2018-2019学年人教B版数学选修1-2同步学案：第二章 2.1.1 合情推理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理。2。了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一推理1．推理的概念与分类(1)根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式就是推理．（2）推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设）,叫做前提；一部分是由已知推出的判断,叫做结论．（3)推理一般分为合情推理与演绎推理．2．合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理．知识点二归纳推理思考（1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征．梳理归纳推理(1)定义:根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳），归纳是从特殊到一般的过程．（2）归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．知识点三类比推理思考由三角形的性质：①三角形的两边之和大于第三边，②三角形面积等于高与底乘积的eq\f（1,2）。可推测出四面体具有如下性质：（1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，（2)四面体的体积等于底面积与高乘积的eq\f（1,3).该推理属于什么推理?答案类比推理．梳理类比推理(1)定义:根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比)．（2)类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．1．类比推理得到的结论可作为定理应用．（×)2．由个别到一般的推理为归纳推理．（√）3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．（×）类型一归纳推理eq\x(命题角度1数、式中的归纳推理)例1(1）观察下列等式:1－eq\f（1，2）＝eq\f(1，2)，1－eq\f(1,2）＋eq\f(1，3)－eq\f（1，4)＝eq\f(1，3)＋eq\f(1，4)，1－eq\f(1，2）＋eq\f（1,3)－eq\f(1,4）＋eq\f(1,5)－eq\f（1，6）＝eq\f（1，4）＋eq\f(1,5）＋eq\f(1，6)，…，据此规律，第n（n∈N＋)个等式可为_____________________________________________．（2）已知f(x）＝eq\f(x，1－x),设f1（x）＝f(x),fn(x)＝fn－1（fn－1(x))（n>1，且n∈N＋)，则f3（x）的表达式为________，猜想fn（x）(n∈N＋）的表达式为________．答案（1)1－eq\f（1,2)＋eq\f(1，3)－eq\f（1，4)＋…＋eq\f(1，2n－1）－eq\f(1,2n)＝eq\f(1，n＋1）＋eq\f(1，n＋2)＋…＋eq\f（1,2n)(2）f3(x）＝eq\f(x，1－4x）fn（x）＝eq\f（x，1－2n－1x)解析（1)等式左边的特征:第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项,且正负交错，故第n(n∈N＋)个等式左边有2n项且正负交错,应为1－eq\f（1，2)＋eq\f（1，3)－eq\f（1，4）＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f（1，2n）；等式右边的特征:第1个有1项,第2个有2项，第3个有3项，故第n（n∈N＋）个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现,第n(n∈N＋)个等式右边应为eq\f(1，n＋1）＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f（1，2n)。（2）∵f（x)＝eq\f(x,1－x），∴f1(x)＝eq\f（x，1－x）。又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x）)，∴f2(x)＝f1(f1(x）)＝eq\f(\f（x,1－x），1－\f（x，1－x))＝eq\f(x，1－2x)，f3（x)＝f2（f2(x)）＝eq\f（\f（x，1－2x），1－2×\f（x,1－2x）)＝eq\f（x，1－4x），f4(x）＝f3（f3（x））＝eq\f（\f（x,1－4x),1－4×\f(x,1－4x))＝eq\f(x，1－8x)，f5(x）＝f4(f4（x))＝eq\f(\f（x,1－8x),1－8×\f(x，1－8x))＝eq\f(x，1－16x)，∴根据前几项可以猜想fn(x)＝eq\f（x,1－2n－1x）（n∈N＋）．引申探究在本例（2）中,若把“fn（x)＝fn－1（fn－1（x）)”改为“fn(x)＝f(fn－1(x)）"，其他条件不变，试猜想fn(x）(n∈N＋）的表达式．解∵f（x）＝eq\f（x，1－x），∴f1（x）＝eq\f(x，1－x）。又∵fn（x）＝f（fn－1(x）），∴f2(x）＝f（f1（x））＝eq\f(\f(x,1－x），1－\f（x,1－x））＝eq\f(x，1－2x)，f3(x)＝f（f2(x)）＝eq\f（\f（x,1－2x),1－\f(x，1－2x)）＝eq\f(x，1－3x)，f4（x)＝f(f3(x))＝eq\f（\f(x,1－3x)，1－\f（x,1－3x))＝eq\f(x，1－4x)。因此,可以猜想fn（x）＝eq\f（x，1－nx)(n∈N＋）．反思与感悟（1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式）中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式）中结构形成的特征;③提炼出等式（或不等式)的综合特点;④运用归纳推理得出一般结论．（2）数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．跟踪训练1（1)已知x〉1，由不等式x＋eq\f（1,x）〉2;x2＋eq\f(2,x）〉3；x3＋eq\f（3，x)〉4；…，可以推广为（）A．xn＋eq\f（n,x)>n B．xn＋eq\f(n,x)〉n＋1C．xn＋eq\f（n＋1,x）>n＋1 D．xn＋eq\f(n＋1,x)〉n（2）观察下列等式:eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(sin\f（π，3)))－2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin\f（2π,3))）－2＝eq\f(4,3)×1×2；eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（π,5））)－2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,5)))－2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin\f（3π，5）))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin\f(4π,5）））－2＝eq\f（4,3)×2×3；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f（π,7)）)－2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f（2π，7）））－2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（3π，7））)－2＋…＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin\f（6π，7)))－2＝eq\f（4，3）×3×4；eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,9)））－2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f（2π，9)）)－2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π，9)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(8π,9)））－2＝eq\f(4，3）×4×5;…,照此规律，eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f(π，2n＋1))）－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f（2π，2n＋1)）)－2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin\f（3π，2n＋1）)）－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f(2nπ，2n＋1)))－2＝__________。答案（1）B(2)eq\f（4，3）×n×（n＋1)解析(1)不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，…，右边的数是2,3，4,…，利用此规律观察所给不等式,都是写成xn＋eq\f（n,x）〉n＋1的形式,从而归纳出一般性结论：xn＋eq\f(n,x）〉n＋1，故选B。(2)观察等式右边的规律：第1个数都是eq\f(4,3)，第2个数对应行数n,第3个数为n＋1.eq\x(命题角度2几何中的归纳推理）例2如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2，3，…)，则第n个图形中顶点的个数为(）A．(n＋1）（n＋2) B．(n＋2）(n＋3)C．n2 D．n答案B解析由已知图形我们可以得到：当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个）,当n＝2时，顶点共有20＝4×5（个)，当n＝3时，顶点共有30＝5×6(个），当n＝4时,顶点共有42＝6×7(个），…,则第n个图形共有顶点（n＋2）（n＋3)个，故选B.反思与感悟图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2）从图形结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．跟踪训练2黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．答案5n＋1解析观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6＋(n－1）×5＝5n＋1.类型二类比推理例3如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai（i＝1，2，3,4），此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3，4),若eq\f(a1，1)＝eq\f(a2,2)＝eq\f(a3，3）＝eq\f(a4,4）＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq\f(2S,k），类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i＝1,2,3,4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4）,若eq\f（S1,1)＝eq\f(S2,2)＝eq\f（S3,3)＝eq\f(S4,4）＝K,则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？解对平面凸四边形：S＝eq\f（1,2）a1h1＋eq\f（1，2）a2h2＋eq\f（1，2)a3h3＋eq\f(1,2）a4h4＝eq\f（1，2)(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4）＝eq\f(k,2）（h1＋2h2＋3h3＋4h4)，所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq\f（2S，k)；类比在三棱锥中，V＝eq\f(1，3)S1H1＋eq\f（1,3)S2H2＋eq\f(1,3）S3H3＋eq\f（1,3）S4H4＝eq\f(1，3）（KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)＝eq\f(K，3）(H1＋2H2＋3H3＋4H4）．故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝eq\f（3V,K）。反思与感悟(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2）平面图形与空间图形的类比如下：平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体跟踪训练3（1）若数列{an｝(n∈N＋）是等差数列，则有数列bn＝eq\f（a1＋a2＋…＋an，n)（n∈N＋）也是等_（n∈N＋）也是等比数列．答案eq\r（n,c1c2c3…cn）解析数列{an｝(n∈N＋）是等差数列，则有数列bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)(n∈N＋）也是等差数列．类比猜想:若数列{cn｝是各项均为正数的等比数列，则当dn＝eq\r（n,c1c2c3…cn)时,数列｛dn｝也是等比数列．(2）如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB,其中a,b，c分别为角A，B，C的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如图所示，在四面体P－ABC中，设S1,S2，S3,S分别表示△PAB,△PBC，△PCA，△ABC的面积,α,β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ。1．有一串彩旗,代表蓝色，代表黄色．两种彩旗排成一行：…，那么在前200个彩旗中黄旗的个数为()A．111B．89C．133D．67答案D解析观察彩旗排列规律可知,颜色的交替成周期性变化，周期为9,每9个旗子中有3个黄旗．则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.2．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A．三角形 B．梯形C．平行四边形 D．矩形答案C解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C。3．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…,可以得到的一般结论是(）A．n＋(n＋1)＋（n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋（n＋1)＋(n＋2）＋…＋(3n－2）＝(2n－1）2C．n＋(n＋1）＋(n＋2)＋…＋(3n－1）＝n2D．n＋（n＋1）＋（n＋2)＋…＋（3n－1）＝(2n－1)2答案B4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4，类似地,在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案1∶8解析设两个正四面体的体积分别为V1，V2，则V1∶V2＝eq\f(1,3)S1h1∶eq\f（1,3)S2h2＝S1h1∶S2h2＝1∶8。5。在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α,β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．解在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（a,c)））2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（b,c））)2＝eq\f（a2＋b2,c2）＝eq\f（c2,c2）＝1。于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（m，l)）)2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(n，l)）)2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(g，l））)2＝eq\f(m2＋n2＋g2,l2)＝eq\f（l2,l2)＝1。1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例,所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否,还要经过严格的理论证明．2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误．3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性(1）类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．（2）这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同（相似）属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是(）A．若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b）c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“eq\f（a＋b，c)＝eq\f(a，c）＋eq\f(b,c）(c≠0)"D．“（ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”答案C解析显然A,B,D不正确，只有C正确．2。观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(）A. B。C。 D.考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案A解析观察可发现规律:①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．3．平面内平行于同一直线的两直线平行,由此类比可以得到（）A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行答案D解析利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．4．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113答案B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111。5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2答案C解析从①②③可以看出,从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根,故可归纳出第n个“金鱼"图需火柴棒的根数为6n＋2。6．已知｛bn｝为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an｝为等差数列，a5＝2，则{an｝的类似结论为（)A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9答案D7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r,则r＝eq\f(2S，a＋b＋c)，类比这个结论可知：四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体A－BCD的体积为V，则R等于(）A。eq\f（V,S1＋S2＋S3＋S4) B.eq\f(2V，S1＋S2＋S3＋S4）C。eq\f（3V，S1＋S2＋S3＋S4) D。eq\f(4V，S1＋S2＋S3＋S4）答案C解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V＝eq\f(1，3)（S1＋S2＋S3＋S4）R,∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4）。8．已知f(1）＝1，f(2)＝3，f（3)＝4,f(4)＝7，f（5）＝11，…,则f(10）等于(）A．28B．76C．123D．199答案C解析由题意可得f(3)＝f(1)＋f(2)，f(4)＝f(2)＋f（3),f（5）＝f（3)＋f(4)，则f（6)＝f(4）＋f（5）＝18，f（7）＝f（5)＋f（6）＝29，f(8)＝f（6）＋f(7)＝47，f（9)＝f（7）＋f（8）＝76，f（10)＝f(8)＋f(9)＝123。二、填空题9．正整数按下表的规律排列，则上起第2017行,左起第2018列的数应为________________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数阵(表）中的应用答案2017×2018解析由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1,根据题意,左起第2018列的第一个数为20172＋1，由连线规律可知,上起第2017行，左起第2018列的数应为20172＋2017＝2017×2018。10．经计算发现下列不等式：eq\r（2）＋eq\r(18）<2eq\r(10)，eq\r(4。5)＋eq\r(15.5)〈2eq\r（10），eq\r（3＋\r（2)）＋eq\r(17－\r（2))<2eq\r(10），…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________________________________。答案若a＋b＝20（a≠b），则eq\r(a)＋eq\r（b)〈2eq\r（10)，a，b为正实数11．观察（x2)′＝2x，（x4）′＝4x3，（cosx）′＝－sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x）满足f（－x）＝f(x)，记g（x)为f（x)的导函数,则g(－x)＝________。考点归纳推理题点归纳推理在数对（组）中的应用答案－g（x)解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f（x）是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g（－x)＝－g(x）．12．如图(甲）是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案,会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图（乙）中的直角三角形依此规律继续作下去,记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列｛an}，则此数列｛an｝的通项公式为an＝________。考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对（组）中的应用答案eq\r(n)解析根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和图（乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1,a2＝OA2＝eq\r（OA\o\al（2，1）＋A1A\o\al（2,2))＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2),a3＝OA3＝eq\r(OA\o\al(2,2）＋A2A\o\al（2，3）)＝eq\r（\r（2)2＋12）＝eq\r（3），…，故可归纳推测出an＝eq\r(n).三、解答题13．设a>0，且a≠1，