第4章-控制系统的特性分析课件

第4章控制系统的特性分析第4章控制系统的特性分析1主要介绍控制系统稳定性能控能观性分析方法主要介绍控制系统2对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的4．1稳定性分析连续系统的稳定性根据闭环极点在s平面内的位置予以确定。如果一个连续系统的闭环极点都位于左半s平面，则该系统是稳定的离散系统的稳定性根据闭环极点在z平面的位置予以确定。如果一个离散系统的闭环极点都位于z平面的单位圆内，则该系统是稳定的对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的4．1稳定3以往在分析系统的稳定性时，在特征方程不易求根的情况下，常采用间接的方法来判定系统的稳定性，如利用Routh和Hurwize稳定判据判定系统稳定性。随着MATLAB这样具有强大科学计算功能的语言的出现，利用MATLAB直接对特征方程求根判定系统稳定性已变的轻而易举。4．1．1直接求根判定系统稳定性以往在分析系统的稳定性时，在特征方程不易求根的情况下，常采用4例4-1已知单位负反馈系统的开环传递函数为试判定系统的稳定性。MATLAB程序如下：

例4-1已知单位负反馈系统的开环传递函数为试判定系统的稳定5numo=[00001]deno=[23154]numc=numodenc=numo+deno[z,p]=tf2zp(numc,denc)ii=find(real(p)>0)n=length(ii)if(n>0),disp('systemisunstable')else,disp('systemisstable')end%求特征方程%求闭环极点实部大于0的个数numo=[00001]%求特征方程%求闭环极点实部6运行程序，得到结果：systemisunstable说明1)在命令窗口可看到z=Emptymatrix:0-by-1p=0.5230+1.1591i0.5230-1.1591i-1.5460-1.0000得知：有两个极点位于右半s平面运行程序，得到结果：systemisunstable说明72）利用MATLAB语句还可以得到系统的不稳定极点：0.5230+1.1591i0.5230-1.1591idisp(‘theunstablepolesare:')disp(p(ii))运行得到结果：theunstablepolesare:2）利用MATLAB语句还可以得到系统的0.5230+8例4-2已知一个离散控制系统的闭环传递函数为试判定系统的稳定性。例4-2已知一个离散控制系统的闭环传递函数为试判定系统的稳9num=[21.561]den=[51.4-1.30.68][z,p]=tf2zp(num,den)ii=find(abs(p)>1)n=length(ii)if(n>0),disp('systemisunstable')else,disp('systemisstable')endMATLAB程序如下：

num=[21.561]MATLAB程序如下：10运行程序，得到结果：systemisstable说明在命令窗口可看到z=-0.3900+0.5898i-0.3900-0.5898ip=-0.80910.2645+0.3132i0.2645-0.3132i运行程序，得到结果：systemisstable说明在命11所谓最小相位系统对连续系统来说，除了系统本身是稳定的，系统的所有零点还都必须位于左半s平面；对离散系统来说，除了系统本身是稳定的，系统的所有零点还都必须位于z平面的单位圆内。很明显，利用MATLAB对稳定系统的零点情况进行分析即可判定系统是否为最小相位系统利用MATLAB直接求系统零点、极点的判定方法除了可以判定系统的稳定性外，同时还可以判定系统是否为最小相位系统。所谓最小相位系统利用MATLAB直接求系统零点、极点的判定方12考虑例4-2给出的稳定系统，输入下面的MATLAB语句判定系统是否为最小相位系统mm=find(abs(z)>1)nn=length(mm)if(nn>0),disp('systemisanonminimalphaseone')else,disp('systemisaminimalphaseone')endsystemisaminimalphaseone运行得到结果：考虑例4-2给出的稳定系统，输入下面的MATLAB语句判定系13在MATLAB中，可以利用相关函数形象的绘制出连续（离散）系统的零点、极点图，从而判定系统的稳定性4．1．2绘制系统零点、极点图判定稳定性在MATLAB中，可以利用相关函数形象的绘制出连续（离散）系14考虑例4-1，可输入以下MATLAB语句来绘制连续系统的零点、极点图MATLAB程序如下：

numo=[00001]deno=[23154]numc=numodenc=numo+denopzmap(numc,denc)考虑例4-1，可输入以下MATLAB语句来绘制连续系统的零点15由图可看出，有两个极点位于右半s平面，所以很容易判定此连续系统是不稳定的由图可看出，有两个极点位于右半s平面，所以很容易判定此连续系16考虑例4-2，可输入以下MATLAB语句来绘制离散系统的零点、极点图MATLAB程序如下：

num=[21.561]den=[51.4-1.30.68]zplane(num,den)考虑例4-2，可输入以下MATLAB语句来绘制离散系统的零点17由图可看出，此离散系统的零点、极点都位于z平面的单位圆内，所以可判定此此系统为最小相位系统由图可看出，此离散系统的零点、极点都位于z平面的单位圆内，所18线性定常系统，因为只有唯一的一个平衡点，所以我们可以笼统地讲系统的稳定性问题。4．1．3Lyapunov稳定性判据早在1892年，Lyapunov就提出了一种可普遍适用于线性、非线性系统稳定性分析的方法。稳定性是相对于某个平衡状态而言的。对于其他类型系统则有可能存在多个平衡点，不同平衡点有可能表现出不同的稳定性，因此必须分别加以讨论。线性定常系统，因为只有唯一的一个平衡点，所以我们可以笼统地讲19对于线性定常系统，Lyapunov稳定性判据基于以下定理：如果对任意给定的正定实对称矩阵W，均存在正定矩阵V满足下面的方程则称系统是稳定的，此方程称为Lyapunov方程设线性定常系统对于线性定常系统，Lyapunov稳定性判据基于以下定理：如20MATLAB中，Lyapunov方程可以由控制系统工具箱中提供的lyap（）函数求解，调用格式为：V=lyap（A，W）MATLAB中，Lyapunov方程可以由控制系统工具箱中提21例4-3已知系统的状态方程为试分析系统的稳定性例4-3已知系统的状态方程为试分析系统的稳定性22MATLAB程序如下：

A=[2.25-5-1.25-0.5;2.25-4.25-1.25-0.25;0.25-0.5-1.25-1;1.25-1.75-0.25-0.75]W=diag([1111])V=lyap(A,W)det1=det(V(1,1))det2=det(V([1:2],[1:2]))det3=det(V([1:3],[1:3]))det4=det(V([1:4],[1:4]))%生成矩阵V%判定矩阵V是否正定MATLAB程序如下：A=[2.25-5-1.2523运行程序，得到结果：det1=5.8617det2=2.7780det3=1.9008det4=1.2124说明矩阵V是正定的，系统稳定运行程序，得到结果：det1=说明矩阵V是正定的，系24能控性分析是系统输入对状态的控制能力能观性分析是系统输出对状态的反映能力4.2能控能观性分析系统能控性和能观性这两个重要概念，是Kalman于1960年首先提出来的，它是设计控制器和状态观测器的基础。能控性分析是系统输入对状态的控制能力4.2能控能观性分析25对n阶线性定常连续系统4．2．1能控能观性判别其能控的充要条件为：能控性矩阵满秩，即其能观的充要条件为：能观性矩阵

满秩，即对离散系统，能控性和能观性有上述类似结论对n阶线性定常连续系统4．2．1能控能观性判别其能控的充要26例4-4已知系统的状态空间表达式为试判定系统的能控性和能观性例4-4已知系统的状态空间表达式为试判定系统的能控性和能观27MATLAB程序如下：A=[06-5;102;324]B=[5;1;5]C=[112]Qc=ctrb(A,B)n=rank(Qc)if(n==3),disp('systemiscontrollable')else,disp('systemisuncontrollable')endQo=obsv(A,C)m=rank(Qo)if(m==3),disp('systemisobservable')else,disp('systemisunobservable')endMATLAB程序如下：A=[06-5;102;328运行程序，得到结果：systemiscontrollablesystemisobservable运行程序，得到结果：systemiscontrollab29对系统的状态空间描述，经常由于状态变量选择的非唯一性，得到的状态空间表达式不唯一。在实际应用中，我们可根据所研究的问题选取相应的状态表达形式。将状态空间表达式化成对角线标准型或约旦标准型，对系统能控性和能观性的分析将十分方便对系统的状态空间描述，经常由于状态变量选择的非唯一性，得到的30对于系统的状态反馈则将状态空间表达式化成能控标准型是比较方便的；对系统状态观测器的设计及系统辨识，则将系统状态空间表达式化成能观标准型研究起来比较方便。对于系统的状态反馈则将状态空间表达式化成能控标准型是比较方便31系统能控充要条件为：控制矩阵B中没有元素全为零的行；系统能观的充要条件为：输出矩阵C中没有元素全为零的列。若系统状态空间表达式为对角线标准型系统能控充要条件为：若系统状态空间表达式为对角线标准型32系统能控充要条件为：控制矩阵B中与每个约旦块最后一行相对应的行，其元素不全为零；系统能观的充要条件为：输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列，其元不素全为零。若系统状态空间表达式为对约旦标准型系统能控充要条件为：若系统状态空间表达式为对约旦标准型33MATLAB中，提供了可将连续或离散系统状态表达式化为对角线标准型或约旦标准型的jordan()函数。

调用格式为：[v,j]=jordan(A)其中，v为化A为对角线或约旦标准型的非奇异变换矩阵；j为所得的对角线或约旦标准型；j=inv(v)*A*v（MATLAB中j=inv(v)为矩阵v的逆）可通过所得的对角线或约旦标准型中的矩阵BB=inv(v)*BCB=C*v来判定系统的能控性和能观性。MATLAB中，提供了可将连续或离散系统状态表达式化为对角线34试判定系统的能控性和能观性例4-5已知系统的状态空间表达式为试判定系统的能控性和能观性例4-5已知系统的状态空间表达式35A=[01-1;-6-116;-6-115]B=[0;0;1]C=[100][v,j]=jordan(A)BB=inv(v)*BCB=C*vMATLAB程序如下：A=[01-1;-6-116;-6-115]MA36运行程序，得到结果：v=1-336-609-123j=-3000-2000-1BB=-1.0000-1.0000-0.6667CB=1-33说明根据系统为对角线标准型时系统能控性和能观性的充要条件：系统既能控又能观运行程序，得到结果：v=说明根据系统为对角线标准型时系统能37矩阵A化成了对角线标准型是因为矩阵A是特征值互异。若系统矩阵A的特征值有重根，则可将系统化为约旦标准型，来判定系统的能控性和能观性矩阵A化成了对角线标准型是因为矩阵A是特征值互异。若38例4-6已知系统的状态空间表达式为

试判定系统的能控性和能观性例4-6已知系统的状态空间表达式为试判定系统的能控性和能39A=[010;001;230]B=[0;0;1]C=[100][v,j]=jordan(A)BB=inv(v)*BCB=C*vMATLAB程序如下：A=[010;001;230]MATLAB程序40运行程序，得到结果：v=0.11110.66670.88890.2222-0.6667-0.22220.44440.6667-0.4444j=2000-1100-1BB=1.00000.5000-0.5000CB=0.11110.66670.8889根据系统为约旦标准型时系统能控性和能观性的充要条件：系统既能控又能观说明运行程序，得到结果：v=根据系统为约旦标准型时系统能控性和414．2．2能控性和能观性的对偶关系

能控性和能观性之间存在着对偶关系，Kalman提出的对偶原理阐明了它们之间的这种关系考虑由下列方程描述的系统

若满足下述条件：则称系统、互为对偶4．2．2能控性和能观性的对偶关系能控性和能观性之间存在42若系统是状态完全能控的（完全能观的），则其对偶系统是状态完全能观的（完全能控的）。即系统的能控性等价于其对偶系统的能观性系统的能观性等价于其对偶系统的能控性。Kalman提出的对偶原理说明：利用对偶关系可以把系统能控性的分析转化为对其对偶系统的能观性若系统是状态完全能控的（完全能观的），则其对偶系统43如果一个系统状态不是完全能控或能观，我们可以将系统的状态空间按能控性和能观性进行结构分解。这是状态空间分析中的一个重要内容，它为最小实现问题的提出提供了理论依据。4．2．3系统的结构分解如果一个系统状态不是完全能控或能观，我们可以将系统的状态空间44的能控性矩阵的秩小于n，则存在一个相似变换，可将系统（A，B，C）进行能控与不能控分解，使得到的系统新状态空间表达式为如果n阶系统其中构成了系统的能观子空间。的能控性矩阵的秩小于n，则存在一个相似变换，如果n阶系统其中45MATLAB中，提供了将系统进行能控与不能控分解的函数ctrbf()调用格式为[AB，BB，CB，T，K]=ctrbf（A，B，C）其中A，B，C分别为系统原状态空间表达式中的各矩阵；AB，BB，CB分别对应于能控与不能控分解后的系统状态空间表达式中的各相应矩阵；T为相似变换；K是长度为n的一个向量MATLAB中，提供了将系统进行能控与不能控分解的函46的能观性矩阵的秩小于n，则存在一个相似变换，可将系统（A，B，C）进行能观与不能观分解，使得到的系统新状态空间表达式为如果n阶系统其中构成了系统的能观子空间。的能观性矩阵的秩小于n，则存在一个相似变换，如果n阶系统其中47MATLAB中，提供了将系统进行能观与不能观分解的函数obsvf()调用格式为[AB，BB，CB，T，K]=obsvf（A，B，C）其中A，B，C分别为系统原状态空间表达式中的各矩阵；AB，BB，CB分别对应于能观与不能观分解后的系统状态空间表达式中的各相应矩阵；T为相似变换；K是长度为n的一个向量MATLAB中，提供了将系统进行能观与不能观分解的函48例4-7已知系统的状态空间表达式为试对系统进行能控与不能控分解和能观与不能观分解。例4-7已知系统的状态空间表达式为试对系统进行能控与不能控49MATLAB程序如下：A=[12-1;010;0-43]B=[0;1;1]C=[1-11]Qc=ctrb(A,B)n=rank(Qc)if(n<3)[AB,BB,CB,T,K]=ctrbf(A,B,C)endQo=obsv(A,C)n1=rank(Qo)if(n1<3)[AB1,BB1,CB1,T1,K1]=obsvf(A,B,C)endMATLAB程序如下：A=[12-1;010;050运行程序，得到结果：n=2AB=1.0000-0.0000-0.00002.12134.0000-1.22471.73212.44950BB=0.0000-0.0000-1.4142CB=-1.6330-0.57740T=-0.81650.4082-0.40820.57740.5774-0.57740-0.7071-0.7071K=110运行程序，n=51运行程序，得到结果(续)：n1=2AB1=1.0000-2.8868-3.5355-0.00002.00001.2247-0.00000.81652.0000BB1=1.22470.70710CB1=00-1.7321T1=-0.40820.40820.81650.70710.70710.0000-0.57740.5774-0.5774K1=110运行程序，n1=52系统分解成两部分：一部分是二维能控子系统，一部分是一维不能控子系统故，系统按能控与不能控分解后的新的状态空间表达式为系统分解成两部分：故，系统按能控与不能控分解后的新的状态空间53系统按能观与不能观分解后的新的状态空间表达式为系统分解成两部分：一部分是二维能观子系统一部分是一维不能观子系统系统按能观与不能观分解后的新的状态空间表达式为系统分解成两部544．2．4状态空间表达式的能控标准型和能观标准型将状态空间表达式化为能控标准型（能观标准型）的理论依据是状态的非奇异变换并不改变系统的能控性（能观性）。由于将系统化为能控标准型或能观标准型对研究系统的状态反馈、系统状态观测器的设计及系统辨识都十分方便，所以在实际应用中。经常根据所研究问题的需要，将系统的状态空间表达式化为能控标准型或能观标准型4．2．4状态空间表达式的能控标准型和能观标准型将状态空间55系统状态完全能控，则必然存在一个非奇异变换矩阵T 通过线性变换，可将系统变为能控标准型实现

若单变量系统状态完全能控，则必然存在一个非奇异变换矩阵T 通过线性变56设变换后的系统能控标准型方程由给出，则矩阵具有下述形式设变换后的系统能控标准型方程由给出，则矩阵57其中，矩阵和变换矩阵中的为特征多项式（i=1，2，…，n）

的各项系数矩阵中的（i=0，1，2，…，n-1）

是相乘的结果其中，矩阵和变换矩阵中的（i=1，2，…，58系统状态完全能观，则必然存在一个非奇异变换矩阵 通过线性变换，可将系统变为能观标准型实现

若单变量系统状态完全能观，则必然存在一个非奇异变换矩阵 通过线性变换59设变换后的系统能观标准型方程由给出，则矩阵具有下述形式设变换后的系统能观标准型方程由给出，则矩阵60其中，矩阵和变换矩阵中的为特征多项式（i=1，2，…，n）

的各项系数矩阵中的（i=0，1，2，…，n-1）

是相乘的结果nnnnaaaAI++++=---llll111L其中，矩阵和变换矩阵中的（i=1，2，…，61例4-8考虑以下所述系统判断其能控性和能观性，若系统完全能控和能观，试将上述系统分别转化为能控标准型和能观标准型。例4-8考虑以下所述系统判断其能控性和能观性，若系统完全能62MATLAB程序如下：A=[120;3-11;0-22]B=[0;0;1]C=[1-11]Qc=ctrb(A,B)n=rank(Qc)if(n==3),disp('systemiscontrollable')else,disp('systemisuncontrollable')endQo=obsv(A,C)m=rank(Qo)if(n==3),disp('systemisobservable')else,disp('systemisunobservable')endMATLAB程序如下：A=[120;3-11;063运行程序，得到结果：systemiscontrollablesystemisobservable运行程序，得到结果：systemiscontrollab64MATLAB程序如下（续）：j=poly(A)a1=j(2)a2=j(3)a3=j(4)Tc=Qc*[a2a11;a110;100]Ac=inv(Tc)*A*TcBc=inv(Tc)*BCc=C*TcTo=inv([a2a11;a110;100]*Qo)Ao=inv(To)*A*ToBo=inv(To)*BCo=C*ToMATLAB程序如下（续）：j=poly(A)65运行程序，得到结果：Ac=-0.00001.00000-0.00000.00001.0000-12.00005.00002.0000Bc=00.00001.0000Cc=-4.0000-1.00001.0000Ao=-0.0000-0.0000-12.00001.00000.00005.00000.00001.00002.0000Bo=-4.0000-1.00001.0000Co=-0.0000-0.00001.0000即得到系统能控标准型和能观标准型的各系数矩阵运行程序，得到结果：Ac=Ao=即得到系统能控标准型和能66系统转化后的能控标准型状态空间表达式为其能观标准型状态空间表达式为系统转化后的能控标准型状态空间表达式为其能观标准型状态空间表674．2．5能控性和能观性与传递函数之间的关系单变量系统状态完全能控和能观的条件也可用传递函数描述。若单变量系统为则状态完全能控和能观的充要条件为系统输入和输出的传递函数：不出现零点、极点相约现象。4．2．5能控性和能观性与传递函数之间的关系单变量系统状态68例4-9考虑如下系统试求系统的传递函数。例4-9考虑如下系统试求系统的传递函数。69MATLAB程序如下：A=[-22-1;0-20;1-40]B=[0;1;1]C=[1-11]D=[0]G=zpk(ss(A,B,C,D))MATLAB程序如下：A=[-22-1;0-20;70运行程序，得到结果：Zero/pole/gain:-(s+1)-------------(s+1)^2(s+2)说明出现了s=-1的零点、极点相约现象，因此，系统是状态不完全能控或能观的，或既不完全能控又不完全能观。运行程序，得到结果：Zero/pole/gain:说明出现了71用MATLAB程序加以验证，程序如下Qc=ctrb(A,B)n=rank(Qc)Qo=obsv(A,C)m=rank(Qo)运行程序，得到结果：n=3m=2说明从结果可以看出：系统能控不能观，验证了上述结论用MATLAB程序加以验证，程序如下Qc=ctrb(A,B)72系统传递函数只能反映系统中能控和能观子系统的行为：若求得的系统传递函数分母的最高阶次等于系统的状态变量个数，则系统状态是完全能控能观；若求得的系统传递函数分母的最高阶次小于系统的状态变量个数，则系统状态是不完全能控或能观的，或既不完全能控又不完全能观。说明系统传递函数只能反映系统中能控和能观子系统的行为：说明73第4章控制系统的特性分析第4章控制系统的特性分析74主要介绍控制系统稳定性能控能观性分析方法主要介绍控制系统75对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的4．1稳定性分析连续系统的稳定性根据闭环极点在s平面内的位置予以确定。如果一个连续系统的闭环极点都位于左半s平面，则该系统是稳定的离散系统的稳定性根据闭环极点在z平面的位置予以确定。如果一个离散系统的闭环极点都位于z平面的单位圆内，则该系统是稳定的对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的4．1稳定76以往在分析系统的稳定性时，在特征方程不易求根的情况下，常采用间接的方法来判定系统的稳定性，如利用Routh和Hurwize稳定判据判定系统稳定性。随着MATLAB这样具有强大科学计算功能的语言的出现，利用MATLAB直接对特征方程求根判定系统稳定性已变的轻而易举。4．1．1直接求根判定系统稳定性以往在分析系统的稳定性时，在特征方程不易求根的情况下，常采用77例4-1已知单位负反馈系统的开环传递函数为试判定系统的稳定性。MATLAB程序如下：

例4-1已知单位负反馈系统的开环传递函数为试判定系统的稳定78numo=[00001]deno=[23154]numc=numodenc=numo+deno[z,p]=tf2zp(numc,denc)ii=find(real(p)>0)n=length(ii)if(n>0),disp('systemisunstable')else,disp('systemisstable')end%求特征方程%求闭环极点实部大于0的个数numo=[00001]%求特征方程%求闭环极点实部79运行程序，得到结果：systemisunstable说明1)在命令窗口可看到z=Emptymatrix:0-by-1p=0.5230+1.1591i0.5230-1.1591i-1.5460-1.0000得知：有两个极点位于右半s平面运行程序，得到结果：systemisunstable说明802）利用MATLAB语句还可以得到系统的不稳定极点：0.5230+1.1591i0.5230-1.1591idisp(‘theunstablepolesare:')disp(p(ii))运行得到结果：theunstablepolesare:2）利用MATLAB语句还可以得到系统的0.5230+81例4-2已知一个离散控制系统的闭环传递函数为试判定系统的稳定性。例4-2已知一个离散控制系统的闭环传递函数为试判定系统的稳82num=[21.561]den=[51.4-1.30.68][z,p]=tf2zp(num,den)ii=find(abs(p)>1)n=length(ii)if(n>0),disp('systemisunstable')else,disp('systemisstable')endMATLAB程序如下：

num=[21.561]MATLAB程序如下：83运行程序，得到结果：systemisstable说明在命令窗口可看到z=-0.3900+0.5898i-0.3900-0.5898ip=-0.80910.2645+0.3132i0.2645-0.3132i运行程序，得到结果：systemisstable说明在命84所谓最小相位系统对连续系统来说，除了系统本身是稳定的，系统的所有零点还都必须位于左半s平面；对离散系统来说，除了系统本身是稳定的，系统的所有零点还都必须位于z平面的单位圆内。很明显，利用MATLAB对稳定系统的零点情况进行分析即可判定系统是否为最小相位系统利用MATLAB直接求系统零点、极点的判定方法除了可以判定系统的稳定性外，同时还可以判定系统是否为最小相位系统。所谓最小相位系统利用MATLAB直接求系统零点、极点的判定方85考虑例4-2给出的稳定系统，输入下面的MATLAB语句判定系统是否为最小相位系统mm=find(abs(z)>1)nn=length(mm)if(nn>0),disp('systemisanonminimalphaseone')else,disp('systemisaminimalphaseone')endsystemisaminimalphaseone运行得到结果：考虑例4-2给出的稳定系统，输入下面的MATLAB语句判定系86在MATLAB中，可以利用相关函数形象的绘制出连续（离散）系统的零点、极点图，从而判定系统的稳定性4．1．2绘制系统零点、极点图判定稳定性在MATLAB中，可以利用相关函数形象的绘制出连续（离散）系87考虑例4-1，可输入以下MATLAB语句来绘制连续系统的零点、极点图MATLAB程序如下：

numo=[00001]deno=[23154]numc=numodenc=numo+denopzmap(numc,denc)考虑例4-1，可输入以下MATLAB语句来绘制连续系统的零点88由图可看出，有两个极点位于右半s平面，所以很容易判定此连续系统是不稳定的由图可看出，有两个极点位于右半s平面，所以很容易判定此连续系89考虑例4-2，可输入以下MATLAB语句来绘制离散系统的零点、极点图MATLAB程序如下：

num=[21.561]den=[51.4-1.30.68]zplane(num,den)考虑例4-2，可输入以下MATLAB语句来绘制离散系统的零点90由图可看出，此离散系统的零点、极点都位于z平面的单位圆内，所以可判定此此系统为最小相位系统由图可看出，此离散系统的零点、极点都位于z平面的单位圆内，所91线性定常系统，因为只有唯一的一个平衡点，所以我们可以笼统地讲系统的稳定性问题。4．1．3Lyapunov稳定性判据早在1892年，Lyapunov就提出了一种可普遍适用于线性、非线性系统稳定性分析的方法。稳定性是相对于某个平衡状态而言的。对于其他类型系统则有可能存在多个平衡点，不同平衡点有可能表现出不同的稳定性，因此必须分别加以讨论。线性定常系统，因为只有唯一的一个平衡点，所以我们可以笼统地讲92对于线性定常系统，Lyapunov稳定性判据基于以下定理：如果对任意给定的正定实对称矩阵W，均存在正定矩阵V满足下面的方程则称系统是稳定的，此方程称为Lyapunov方程设线性定常系统对于线性定常系统，Lyapunov稳定性判据基于以下定理：如93MATLAB中，Lyapunov方程可以由控制系统工具箱中提供的lyap（）函数求解，调用格式为：V=lyap（A，W）MATLAB中，Lyapunov方程可以由控制系统工具箱中提94例4-3已知系统的状态方程为试分析系统的稳定性例4-3已知系统的状态方程为试分析系统的稳定性95MATLAB程序如下：

A=[2.25-5-1.25-0.5;2.25-4.25-1.25-0.25;0.25-0.5-1.25-1;1.25-1.75-0.25-0.75]W=diag([1111])V=lyap(A,W)det1=det(V(1,1))det2=det(V([1:2],[1:2]))det3=det(V([1:3],[1:3]))det4=det(V([1:4],[1:4]))%生成矩阵V%判定矩阵V是否正定MATLAB程序如下：A=[2.25-5-1.2596运行程序，得到结果：det1=5.8617det2=2.7780det3=1.9008det4=1.2124说明矩阵V是正定的，系统稳定运行程序，得到结果：det1=说明矩阵V是正定的，系97能控性分析是系统输入对状态的控制能力能观性分析是系统输出对状态的反映能力4.2能控能观性分析系统能控性和能观性这两个重要概念，是Kalman于1960年首先提出来的，它是设计控制器和状态观测器的基础。能控性分析是系统输入对状态的控制能力4.2能控能观性分析98对n阶线性定常连续系统4．2．1能控能观性判别其能控的充要条件为：能控性矩阵满秩，即其能观的充要条件为：能观性矩阵

满秩，即对离散系统，能控性和能观性有上述类似结论对n阶线性定常连续系统4．2．1能控能观性判别其能控的充要99例4-4已知系统的状态空间表达式为试判定系统的能控性和能观性例4-4已知系统的状态空间表达式为试判定系统的能控性和能观100MATLAB程序如下：A=[06-5;102;324]B=[5;1;5]C=[112]Qc=ctrb(A,B)n=rank(Qc)if(n==3),disp('systemiscontrollable')else,disp('systemisuncontrollable')endQo=obsv(A,C)m=rank(Qo)if(m==3),disp('systemisobservable')else,disp('systemisunobservable')endMATLAB程序如下：A=[06-5;102;3101运行程序，得到结果：systemiscontrollablesystemisobservable运行程序，得到结果：systemiscontrollab102对系统的状态空间描述，经常由于状态变量选择的非唯一性，得到的状态空间表达式不唯一。在实际应用中，我们可根据所研究的问题选取相应的状态表达形式。将状态空间表达式化成对角线标准型或约旦标准型，对系统能控性和能观性的分析将十分方便对系统的状态空间描述，经常由于状态变量选择的非唯一性，得到的103对于系统的状态反馈则将状态空间表达式化成能控标准型是比较方便的；对系统状态观测器的设计及系统辨识，则将系统状态空间表达式化成能观标准型研究起来比较方便。对于系统的状态反馈则将状态空间表达式化成能控标准型是比较方便104系统能控充要条件为：控制矩阵B中没有元素全为零的行；系统能观的充要条件为：输出矩阵C中没有元素全为零的列。若系统状态空间表达式为对角线标准型系统能控充要条件为：若系统状态空间表达式为对角线标准型105系统能控充要条件为：控制矩阵B中与每个约旦块最后一行相对应的行，其元素不全为零；系统能观的充要条件为：输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列，其元不素全为零。若系统状态空间表达式为对约旦标准型系统能控充要条件为：若系统状态空间表达式为对约旦标准型106MATLAB中，提供了可将连续或离散系统状态表达式化为对角线标准型或约旦标准型的jordan()函数。

调用格式为：[v,j]=jordan(A)其中，v为化A为对角线或约旦标准型的非奇异变换矩阵；j为所得的对角线或约旦标准型；j=inv(v)*A*v（MATLAB中j=inv(v)为矩阵v的逆）可通过所得的对角线或约旦标准型中的矩阵BB=inv(v)*BCB=C*v来判定系统的能控性和能观性。MATLAB中，提供了可将连续或离散系统状态表达式化为对角线107试判定系统的能控性和能观性例4-5已知系统的状态空间表达式为试判定系统的能控性和能观性例4-5已知系统的状态空间表达式108A=[01-1;-6-116;-6-115]B=[0;0;1]C=[100][v,j]=jordan(A)BB=inv(v)*BCB=C*vMATLAB程序如下：A=[01-1;-6-116;-6-115]MA109运行程序，得到结果：v=1-336-609-123j=-3000-2000-1BB=-1.0000-1.0000-0.6667CB=1-33说明根据系统为对角线标准型时系统能控性和能观性的充要条件：系统既能控又能观运行程序，得到结果：v=说明根据系统为对角线标准型时系统能110矩阵A化成了对角线标准型是因为矩阵A是特征值互异。若系统矩阵A的特征值有重根，则可将系统化为约旦标准型，来判定系统的能控性和能观性矩阵A化成了对角线标准型是因为矩阵A是特征值互异。若111例4-6已知系统的状态空间表达式为

试判定系统的能控性和能观性例4-6已知系统的状态空间表达式为试判定系统的能控性和能112A=[010;001;230]B=[0;0;1]C=[100][v,j]=jordan(A)BB=inv(v)*BCB=C*vMATLAB程序如下：A=[010;001;230]MATLAB程序113运行程序，得到结果：v=0.11110.66670.88890.2222-0.6667-0.22220.44440.6667-0.4444j=2000-1100-1BB=1.00000.5000-0.5000CB=0.11110.66670.8889根据系统为约旦标准型时系统能控性和能观性的充要条件：系统既能控又能观说明运行程序，得到结果：v=根据系统为约旦标准型时系统能控性和1144．2．2能控性和能观性的对偶关系

能控性和能观性之间存在着对偶关系，Kalman提出的对偶原理阐明了它们之间的这种关系考虑由下列方程描述的系统

若满足下述条件：则称系统、互为对偶4．2．2能控性和能观性的对偶关系能控性和能观性之间存在115若系统是状态完全能控的（完全能观的），则其对偶系统是状态完全能观的（完全能控的）。即系统的能控性等价于其对偶系统的能观性系统的能观性等价于其对偶系统的能控性。Kalman提出的对偶原理说明：利用对偶关系可以把系统能控性的分析转化为对其对偶系统的能观性若系统是状态完全能控的（完全能观的），则其对偶系统116如果一个系统状态不是完全能控或能观，我们可以将系统的状态空间按能控性和能观性进行结构分解。这是状态空间分析中的一个重要内容，它为最小实现问题的提出提供了理论依据。4．2．3系统的结构分解如果一个系统状态不是完全能控或能观，我们可以将系统的状态空间117的能控性矩阵的秩小于n，则存在一个相似变换，可将系统（A，B，C）进行能控与不能控分解，使得到的系统新状态空间表达式为如果n阶系统其中构成了系统的能观子空间。的能控性矩阵的秩小于n，则存在一个相似变换，如果n阶系统其中118MATLAB中，提供了将系统进行能控与不能控分解的函数ctrbf()调用格式为[AB，BB，CB，T，K]=ctrbf（A，B，C）其中A，B，C分别为系统原状态空间表达式中的各矩阵；AB，BB，CB分别对应于能控与不能控分解后的系统状态空间表达式中的各相应矩阵；T为相似变换；K是长度为n的一个向量MATLAB中，提供了将系统进行能控与不能控分解的函119的能观性矩阵的秩小于n，则存在一个相似变换，可将系统（A，B，C）进行能观与不能观分解，使得到的系统新状态空间表达式为如果n阶系统其中构成了系统的能观子空间。的能观性矩阵的秩小于n，则存在一个相似变换，如果n阶系统其中120MATLAB中，提供了将系统进行能观与不能观分解的函数obsvf()调用格式为[AB，BB，CB，T，K]=obsvf（A，B，C）其中A，B，C分别为系统原状态空间表达式中的各矩阵；AB，BB，CB分别对应于能观与不能观分解后的系统状态空间表达式中的各相应矩阵；T为相似变换；K是长度为n的一个向量MATLAB中，提供了将系统进行能观与不能观分解的函121例4-7已知系统的状态空间表达式为试对系统进行能控与不能控分解和能观与不能观分解。例4-7已知系统的状态空间表达式为试对系统进行能控与不能控122MATLAB程序如下：A=[12-1;010;0-43]B=[0;1;1]C=[1-11]Qc=ctrb(A,B)n=rank(Qc)if(n<3)[AB,BB,CB,T,K]=ctrbf(A,B,C)endQo=obsv(A,C)n1=rank(Qo)if(n1<3)[AB1,BB1,CB1,T1,K1]=obsvf(A,B,C)endMATLAB程序如下：A=[12-1;010;0123运行程序，得到结果：n=2AB=1.0000-0.0000-0.00002.12134.0000-1.22471.73212.44950BB=0.0000-0.0000-1.4142CB=-1.6330-0.57740T=-0.81650.4082-0.40820.57740.5774-0.57740-0.7071-0.7071K=110运行程序，n=124运行程序，得到结果(续)：n1=2AB1=1.0000-2.8868-3.5355-0.00002.00001.2247-0.00000.81652.0000BB1=1.22470.70710CB1=00-1.7321T1=-0.40820.40820.81650.70710.70710.0000-0.57740.5774-0.5774K1=110运行程序，n1=125系统分解成两部分：一部分是二维能控子系统，一部分是一维不能控子系统故，系统按能控与不能控分解后的新的状态空间表达式为系统分解成两部分：故，系统按能控与不能控分解后的新的状态空间126系统按能观与不能观分解后的新的状态空间表达式为系统分解成两部分：一部分是二维能观子系统一部分是一维不能观子系统系统按能观与不能观分解后的新的状态空间表达式为系统分解成两部1274．2．4状态空间表达式的能控标准型和能观标准型将状态空间表达式化为能控标准型（能观标准型）的理论依据是状态的非奇异变换并不改变系统的能控性（能观性）。由于将系统化为能控标准型或能观标准型对研究系统的状态反馈、系统状态观测器的设计及系统辨识都十分方便，所以在实际应用中。经常根据所研究问题的需要，将系统的状态空间表达式化为能控标准型或能观标准型4．2．4状态空间表达式的能控标准型和能观标准型将状态空间128系统状态完全能控，则必然存在一个非奇异变换矩阵T 通过线性变换，可将系统变为能控标准型实现

若单变量系统状态完全能控，则必然存在一个非奇异变换矩阵T 通过线性变129设变换后的系统能控标准型方程由给出，则矩阵具有下述形式设变换后的系统能控标准型方程由给出，则矩阵130其中，矩阵和变换矩阵中的为特征多项式（i=1，2，…，n）

的各项系数矩阵中的（i=0，1，2，…，n-1）

是相乘的结果其中，矩阵和变换矩阵中的（i=1，2，…，131系统状态完全能观，则必然存在一个非奇异变换矩阵 通过线性变换，可将系统变为能观标准型实现

若单变量系统状态完全能观，则必然存在一个非奇异变换矩阵 通过线性变换132