理论力学刚体的基本运动

关于理论力学刚体的基本运动第一页，共三十五页，2022年，8月28日6.1刚体的平行移动刚体的两种最简单的运动是平行移动和定轴转动。以后可以看到，刚体的更复杂的运动可以看成由这两种运动的合成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。1.刚体的平动在运动过程中，刚体上任意一条直线都与其初始位置保持平行。具有这种特征的刚体运动，称为刚体的平行移动，简称为平动。第二页，共三十五页，2022年，8月28日6.1刚体的平行移动平动的实例夹板锤的锤头第三页，共三十五页，2022年，8月28日6.1刚体的平行移动2.平动的特点定理：当刚体作平动时，刚体内所有各点的轨迹形状完全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点的加速度也相等。yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O证明：◆速度刚体平动时，刚体内任一线段AB的长度和方向都保持不变。因而第四页，共三十五页，2022年，8月28日因此，研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任一点的运动。6.1刚体的平行移动故即◆加速度上式再对时间t求导一次，即得即，在每一瞬时，平动刚体内任意两点的速度和加速度分别相等。◆轨迹由于平动刚体内各点的速度、加速度始终相同，所以刚体内所有各点的轨迹形状完全相同。第五页，共三十五页，2022年，8月28日6.1刚体的平行移动平动刚体上各点的速度平动刚体上各点的加速度第六页，共三十五页，2022年，8月28日6.1刚体的平行移动注意：平动刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。由上述定理可见：综上所述，可以得出刚体平动的特点：1、平动刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。2、平动刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度。3、刚体平动时的运动分析可以简化为其上任意一点(一般取为质心)的运动分析。如果平动刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特殊情形称为平面平动或直线平动。当刚体作平动时，只须给出刚体内任意一点的运动，就可以完全确定整个刚体的运动。这样，刚体平动问题就可看为点的运动问题来处理。这样，刚体平动问题就可看为点的运动问题来处理。第七页，共三十五页，2022年，8月28日在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。6.2刚体绕定轴的转动刚体定轴转动的特点当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。定轴转动实例第八页，共三十五页，2022年，8月28日如图，两平面间的夹角用φ表示，称为刚体的转角。6.2刚体绕定轴的转动转角φ是一个代数量，它确定了刚体的位置。它的符号规定如下：自z轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计算取正值；按顺时针转向计算取负值。并用弧度(rad)表示。第九页，共三十五页，2022年，8月28日当刚体转动时，角j是时间t的单值连续函数，即这就是刚体绕定轴转动的运动方程。6.2刚体绕定轴的转动转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用w表示:角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即单位时间内转角的变化。当转角φ随时间而增大时，ω为正值，反之为负值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时角速度取正值，反之取负值。第十页，共三十五页，2022年，8月28日角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母表示，即6.2刚体绕定轴的转动角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用rad/s2(弧度/秒2)表示。角加速度也是代数量。和ω正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作加速转动。反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即刚体作减速转动。但减速转动只到ω=0时为止。刚体由静止开始的转动都是加速转动。第十一页，共三十五页，2022年，8月28日6.2刚体绕定轴的转动工程上常用转速n来表示刚体转动的快慢。n的单位是转/分(r/min)，ω与n的转换关系为匀变速转动公式第十二页，共三十五页，2022年，8月28日当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离。动点速度的大小为6.3转动刚体内各点的速度和加速度由于点M绕点O作圆周运动，用自然法表示。点M的弧坐标为即：定轴转动刚体内任一点的速度,等于该点的转动半径与刚体角速度的乘积。式中v与ω两者正负相同。故速度是沿着点M的轨迹圆周的切线，指向转动前进的一方。第十三页，共三十五页，2022年，8月28日即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。6.3转动刚体内各点的速度和加速度第十四页，共三十五页，2022年，8月28日6.3转动刚体内各点的速度和加速度点M的加速度有切向加速度和法向加速度。第十五页，共三十五页，2022年，8月28日6.3转动刚体内各点的速度和加速度法向加速度为：即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。即：转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积。它的方向由角加速度的符号决定，当是正值时，它沿圆周的切线，指向角φ的正向；否则相反。切向加速度为：第十六页，共三十五页，2022年，8月28日如果ω与同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度aτ与速度v的指向相同。6.3转动刚体内各点的速度和加速度如果ω与异号，刚体作减速转动，aτ与v的指向相反。(1)在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。点的全加速度为：(2)在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度α与半径间的夹角θ都有相同的值。第十七页，共三十五页，2022年，8月28日6.3转动刚体内各点的速度和加速度但是，全加速度a与转动半径R的夹角，却与转动半径无关。即：在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的加速度与其转动半径的夹角θ都相同。平面上各点加速度的分布如图。第十八页，共三十五页，2022年，8月28日6.4轮系的传动比１、齿轮传动①啮合条件②传动比第十九页，共三十五页，2022年，8月28日即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反比。由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的齿数成反比。6.4轮系的传动比第二十页，共三十五页，2022年，8月28日6.4轮系的传动比２、带轮传动第二十一页，共三十五页，2022年，8月28日齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知r1、r2、ω1、1，求ω2、2。解：因啮合点无相对滑动，所以由于于是可得即w11r1O1O2r2w22v1v2aτ1aτ2例6-1第二十二页，共三十五页，2022年，8月28日例6-2一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程为

，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为当t=1s时，则为因此轮缘上任一点M的速度和加速度为方向如图所示。第二十三页，共三十五页，2022年，8月28日M点的全加速度及其偏角为如图所示，现在求物体A的速度和加速度。因为上式两边求一阶及二阶导数，则得因此第二十四页，共三十五页，2022年，8月28日例6-3在刮风期间，风车的角加速度，其中转角θ以rad计。若初瞬时，其叶片半径为0.75m。试求叶片转过两圈（）时其顶端P点的速度。ωεP解：第二十五页，共三十五页，2022年，8月28日下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13；(b)如果n1=3000r/min，求n3.13n142n3n2解：求传动比：则有：例6-4第二十六页，共三十五页，2022年，8月28日§6-5以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度1、角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量角加速度矢量大小角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。指向用右手螺旋法则。第二十七页，共三十五页，2022年，8月28日§6-5以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度速度加速度M点切向加速度M点法向加速度第二十八页，共三十五页，2022年，8月28日刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速度矢为求：t=1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及加速度矢。例6-5第二十九页，共三十五页，2022年，8月28日解：角速度矢量M点相对于转轴上一点M0的矢径某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢的方向余弦为0.6，0.48，0.64，角速度的大小ω=25rad/s。求：刚体上点M（10，7，11）的速度矢。例6-6第三十页，共三十五页，2022年，8月28日已知钢板与滚子之间无相对滑动，滚子直径d=0.2m；转速n=50r/min，求；钢板的速度和加速度，并求滚子与钢板接触点的加速度。钢板加速度滚子上M点的加速度解：设钢板上的M′点与滚子上的M点相接触，钢板平动速度例6-7第三十一页，共三十五页，2022年，8月28日物块B以匀速vO沿水平直线移动。杆OA可绕O轴转动，杆保持紧靠在物块的侧棱b上，如图所示。已知物块高度为h，试求杆OA的转动方程、角速度和角加速度。

解取坐标如图4，x轴以水平向右为正，φ角则自y轴起顺时针转向为正。取x=0的瞬时作为时间的计算起点。在任意瞬时t，物块侧面ab的坐标为x。按题意有x=vOt。杆OA的转动方程为

杆的角速度

即

杆的角加速度是

由三角形Oab得例6-8第三十二页，共三十五页，2022年，8月28日所示为一带式输送机。已知：主动轮Ⅰ的转速n1为1200r/min，齿数Z1=24，齿轮Ⅲ和Ⅳ用链条传动，齿数各为Z3=15，Z4=45。轮V的直径d5=46cm，如希望输送带的速度约为v=2.4m/s，试求轮Ⅱ应有的齿数Z2.0解