指数函数与对数函数教材分析与教学建议

高一年级数学教材培训会专题发言材料第四章指数函数与对数函数教材分析与教学建议第四章指数函数与对数函数教材分析与教学建议大家好！非常荣幸能和大家一起共同探讨指数函数与对数函数新旧教材分析与教学建议。本章我们先将指数概念由整数指数逐步拓展到了实数指数，并给出了实数指数幂的运算法则，通过对指数增长方式的实例分析，引入指数函数的概念，并研究了它们的图象和性质，从对数和指数的相互联系出发，引入对数的概念，研究了对数的运算法则，在此基础上，研究了对数函数的概念，图象和性质.指数函数和对数函数是两种不同类型，但联系紧密的函数模型，是客观世界中“指数爆炸””对数增长”现象的重要教学模型，利用函数零点与方程解之间的关系，我们引入了函数零点存在性定理，探索用二分法求方程近似解的思路，二分法是求方程近似解的一般性方法，不同类型的函数具有不同的增长方式，通过比较我们认识了对数函数，线性函数，指数函数增长速度的差异，并通过具体实例学习了如何根据增长速度的差异选择合适的函数类型，构建数学模型刻画现实问题变化规律的方法。下面我将从“教材在整册教材及高中数学教学中的地位与作用、新旧教材相应内容的区别和联系、教材的编写特点、本章教材的教学建议、单元整体教学、夯实“四基”，提升“四能”培养核心素养、教学中的困惑“七个方面阐述一下自己的拙见，有不恰当之处，敬请大家批评指正。本章教材的地位与作用函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型。指数函数和对数函数是两类重要的、应用广泛的基本初等函数。学习指数函数和对数函数：1、帮助学生学会用函数图像和代数运算的方法研究它们的性质，理解这两类函数中蕴含的变化规律。2、运用函数的思想和方法，探索用二分法求方程的近似解。3、通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题，体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用，进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。4、可以提升数学抽象，数学建模，数学运算，直观想象和逻辑推理等数学核心素养。二、新旧教材相应内容的区别和联系(一）主要联系本章教材把原来必修一中第二章《基本初等函数》和第三章《函数与方程》合并为《指数函数与对数函数》一章，具体内容没有本质的变化。（二）主要变化1、本章编写顺序的变化本章教材将原必修一中第二章《基本初等函数》和第三章《函数与方程》两个章节，合并为必修第一册第四章《指数函数与对数函数》，并且学习的顺序稍有调整：将原有的《幂函数》调整到新教材的第三章《函数的概念与性质》来学习，另外，原有的《函数的应用》一节，被一分为二，分别放在了新教材的第三章和第四章来学习2、学习目标的变化（1）指数函数部分旧教材新教材1、了解指数函数模型的实际背景2、理解有理数指数幂的运算，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3、理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。4、在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。1、通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。2、通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念，能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。（2）对数函数部分旧教材新教材1、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，通过阅读材料了解对数的发现历史以及其对简化运算的作用。2、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。3、知道指数函数与对数函数互为反函数1、理解对数函数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数2、通过具体实例，了解对数函数的概念，能借助描点法、信息技术画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。3、知道对数函数与指数函数互为反函数4、收集、阅读对数概念的形成和发展的历史资料，撰写论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用。（3）函数与函数模型部分旧教材新教材利用计算工具，比较指数函数、对数函数、及幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2、通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）实例，了解函数模型的广泛应用1、进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。结合现实情境中的具体问题，利用计算工具比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题变化规律2、收集一些现实生活，生产实际或者经济领域中的函数模型体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的实现实意义。（4）二分法与求方程的近似解旧教材新教材1、结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及其根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系2、根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法1、结合指数函数和对数函数的图像，进一步了解函数的零点与方程解的关系2、结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程解是解具有一般性3、章引言的变化新旧教材都是通过实例，提出问题，原教材是“给出鱼化石中碳14的残留量问题，提出问题：其中用到了哪个函数模型？”而新教材设计的“良渚遗址中碳14的残留量问题，提出问题：其中用了什么数学知识？”图片不同，但用到的引例知识碳14相同。新教材中的实例更接近人们的生活，更能引起学生探究新知的好奇心，引言中新旧教材都举例了常见的哪些指数模型，由于新教材是学完幂函数之后再学习指数函数，所以引言中变成了类比幂函数的学习来学习指数函数和对数函数。4、引例的变化在引入分数指数幂的运算是，新教材去掉了问题1,2，直接由初中的整数指数幂运算，结合实例正方形的面积问题提出分数指数幂的意义是什么？直截了当，更符合学生的认知特点，并且在课程的标题上也做了相应的调整，由原来的《指数与指数幂的运算》改为《n次方根与分数指数幂》，使问题和标题统一起来，学习的目标更明确。5、指数函数、对数函数概念的形成指数函数的概念，旧教材利用两个问题，直接概括出指数函数模型，新教材按照函数概念形成的一般过程进行的。首先从景区游客人次增长，碳14衰减等具体背景出发，再通过运算发现其中的指数增长和指数衰减的变化规律，然后归纳出其共性，得到指数函数的一般表达式，注重于概念的抽象过程。对数函数的概念：新旧教材都利用碳14的衰减问题来概括，但新教材先结合图象，解释说明x也是y的函数，再利用指数与对数的关系，经过运算推理，采用从特殊到一般的方法，得到对数函数的一般表达式，考虑的更全面，更细致。6、探究与发现的变化在利用图象研究指数、对数函数的性质时，探究中的问法都做了稍微的改变，问法更细致，目标更明确，为学生提供了明确的方向。同时有意识的向学生渗透了数形结合的思想方法。关于对数的换底公式的学习，旧教材采用了逻辑推理的形式得到，在新教材中，先利用计算工具计算，再利用它们的值计算的值，猜测它们之间的关系，得出结论，最后通过逻辑推理去验证结论，体现了由特殊到一般的学习方法，这种设计方式更符合学生的思维，使学生更容易接受，理解。4.4.3《不同函数的增长差异》一节中，新教材加入了大量的探究内容，探究中以具体函数为例，通过比较指数函数与一次函数、对数函数与一次函数的函数图像，体会它们的增长差异，学生有了对不同函数增长差异的认识，就能根据这种增长差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的规律，并能更好的理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义。7、例题、练习与习题的变化（1）例题的变化《指数函数的概念》一节中新增例题2，通过利用指数函数的概念解决问题1、2的有关问题，让学生进一步了解指数函数的实际意义并理解指数函数的概念，同时引出形如的刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型，与旧教材的指数型函数的说法稍有不同。《对数函数的概念》一节中新增例题2，通过利用对数函数的概念解决实际问题，理解对数函数的概念，进一步了解指数函数的实际意义，初步体会对数增长的特点。（2）练习题的变化教材中对练习题进行了重新划分：①顺序上：性质和概念分开，概念单独讲解，习题相应的被划分成两节，便于学生及时练习，及时巩固，针对性更强。②层次上：由A组和B组两部分变为复习巩固、综合运用、拓广探索三部分，层性较好，这些习题，对基础稍差点的学生来说，能把基本的知识掌握好，也能学会，提升信心，对基础较好的的学生来说，可以进行高层次的探索研究，极大程度上满足了学生不同层次需求。8、增加了---文献阅读与数学写作学生通过查阅，搜集资料，了解对数的产生，概念的形成与发展，充分体会对数对数学发展、人类社会发展的历史意义，提升学生的数学文化素养。三、新教材的编写特点1、注重概念形成的实际背景指数函数的概念：新教材将原有问题1国民生产总值问题换成了人们感兴趣的旅游问题，问题2保持不变，两个问题，一个是增长问题，一个是衰减问题，通过两个问题的研究，有利于学生从实际出发全面认识指数函数，特别是问题1，首先引导学生从数据和图像中抽象出实际问题的变化规律，但是图象不能准确的刻画这一规律，从而启发引导学生去处理数据，利用数形结合的方法去发现实际问题的变化规律的本质，尽管两个问题的实际背景不同，但解析式都具有相同的形式，从而可以概括出“函数叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是R”，指数函数概念的形成，提升了学生抽象概括的能力，同时也提升了学生数据分析的能力。2、注重研究函数的基本思路普适性第三章学习了函数的概念和基本性质，通过研究幂函数的图像和性质，给出了研究函数的一般思路，即“实际背景-----概念形成-----图象和性质-----实际应用”。由于研究函数的思路具有一般性，我们可以类比研究幂函数的过程和方法，进一步研究指数函数、对数函数，通过指数、对数函数的图像研究其性质。3、注重逻辑思维的连贯性在引入分数指数幂的过程中，回顾初中已经学过的整数指数幂，以正方形的面积为例，自然的提出问题：分数指数幂的意义是什么？实现了初高中知识的自然衔接。同时也指出了学习分数指数幂的必要性。在引入对数运算的过程中，回顾指数函数的概念中的问题1，提出新的问题：经过多少年游客人次是最初的2倍，3倍，4倍……?问题该如何解决？实现了指数、对数自然衔接。说明了学习对数运算的必要性。4、注重信息技术工具的使用利用信息技术可以进行多种方式的研究，比如：选取不同的底数做大量图像，通过图象，可以很快归纳出函数的共同特征，抽象出函数性质。又如在解决问题1时，利用数据，建立函数图象和数表的联系，跟踪图象上的点，数形结合地发现函数的图象特征和性质，直观地得到数据的变化规律。在二分法求方程的近似解时，当计算比较麻烦时，可以利用计算工具直接求出方程的近似解，为我们节约大量的时间。在函数模型的应用中，当数据比较大，很难发现其变化规律，可以利用信息技术做出已知数据的散点图，根据散点图选择并求出拟合函数。四、教学建议1、课时分配本章教学约需16课时，具体分配如下（仅供参考）4.1指数2课时4.2指数函数2课时4.3对数2课时4.4对数函3课时4.5函数的应用（二）4课时文献阅读与数学写作对数概念的形成与发展1课时小结2课时2、突出重点及突破难点本章的重点是实数指数幂及其运算，对数及其运算，指数函数和对数函数的概念，图像性质及其应用。本章的难点是抽象、概括指数函数和对数函数的概念和性质。因为学生需要通过观察，分析，探究等一系列的思维活动，由具体的问题和图像进行归纳、演绎，并通过抽象、概括或推理得出其本质，从而得到有关概念和性质，所以在这个过程中，学生有可能会遇到困难突破本章难点的关键是利用好教科书中的实例和问题，引导学生计算、推理、归纳并概括指数函数和对数函数的概念及其性质。要特别注意让学生通过观察具体的指数函数、对数函数的图像，发现共性，归纳共同特征，并在此基础上抽象出指数函数、对数函数的性质3、教法建议背景概念图象和性质应用（背景概念图象和性质应用研究函数的基本思路：学习指数函数，对数函数：首先，引导学生通过运算，分析具体数据中蕴含的变化规律，抽象形成相应的函数概念；其次利用问题引导学生思考和总结，自主探究两类函数的图象和性质。需要注意：与幂函数不同，指数函数和对数函数各是一种类型的函数，所以应该先选取具体函数描点作图，再借助信息技术画出更多的具体函数图象，然后引导学生观察发现其中的共同特征，归纳概括其性质。（2）加强数形结合，研究指数函数和对数函数函数图象是平面上点的集合，指数函数和对数函数的图象都是满足一定条件的曲线，因此，研究指数函数和对数函数，从某种意义上说，就是研究这些曲线的性质、变化，对于指数函数，对数函数单调性的研究，主要是借助图象直观，利用图象，研究性质。教学中要更多地采用数形结合的方法，帮助学生直观认识这两类函数的图象及性质。在比较不同的函数的增长差异时，为了能选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律，需要从不同的角度进行比较，所用的方法依然是利用函数图象，采用数形结合的方法。（3）加强背景和应用，发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养。指数函数和对数函数都是刻画客观世界变量之间关系的数学模型，它们的引入需要通过大量的现实背景，历史背景以及数学背景的素材，教科书在这方面提供了很多素材，结合这些素材，引导学生从数学的视角发现问题，提出问题，构建指数函数和对数函数模型，确定模型中的参数，计算求解，检验结果，改进模型，最终解决问题，让学生体会数学的来源与应用，丰富学生对数学的认识，提升数学建模素养（4）加强运算能力的培养数学运算是重要的数学核心素养。本章主要涉及计算指数幂、指数幂运算、计算对数、对数的运算，还涉及利用指数函数、对数函数的性质，比较一些特殊类型的数之间的大小等。因此，在教学中，应加强学生运算能力的培养，也可以引导学生对学过的数学运算进行适当的整理和总结，从整体上理解数学运算，体会运算在数学中的作用。（5）注意极限思想的渗透课本在三处位置涉及到了极限思想：一是学习无理数指数幂时，类比初中用有理数逼近无理数，从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向逼近无理数指数幂，发现，这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂，这样从数、形两个角度加强了逼近和极限思想的渗透。二是课本109页练习第2题“探究实数指数幂的变化规律”同样体现了极限思想；三