高中数学高考31第五章 平面向量与复数 5 4 平面向量的综合应用

§5.4平面向量的综合应用最新考纲考情考向分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题平行向量基本定理a∥b⇔⇔，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔⇔，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题eq\o(→,\s\up7(设向量))向量问题eq\o(→,\s\up7(运算))解决向量问题eq\o(→,\s\up7(还原))解决几何问题.2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.

3.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).4.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.概念方法微思考1.根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？2.如何用向量解决平面几何问题？题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线.()(2)在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0，则△ABC为钝角三角形.()(3)若平面四边形ABCD满足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，则该四边形一定是菱形.()(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋t(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.()题组二教材改编2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形3.平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝4，则点P的轨迹方程是____________.4.在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________.5.在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，则该四边形的面积为________.6.已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为坐标原点，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值为________.题型一向量在平面几何中的应用例1(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq\f(π,4)，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.(2)在△ABC中，AB＝2AC＝6，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))2，点P是△ABC所在平面内一点，则当eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(PB,\s\up6(→))2＋eq\o(PC,\s\up6(→))2取得最小值时，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.跟踪训练1(1)已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝2eq\r(3)，AC＝2eq\r(2)，A为钝角，M是BC边的中点，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))等于()A.3B.4C.5D.6(2)(2018·乌海模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值为()A.1B.2C.－2D.－1题型二向量在解析几何中的应用例2(1)已知正三角形ABC的边长为2eq\r(3)，平面ABC内的动点P，M满足|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝1，eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，则|eq\o(BM,\s\up6(→))|2的最大值是()A.eq\f(43,4)B.eq\f(49,4)C.eq\f(37＋6\r(3),4)D.eq\f(37＋2\r(33),4)(2)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤20，则点P的横坐标的取值范围是________.跟踪训练2(2019·沈阳质检)已知圆C：x2＋y2－2x－2eq\r(3)y＋3＝0，点A(0，m)(m>0)，A，B两点关于x轴对称.若圆C上存在点M，使得eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))题型三向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用例3已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一个动点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范围是()A.[－1,0]B.[0,1]C.[1,3]D.[1,4]命题点2向量在解三角形中的应用例4(2019·赤峰模拟)在△ABC中，若|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，且eq\o(AB,\s\up6(→))·cosC＋eq\o(BC,\s\up6(→))·cosA＝eq\o(AC,\s\up6(→))·sinB.(1)求角B的大小；(2)求△ABC的面积.跟踪训练3在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosB，2cos2\f(C,2)－1))，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求∠C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，c＝2eq\r(3)，求△ABC的面积.1.在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，则△ABC的形状一定是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形2.在▱ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝6，N为DC的中点，eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A.48B.36C.24D.123.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心4.(2018·朝阳模拟)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋a·bx＋1在R上存在极值，则a和b夹角的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))5.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝48，则抛物线的方程为()A.y2＝8x B.y2＝4xC.y2＝16x D.y2＝4eq\r(2)x6.(2019·辽阳测试)在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,8λ)eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BQ,\s\up6(→))的最大值为()A.－2B.－eq\f(3,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(9,8)7.在菱形ABCD中，若AC＝4，则eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝________.8.已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________.9.如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量eq\o(AB,\s\up6(→))在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范围是________.10.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且eq\o(FM,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，则|NT|＝________.11.已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(－1,2)，点C在第二象限，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为eq\f(π,4)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2.(1)求点D的坐标；(2)当m为何值时，eq\o(AC,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))垂直.12.已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝(eq\r(3)，cosA＋1)，n＝(sinA，－1)，m⊥n.(1)求角A