2022年初升高暑期数学精品讲义专题15 指数函数（分层训练）【含答案】

专题15指数函数A组基础巩固1．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则=（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】根据题意求得函数，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数，因为，可得，解得，即，所以.故选：B.2．（2021·全国·高一专题练习）对任意实数且关于x的函数图象必过定点(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据指数函数过定点(0，1)可求解.【详解】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函数是指数函数，过定点(0，1)，则过定点(0，5).故选：C.3．（2021·上海交大附中高一期中）在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．【详解】解：函数的是指数函数，且，排除选项C，如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，所以B正确；对称轴在x轴左侧，C不正确；如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．故选：B．4．（2022·浙江·高三学业考试）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式可得函数是以为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案.【详解】解：由，得函数是以为底数的指数函数，且函数为减函数，故D选项符合题意.故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用指数幂的性质比较各指数式的大小.【详解】由，又，而，故，综上，.故选：B6．（2021·河北·石家庄二中高一开学考试）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先将改写为，再利用函数的单调性判断即可【详解】由题,，对于指数函数可知在上单调递增,因为，所以，即故选：D7．（2022·山西·高二期末）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用指数函数的单调性及中间值即可求解.【详解】因为在上单调递减，又，所以，即，又因为，所以.故选：A.8．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令指数为，求出，再代入计算可得；【详解】解：令，解得，所以当时，，所以函数过定点.故选：B9．（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知函数，在上单调递增，则的最大值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】【分析】由每段函数单调递增和端点的大小关系可得.【详解】由题意可知，函数在上单调递增，则，解得．即的最大值为1.故选：B10．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】将不等式转化为，利用数形结合求解.【详解】解：因为函数，所以不等式即为，在坐标系中作出的图象，如图所示：因为都经过，因为的图象在图象的下方，由图象知：不等式的解集是，故选：B11．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】首先得到函数的定义域，再分析当时的取值，即可得到，再对时分和两种情况讨论，求出此时的取值，即可得到的值域，从而得到不等式，解得即可；【详解】解：因为，所以的定义域为，，当时，则在上单调递增，所以；要使定义域和值域的交集为空集，显然，当时，若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若时在上单调递减，此时，则，所以，解得，即故选：B12．（2020·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用复合函数的单调性“同增异减”来解题.【详解】设，在单调递增，在单调递减，在单调递增，根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.故选：A.13．（2023·全国·高三专题练习）已知的最小值为2，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】注意观察时，，所以让时，恒成立即可，根据参变分离和换元方法即可得解.【详解】当时，，又因为的最小值为2，，所以需要当时，恒成立，所以在恒成立，所以在恒成立，即在恒成立，令，则，原式转化为在恒成立，是二次函数，开口向下，对称轴为直线，所以在上最大值为，所以，故选：D.14．（2021·上海交大附中高一期中）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___．【答案】【解析】【分析】设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1）,代入计算即可得解.【详解】解：设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1），∴，解得，∴.故答案为：.15．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知函数若，则实数__________.【答案】【解析】【分析】先求出，再分和代入不同解析式解出即可.【详解】.当，即时，，则0，与相矛盾，舍去.当，即时，，则，即，满足.故.故答案为：1.16．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）函数y=的单调递增区间是____.【答案】【解析】【分析】设函数，再利用复合函数的单调性原理求解.【详解】解：由题得函数的定义域为.设函数，因为函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数是单调递减函数，由复合函数的单调性得函数y=的单调递增区间为.故答案为：17．（2022·山东烟台·高一期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，计算不等式组即可求得结果.【详解】∵函数的值域为，又当时，，∴，解得.故答案为：.18．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知函数则______．【答案】【解析】【分析】直接由分段函数解析式求函数值即可.【详解】由题意知：，则.故答案为：.19．（2021·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）函数的值域为_________________.【答案】【解析】【分析】利用指数函数的性质可求得函数的值域.【详解】当时，，则，故函数的值域为.故答案为：.20．（2021·云南文山·高二期末（理））当时，函数的值域为___________．【答案】【解析】【分析】求出的取值范围，利用指数函数的性质可求得结果.【详解】因为，则，故.故答案为：.21．（2021·云南文山·高二期末（文））当，函数的值域为________．【答案】【解析】【分析】根据指数函数的单调性求解即得．【详解】当时，，∴，故函数的值域为．故答案为：．22．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】结合分式型，二次根号型函数的定义即可求解.【详解】由题知，，所以的定义域为，故答案为：.23．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为_________．【答案】【解析】【分析】设，结合求出的取值范围，进而求出的取值范围，即可求出函数的最大值.【详解】设，因为，所以当时，有最大值，当时，有最小值，即，所以，即的取值范围是，所以函数的最大值为，故答案为：.24．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）函数的值域为___________.【答案】【解析】【分析】利用函数的单调性分别求出在上、在上函数值集合，再求并集作答.【详解】依题意，在上单调递减，则当时，，在上单调递增，则当时，，所以函数的值域为.故答案为：25．（2018·湖南·宁乡市教育研究中心高三阶段练习（理））函数的定义域为___________【答案】【解析】【分析】利用根号的性质及指数单调性求解即可.【详解】由题，即，即，因为为单调递增函数，所以，即故答案为：26．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数的值域为______．【答案】【解析】【分析】先求得的取值范围，再利用指数函数的性质即得.【详解】由于，在上单调递减，所以，所以函数的值域为.故答案为：.27．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若，则t的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】探讨给定函数的单调性，再利用单调性解不等式作答.【详解】函数在上单调递增，且，当时取“=”，在上单调递增，，因此，函数在上R单调递增，而，则有，解得，所以t的取值范围是.故答案为：

B组能力提升28．（2021·全国·高一专题练习）（多选题）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ACD【解析】【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出a的值.【详解】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.故选：ACD.29．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）（多选题）下列函数是指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】【分析】根据指数函数的概念依次判断即可得答案.【详解】解：根据指数函数的定义，形如（且）的函数，其系数为，故A选项不满足形式；B选项的系数为；C选项，满足；D选项满足.故选：CD30．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）（多选题）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】【分析】依题意可得、两个数一个大于，一个大于且小于，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可；【详解】解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；故选：AC31．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知函数，则（

）A．任意，函数的值域为B．任意，函数都有零点C．任意，存在函数满足D．当时，任意【答案】BD【解析】【分析】画出分段函数图像，根据图像逐项分析即可得到结果【详解】设函数和的左右两交点坐标为，对于选项A，由图像可知，当时，的值域不为，故A错误对于选项B，由图像可知，无论a取何值，函数都有零点，故B正确对于选项C，当时，由图像可知所以不存在函数满足对于选项D，若，，因为为增函数，所以对于任意成立若，因为为增函数，所以对于任意成立当，不在同一区间时，因为，所以的图像在的图像的上方，所以也满足对于任意成立故D正确故选：BD32．（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）（多选题）已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（

）A．4 B．3 C． D．【答案】CD【解析】【分析】由已知结合指数函数，一次函数及分段函数单调性要求建立关于的不等式组，解不等式可求.【详解】解：因为是上的增函数，所以，解得.故选：CD.33．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）函数在下列哪些区间内单调递减（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】【分析】利用复合函数的单调性可知函数在上单调递减，由此可得到正确选项.【详解】由题意，函数在上单调递减，又由函数在上单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，结合选项，可得选项符合题意.故选：ACD.34．（2021·江西景德镇·高一期末）函（多选题）数的定义域为M，值域为N=[1，2]，下列结论一定正确的是（

）A．-1M B．1MC．M D．M【答案】ABCD【解析】【分析】先根据函数的值域求出定义域，进而作出判断.【详解】因为函数值域为，所以，即，即，即，所以，函数定义域为，ABCD均正确.故选：ABCD35．（2022·广东深圳·高一期末）已知函数是定义在上的奇函数.(1)若，求的值；(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出，从而得到的解析式，再解方程即可；（2）首先判断函数的单调性，结合奇偶性与单调性得到在上恒成立，参变分离可得，恒成立，根据二次函数的性质求出的最小值，即可得解；(1)解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，所以，即，则，符合题意，又，即，即，即，即，解得(2)解：因为，所以在定义域上单调递增，又是定义在上的奇函数，所以在恒成立，等价于在上恒成立，即在上恒成立，即，恒成立，令，，所以在上单调递增，在上单调递减，、，所以，所以，即；36．（2021·四川·德阳五中高一阶段练习）已知函数.(1)判断的奇偶性；(2)判断的单调性并证明；(3)若不等式在上有解，求的最大值.【答案】(1)奇函数(2)是上的增函数，证明见解析(3)【解析】【分析】（1）利用奇偶性定义直接判断即可；（2）令，可得，由单调性定义可得结论；（3）将不等式化为，令，由对勾函数单调性可求得，由此可得结论.(1)由题意知：定义域为，，为上的奇函数.(2)是上的增函数，证明如下：令，则；，，，，是上的增函数.(3)由得：；当时，，令，在上单调递增，，即，，则的最大值为.37．（2023·全国·高三专题练习）设a∈R，函数；(1)求a的值，使得f（x）为奇函数；(2)若对任意x∈R成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由奇函数性质可得a的值，然后验证奇偶性可得；（2）将恒成立问题转化为函数最值问题，通过分类讨论可解.(1)因为为奇函数，所以，可得因为，所以时为奇函数，所以(2)当时，恒成立，，，当时，恒成立，所以当时，恒成立，，显然不满足题意.综上所述，38．（2021·安徽宿州·高一期中）已知函数，集合．(1)当时，函数的最小值为，求实数的取值范围；(2)若，当时，求函数的最大值以及取到最大值时的取值．在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）令，，结合二次函数的对称轴求解即可；（2）选择条件后，根据的范围和对称轴求最大值即可.(1)由题知，令，，当时，函数的最小值为，等价于时函数的最小值为.易知二次函数的对称轴方程为且，故函数最小值为则要求，即.(2)选择①，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.选择②，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.选择③，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.39．（2021·全国·高一课前预习）（1）已知函数．①求函数的定义域、值域；②确定函数的单调区间．（2）画出函数的图象，并依据图象指出它的相关性质．【答案】（1）①定义为，值域为；②在上是减函数，在上是增函数；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）①利用二次函数、指数函数的性质求复合函数的定义域和值域，②根据指数型复合函数单调性判断函数的单调区间.（2）写出原函数的分段函数形式，根据指数函数的图象性质画出函数图象，结合图象确定它的单调性、定义域、值域、对称性等.【详解】（1）①设，由及的定义域都是，故函数的定义为．∵，∴，又，故原函数值域为．②函数在上增函数，即对任意且，有，而，即，所以原函数在上是减函数，同理：原函数在上是增函数.（2），图象和性质如下，①对称性：对称轴为；②单调性：在上单调递减，在上单调递增；③定义域为R，值域：.40．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知定义在上的奇函数，当时，函数解析式为．(1)求a的值，并求出在上的解析式；(2)若对任意的，总有，求实数t的取值范围．【答案】(1)-3，；(2).【解析】【分析】（1）由奇函数的性质有即可求参数a，再利用奇函数的性质求函数解析式即可.（2）由（1），应用换元法及二次函数的性质可知在上恒成立，将问题化为恒成立，求参数范围即可.(1)根据题意，是定义在上的奇函数，则有，当时，则，解得：，当时，，设，则，则，又为奇函数，所以，综上，，(2)由（1），时，，设，则，则原函数可化为：，由，知：在上恒成立，要使在上恒成立，只需，解得：，所以t的取值范围为．41．（2022·江西赣州·高一期末）已知函数的定义域是，且.(1)求函数的定义域和值域；(2)若函数对定义域内任意的实数，，，，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)定义域为，值域为(2)或【解析】【分析】（1）由题意可知函数的定义域为，所以且，再令，可得，再根据二次函数