）若函数的定义域M＝{x|}，值域为N＝{y|}，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.【详解】A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，故错误；C中图象不表示函数关系，因为存在一个对应两个，不满足函数定义；D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}.只有中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：B.【变式训练1-1】．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）下列图形是函数图像的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义，对四个选项一一判断.【详解】按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.对于A：当x=0时，，不符合函数的定义.故A错误；对于B：当x=0时，，不符合函数的定义.故B错误；对于C：每一个x都对应唯一一个y值，符合函数的定义.故C正确；对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；故选:C【变式训练1-2】．（2021·安徽省六安中学高一期中）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，不能表示集合M到集合N的函数关系的序号有______.【答案】①③④【解析】【分析】由已知，根据所给函数的定义及定义域和值域依次判断即可.【详解】对①，由图知：，不符合函数的定义域，故①错误；对②，由图知：，，图象符合函数的定义，故②正确.对③，由图知：，不符合函数的值域，故③错误；对④，不符合函数定义，不是函数图象，故④错误.故答案为：①③④例2．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）已函数，则（）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【分析】利用函数解析式求得正确答案.【详解】，.故选：C【变式训练2-1】．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一期末）若，则_____．【答案】【解析】【分析】首先求函数，再求的值.【详解】设，则所以，即，，.故答案为：（二）．函数相等例3．（1）（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数是相等函数的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果.【详解】的定义域为；对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误.故选：B.（2）．（2021·北京市第一五九中学高一期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是______．①．，

②．，③．，

④．，【答案】③【解析】【分析】根据同一函数的判断标准，只要定义域相同，解析式一致，即为同一函数【详解】对于①：两个函数定义与不同：f（x）的定义域为，g（x）的定义域为R，故不是同一个函数；对于②：f（x）定义域为R，g（x）定义域，定义域不同，故不是同一个函数；对于③：f（x）与g（x）定义域均为R，解析式也一样，故是同一个函数；对于④：f（x）定义域为，g（x）定义域为，故不是同一个函数.故答案为：③【变式训练3-1】．（2020·沙坪坝区·重庆八中高一期中）在下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】判断定义域以及对应法则是否相同，即可得出答案.【详解】对于A项，与的对应法则不相同，故A错误；对于B项，与的定义域都为，，且对应法则也相同，故B正确；对于C项，的定义域为，而的定义域为，故C错误；对于D项，由，解得，由，解得或，即与的定义域不相同，故D错误；故选：B【变式训练3-2】、（2022·云南·会泽县实验高级中学校高一开学考试）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.【详解】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.故选：A.（三）．函数图象例4．（1）、（2022·全国·高一专题练习）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（

）A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟【答案】C【解析】【分析】先利用待定系数法求出和时，关于的函数关系式，再求出时，的值，然后结合函数图像即可得出答案．【详解】当时，设，将点代入得：，解得，则此时，当时，设，将点代入得：，则此时，综上，，当时，，解得，当时，，解得，则当时，，所以此次消毒的有效时间是（分钟），故选：C．（2）．13．（2021·广西·高二学业考试）函数的图象如图所示，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】【分析】有图像可知，当时，，即可求解.【详解】有图像可知，当时，，故.故选：C.【变式训练4-1】、（2021·陕西·咸阳市实验中学高一阶段练习）第十四届全运会游泳比赛在西安奥体中心游泳跳水馆举行，标准泳池的长为50米，宽为21米，在女子100米自由泳比赛中，能表示选手速度v随时间t变化的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据运动员从开始加速、匀速，减速为，再加速，即可得正确选项.【详解】运动员初始速度为，从开始加速，排除选项C，由于标准泳池的长为50米，运动员在游到50米之前先加速，匀速，再迅速减速为，然后加速游回去，故选项A、B不正确，选项D正确；故选：D.【变式训练4-2】、（2021·全国·高一专题练习）直角梯形ABCD，如图（1），动点P从B点出发，沿B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）.如果函数y＝f（x）的图象如图（2）所示，则△ABC的面积为__.【答案】16【解析】【分析】由题意作出图形，再由三角形面积公式求解即可【详解】由题意结合图（2）可知：BC＝4，，，过D作DG⊥AB∴AG＝3，由此可求出AB＝3+5＝8.S△ABCABBC8×4＝16.故答案为：16.【点睛】

（四）．分段函数例5．（1）、（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）设函数，则（

）A．6 B．7 C．9 D．10【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的特征，首先把，由，代入即可求解.【详解】故选：B（2）．（2021·浙江高一期末）已知则（）A．7 B．2 C．10 D．12【答案】D【分析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意．故选：D．【变式训练5-1】、（2022·陕西·长安一中高一期末）若，则________.【答案】16【解析】【详解】因为，所以，故答案为：16【变式训练5-2】、（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知函数，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】【分析】根据定义域选择合适的表达式代入求值【详解】故选：C

（五）．求函数的定义域例6、（2020·福建福州市·高三月考）函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据所给函数，利用函数有意义列出不等式组，再求解即得.【详解】函数有意义，则必有，解得且．函数的定义域为．故选：C【变式训练6-1】．（2022·新疆喀什·高一期末）函数中，自变量x的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的意义和分式的意义可得，解之即可.【详解】由题意知，，解得，即函数的定义域为.故选：B（六）．求抽象函数的定义域例7．（1）、（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用抽象函数的定义域求法求解.【详解】因为函数的定义域为，所以，则，所以，解得，所以的定义域为，故选：B（2）、（2021·云南大理白族自治州·宾川四中高一开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据定义域求得，利用即可得解.【详解】由题函数的定义域为，在中，所以，在中，所以.故选：B【变式训练7-1】、（2020·全国高一课时练习）已知函数定义域是，则的定义域是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由可得定义域.【详解】由题意，解得．故选：A．【变式训练7-2】、（2021·全国高一课时练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；（2）已知的定义域为，求的定义域；（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】利用抽象函数的定义域求解.【详解】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．∴，∴，即的定义域为．（2）由题意知中的，∴.又中的取值范围与中的x的取值范围相同，∴的定义域为．（3）∵函数的定义域为，由，得，∴的定义域为．又，即，∴函数的定义域为.（七）．函数的表示方法例8．（1）、（2021·山东日照·高三阶段练习）老舍在《济南的冬天》中写到济南的冬天是没有风声的，济南的冬天是响晴的，济南真得算个宝地.济南市某一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列正确的图象是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据的图象确定的变化趋势，确定正确选项．【详解】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D满足，故选：D．（2）、（2021·河南·范县第一中学高一阶段练习）已知函数，用列表法表示如下：则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据列表可得函数值进而得解.【详解】由列表可知.故选：B.（3）、（2021·全国·高一课时练习）已知矩形的周长为20cm，设矩形的宽为x（cm），面积为，则y关于x的函数表达式为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由题可得矩形的长，利用矩形面积公式即得.【详解】由矩形的周长为20cm，矩形的宽为x（cm），则矩形的长为（cm），∴面积为.故选：C.【变式训练8-1】、（2021·北京市海淀区尚丽外国语学校高一期中）函数和由下表给出，则_________.123424313124【答案】2【解析】【分析】由表知，，对应表格可知结果.【详解】由表格知，.故答案为：2.【变式训练8-2】、（2021·浙江湖州·高一期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表.已知某户月份用水量超过，则该户该月应缴纳的水费（元）关于用水量（）的函数关系式是______.每户每月用水量水价不超过12的部分3元/超过12但不超过18的部分6元/超过18的部分9元/【答案】【解析】【分析】根据已知条件求出函数解析式即可求解.【详解】当时，，所以用水量超过，水费（元）关于用水量（）的函数关系式是，故答案为：.【变式训练8-3】、（2021·江苏·高一专题练习）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积与时间t(月)的关系，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是________．【答案】①②【解析】【分析】①点坐标代入待定系数a；②代入解析式求函数值；③代入两函数值分别求自变量的值，作差比较可得；④面积的增长速度越来越快.【详解】对①，由图知，当时，，代入得，，解得，又，所以，①正确；对②，当时，，②正确；对③，当时，令，解得，当时，令，解得，则，③错误；对④，从图可以看出，2月到3月增加面积为，3月到4月增