第3章-31-32离散傅里叶变换(DFT)概要课件

3.1引言3.2周期序列的离散傅立叶级数3.3离散傅里叶变换的定义3.4离散傅里叶变换的基本性质3.5DFT、ZT、DTFT之间的关系3.6频率域采样3.7DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)3.1引言第3章离散傅里叶变换(DFT)2023/1/923.1引言1.FT：非周期连续时间信号的傅立叶变换

2.

FS:周期连续时间信号的傅立叶变换3.DTFT：非周期序列的傅立叶变换4.DFS：周期序列的离散傅立叶级数5.ZT：非周期序列的Z变换2023/1/923.1引言1.FT：非周期连续时间信号3.2周期序列的离散傅立叶级数(

DiscreteFourierSeries,DFS)1.定义设是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数(2-1-43)

式中ak是傅里叶级数的系数。3.2周期序列的离散傅立叶级数(DiscreteF

经证明：上式中，k和n均取整数，令：-∞<k<∞(2-1-47)

也是一个以N为周期的周期序列，称为的离散傅里叶级数，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。经证明：-∞<k<∞(2

(2-1-51)式和(2-1-52)式称为一对DFS(DiscreteFourierSeries:离散傅立叶级数)。

周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。(2-1-51)(2-1-52)(2-1-51)式和(2-1-52)式称为一对DF例2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到周期序列，周期为8，求的DFS。解：按照定义式例2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为

其幅度特性如图2.3.1(b)所示。

例2.3.1图其幅度特性如图2.3.3.3离散傅里叶变换（DFT）的定义3.3.1周期延拓与取主值运算任何周期为N的周期序列可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即：2023/1/983.3离散傅里叶变换（DFT）的定义3.3.1周期延2023/1/99

式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示n对N求余，即如果：

n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M为整数，则：((n))N=n1例如：x((10))8=x(1*8+2)

=x(2)x((-3))8=x((-1)*8+5)=x(5)2023/1/99式中x((n))N表示x(n)以N2023/1/910图3.1.2有限长序列及其周期延拓2023/1/910图3.1.2有限长序列及其周期3.3.2DFT的定义由于无限长周期序列只需要用主值序列

即可确定，并能够完全地表达出来，于是，只需要将DFS中的周期序列换成其对应的主值序列，表达式仍然成立2023/1/9113.3.2DFT的定义2023/1/9112023/1/912设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为X(k)的离散傅里叶逆变换为离散傅里叶变换对

式中，N称为DFT变换区间长度N≥M。2023/1/912设x(n)是一个长度为M的有限长序列，说明：1）DFT真正做到了计算机可以处理，即时域x(n)离散、有限长，频域X(k)离散、有限长;2）旋转因子的作用3）有限长序列的DFT与DFS的关系图示：2023/1/913DFT主值区域周期沿拓周期沿拓主值区域IDFTIDFSDFS说明：1）DFT真正做到了计算机可以处理，即时域x(n)离散4）x(n)和X(k)的隐含周期性DFT变换对公式中，由于WNkn的周期性，使X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有：2023/1/914所以(3.3.6)式中，X(k)满足：同理可证明(3.3.7)式中：

4）x(n)和X(k)的隐含周期性2023/1/914所以(2023/1/915

如果x(n)的长度为N，且，则可写出的离散傅里叶级数为：(3.1.8)(3.1.9)式中

(3.1.10)X(k)反映了x((n))N的频谱特性2023/1/915如果x(n)的长度为N，且2023/1/916

例3.3.2x(n)=R4(n)，求x(n)的4点、8点DFT、16点DFT

。

解：（1）设变换区间N=4，则2023/1/916例3.3.2x(n)=R4(2023/1/917设变换区间N=8，则：2023/1/917设变换区间N=8，则：2023/1/918图3.1.1R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系提高谱密度2023/1/918图3.1.1R4(n)的FT和DFT2023/1/9193.3.2DFT和DTFT、ZT的关系设序列x(n)的长度为N，其ZT、DTFT和DFT分别为：三式有什么关系？2023/1/9193.3.2DFT和DTFT、ZT的关2023/1/920比较上面三式可得ZT和DFT的关系：图3.1.1(a)X(k)与X(z)的关系2023/1/920比较上面三式可得ZT和DFT的关系：图2023/1/921图3.1.1(b)X(k)与X(ejω)的关系2023/1/921图3.1.1(b)X(k)与X2023/1/9223.3.4用MATLAB计算序列的DFT

MATLAB提供了用快速傅里叶变换算法FFT(算法见第4章介绍)计算DFT的函数fft，其调用格式如下:Xk=fft(xn,N)；xn为被变换的时域序列向量，N是DFT变换区间长度，一般地，N大于xn的长度。函数返回xn的N点DFT变换结果向量Xk。

Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同，可参考help文件。2023/1/9223.3.4用MATLAB计算序列的D2023/1/923

3.4离散傅里叶变换的基本性质

3.4.1线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2,且y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，即N=max［N1,N2］，则y(n)的N点DFT为：Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2(k),0≤k≤N-1(3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。2023/1/923

3.4离散傅里叶变换的基本性质

2023/1/924

3.4.2序列循环移位性质1.序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为：

y(n)=x((n+m))NRN(n)(3.2.2)周期沿拓左移m点取主值循环移位的实质是将x(n)左移m位，而移出主值区的序列值又依次从右侧进入主值区。2023/1/9243.4.2序列循环移位性质周期沿拓2023/1/925图3.2.1循环移位过程示意图2023/1/925图3.2.1循环移位过程示2023/1/926

2.时域循环移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即

y(n)=x((n+m))NRN(n)则

(3.2.3)其中X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1。2023/1/9262.时域循环移位定理2023/1/927证明：

令n+m=n′，则有在一个周期内求和2023/1/927证明：令n+m=n′，则有在一个周期2023/1/928

由于上式中求和项以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区间，则得：

2023/1/928由于上式中求和项对比记忆：循环时移：线性时移：2023/1/929时域移位，频域相移对比记忆：2023/1/929时域移位，频域相移2023/1/9303.频域循环移位定理如果：

则：频域循环移位：频域线性移位：频域移位，时域调制2023/1/9303.频域循环移位定理频域移位，时域调2023/1/9313.2.3循环卷积定理

时域循环卷积定理是DFT中最重要的定理，具有很强的实用性。已知系统输入和系统的单位脉冲响应，计算系统的输出，以及FIR滤波器用FFT实现等，都是基于该定理的。

1．两个有限长序列的循环卷积设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为： 2023/1/9313.2.3循环卷积定理2023/1/932式中，L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。上式显然与第1章介绍的线性卷积不同，为了区别线性卷积，用*表示线性卷积，用表示L点循环卷积，即yc(n)=h(n)

x(n)。观察（3.2.5）式，x((n－m))L是以L为周期的周期信号，n和m的变化区间均是［0,L－1］，因此直接计算该式比较麻烦。计算机中采用矩阵相乘或快速傅里叶变换（FFT）的方法计算循环卷积。不进位乘法2023/1/932式中，L称为循环卷积区间长度，L≥max2023/1/933

定义中，x(n)、h(n)、yc(n)长度均认为是L，不够长的补零。1o

n=0,m=0,1,…,L－1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成x(n)的循环倒相序列为序列x(n)进行对比，相当于将第一个序列值x(0)不动，将后面的序列反转180°再放在x(0)的后面。循环卷积的矩阵实现：2023/1/933定义中，x(n)、h(n)、yc(n2023/1/9342o令n=1,m=0,1,…,L-1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成的序列为3o再令n=2,m=0,1,…,L－1，此时得到的序列又是上面的序列向右循环移1位。。。。依次类推，当n和m均从0变化到L-1时，得到一个关于x((n－m)L的矩阵如下：2023/1/9342o令n=1,m=0,2023/1/935上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是:（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循环倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。则：2023/1/935上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵2023/1/936（3.2.7）按照上式，可以在计算机上用矩阵相乘的方法计算两个序列的循环卷积，这里关键是先形成循环卷积矩阵。上式中如果h(n)的长度N<L，则需要在h(n)末尾补L－N个零。2023/1/936（3.2.7）按照上式，可以在计算机上2023/1/937

【例3.2.1】计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。

解按照式（3.2.21）写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为2023/1/937【例3.2.1】计算下面给出的两2023/1/938h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为2023/1/938h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式2023/1/939h(n)和x(n)及其4点和8点循环卷积结果分别如图3.2.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。经验证本例的8点循环卷积结果等于h(n)与x(n)的线性卷积结果。后面将证明，当循环卷积区间长度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的长度时，循环卷积结果就等于线性卷积。2023/1/939h(n)和x(n)及其4点和8点循环卷积2023/1/940

图3.2.2序列及其循环卷积波形2023/1/940图3.2.2序列及其循环卷积波形2023/1/941

2.循环卷积定理

有限长序列x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2］，x1(n)和x2(n)的N点循环卷积为:

则x(n)的N点DFT为

其中（3.2.5）N

时域卷积，频域相乘时域循环卷积定理2023/1/9412.循环卷积定理（3.2.5）N2023/1/942

证明：

直接对(3.2.5)式两边进行DFT，则有2023/1/942证明：直接对(3.2.5)式两边2023/1/943令n－m=n′，则有因为上式中

是以N为周期的，所以对其在任一个周期上求和的结果不变。因此2023/1/943令n－m=n′，则有2023/1/944由于，因此即循环卷积亦满足交换律。

N

N

2023/1/944由于2023/1/945

作为习题请证明以下频域循环卷积定理:如果x(n)=x1(n)x2(n)，则(3.2.6)N

时域相乘，频域卷积2023/1/945作为习题请证明以下频域循环卷积定理:2023/1/946或

式中N

频域循环卷积定理2023/1/946或N频域循环卷积定理2023/1/9473.2.4复共轭序列的DFT

设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N，

X(k)=DFT［x(n)］则

DFT［x*(n)］=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.7)

且

X(N)=X(0)2023/1/9473.2.4复共轭序列的DFT2023/1/948证明：根据DFT的唯一性，只要证明(3.2.7)式右边等于左边即可。

又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0)

用同样的方法可以证明

DFT［x*(N-n)］=X*(k)(3.2.8)2023/1/948证明：根据DFT的唯一性，只要证明(2023/1/949

3.2.5DFT的共轭对称性

1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则二者满足如下定义式：

xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1(3.2.9)xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1(3.2.10)

当N为偶数时，将上式中的n换成N/2-n可得到:2023/1/9493.2.5DFT的共轭对称性2023/1/950图3.2.3共轭对称与共轭反对称序列示意图（N为偶数）注意：DTFT的对称性-----x(n)无限长----关于原点对称DFT的对称性----x(n)有限长----关于N/2点对称2023/1/950图3.2.3共轭对称与共轭反对称2023/1/951(3.2.14)任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即:其中，2023/1/951(3.2.14)任何有限长序列x(n)2023/1/952

2．DFT的共轭对称性

(1)如果将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)(3.2.17)其中那么，由(3.2.11)式和(3.2.16a)式可得2023/1/9522．DFT的共轭对称性2023/1/9532023/1/9532023/1/954

(2)如果将x(n)表示为

综上，可总结出DFT的共轭对称性质：如果序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)的实部和虚部（包括j）的DFT分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j。则：2023/1/954(2)如果将x(n)表示为综上2023/1/955有限长实序列的共轭对称性：设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则：

(1)X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.19)(2)如果x(n)=x(N-n)则X(k)实偶对称，即：X(k)=X(N-k)(3.2.20)(3)如果x(n)=-x(N-n)，则X(k)纯虚奇对称，即：X(k)=-X(N-k)

(3.2.21)

复序列纯虚序列？DFT［x*(n)］=X*(N-k),

DFT［x*(N-n)］=X*(k)

2023/1/955有限长实序列的共轭对称性：复序列？DFT2023/1/956

实际中经常需要对实序列进行DFT，利用上述对称性质，可减少DFT的运算量，提高运算效率。例如，计算实序列的N点DFT时，当N=偶数时，只需计算X(k)的前面N/2+1点，而N=奇数时，只需计算X(k)的前面(N+1)/2点，其他点按照(3.2.19)式即可求得。例如，X(N－1)=X*(1),X(N－2)=X*(2),…这样可以减少近一半运算量。

【例3.2.2】

利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个N点DFT，就可以计算出两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT。解构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，对x(n)进行DFT，得到：2023/1/956实际中经常需要对实序列进行DFT，利2023/1/957由(3.2.17)、(3.2.18)和(3.2.19)式得到：所以，由X(k)可以求得两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT：2023/1/957由(3.2.17)、(3.2.18)和(2023/1/9581.线性性？2.循环移位性？5.DFT的共轭对称性？3.2回顾与总结：3.循环卷积定理？4.复共轭序列的DFT？2023/1/9581.线性性？2.循环移位性？5.DFT的3.1引言3.2周期序列的离散傅立叶级数3.3离散傅里叶变换的定义3.4离散傅里叶变换的基本性质3.5DFT、ZT、DTFT之间的关系3.6频率域采样3.7DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)3.1引言第3章离散傅里叶变换(DFT)2023/1/9603.1引言1.FT：非周期连续时间信号的傅立叶变换

2.

FS:周期连续时间信号的傅立叶变换3.DTFT：非周期序列的傅立叶变换4.DFS：周期序列的离散傅立叶级数5.ZT：非周期序列的Z变换2023/1/923.1引言1.FT：非周期连续时间信号3.2周期序列的离散傅立叶级数(

DiscreteFourierSeries,DFS)1.定义设是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数(2-1-43)

式中ak是傅里叶级数的系数。3.2周期序列的离散傅立叶级数(DiscreteF

经证明：上式中，k和n均取整数，令：-∞<k<∞(2-1-47)

也是一个以N为周期的周期序列，称为的离散傅里叶级数，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。经证明：-∞<k<∞(2

(2-1-51)式和(2-1-52)式称为一对DFS(DiscreteFourierSeries:离散傅立叶级数)。

周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。(2-1-51)(2-1-52)(2-1-51)式和(2-1-52)式称为一对DF例2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到周期序列，周期为8，求的DFS。解：按照定义式例2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为

其幅度特性如图2.3.1(b)所示。

例2.3.1图其幅度特性如图2.3.3.3离散傅里叶变换（DFT）的定义3.3.1周期延拓与取主值运算任何周期为N的周期序列可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即：2023/1/9663.3离散傅里叶变换（DFT）的定义3.3.1周期延2023/1/967

式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示n对N求余，即如果：

n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M为整数，则：((n))N=n1例如：x((10))8=x(1*8+2)

=x(2)x((-3))8=x((-1)*8+5)=x(5)2023/1/99式中x((n))N表示x(n)以N2023/1/968图3.1.2有限长序列及其周期延拓2023/1/910图3.1.2有限长序列及其周期3.3.2DFT的定义由于无限长周期序列只需要用主值序列

即可确定，并能够完全地表达出来，于是，只需要将DFS中的周期序列换成其对应的主值序列，表达式仍然成立2023/1/9693.3.2DFT的定义2023/1/9112023/1/970设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为X(k)的离散傅里叶逆变换为离散傅里叶变换对

式中，N称为DFT变换区间长度N≥M。2023/1/912设x(n)是一个长度为M的有限长序列，说明：1）DFT真正做到了计算机可以处理，即时域x(n)离散、有限长，频域X(k)离散、有限长;2）旋转因子的作用3）有限长序列的DFT与DFS的关系图示：2023/1/971DFT主值区域周期沿拓周期沿拓主值区域IDFTIDFSDFS说明：1）DFT真正做到了计算机可以处理，即时域x(n)离散4）x(n)和X(k)的隐含周期性DFT变换对公式中，由于WNkn的周期性，使X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有：2023/1/972所以(3.3.6)式中，X(k)满足：同理可证明(3.3.7)式中：

4）x(n)和X(k)的隐含周期性2023/1/914所以(2023/1/973

如果x(n)的长度为N，且，则可写出的离散傅里叶级数为：(3.1.8)(3.1.9)式中

(3.1.10)X(k)反映了x((n))N的频谱特性2023/1/915如果x(n)的长度为N，且2023/1/974

例3.3.2x(n)=R4(n)，求x(n)的4点、8点DFT、16点DFT

。

解：（1）设变换区间N=4，则2023/1/916例3.3.2x(n)=R4(2023/1/975设变换区间N=8，则：2023/1/917设变换区间N=8，则：2023/1/976图3.1.1R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系提高谱密度2023/1/918图3.1.1R4(n)的FT和DFT2023/1/9773.3.2DFT和DTFT、ZT的关系设序列x(n)的长度为N，其ZT、DTFT和DFT分别为：三式有什么关系？2023/1/9193.3.2DFT和DTFT、ZT的关2023/1/978比较上面三式可得ZT和DFT的关系：图3.1.1(a)X(k)与X(z)的关系2023/1/920比较上面三式可得ZT和DFT的关系：图2023/1/979图3.1.1(b)X(k)与X(ejω)的关系2023/1/921图3.1.1(b)X(k)与X2023/1/9803.3.4用MATLAB计算序列的DFT

MATLAB提供了用快速傅里叶变换算法FFT(算法见第4章介绍)计算DFT的函数fft，其调用格式如下:Xk=fft(xn,N)；xn为被变换的时域序列向量，N是DFT变换区间长度，一般地，N大于xn的长度。函数返回xn的N点DFT变换结果向量Xk。

Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同，可参考help文件。2023/1/9223.3.4用MATLAB计算序列的D2023/1/981

3.4离散傅里叶变换的基本性质

3.4.1线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2,且y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，即N=max［N1,N2］，则y(n)的N点DFT为：Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2(k),0≤k≤N-1(3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。2023/1/923

3.4离散傅里叶变换的基本性质

2023/1/982

3.4.2序列循环移位性质1.序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为：

y(n)=x((n+m))NRN(n)(3.2.2)周期沿拓左移m点取主值循环移位的实质是将x(n)左移m位，而移出主值区的序列值又依次从右侧进入主值区。2023/1/9243.4.2序列循环移位性质周期沿拓2023/1/983图3.2.1循环移位过程示意图2023/1/925图3.2.1循环移位过程示2023/1/984

2.时域循环移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即

y(n)=x((n+m))NRN(n)则

(3.2.3)其中X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1。2023/1/9262.时域循环移位定理2023/1/985证明：

令n+m=n′，则有在一个周期内求和2023/1/927证明：令n+m=n′，则有在一个周期2023/1/986

由于上式中求和项以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区间，则得：

2023/1/928由于上式中求和项对比记忆：循环时移：线性时移：2023/1/987时域移位，频域相移对比记忆：2023/1/929时域移位，频域相移2023/1/9883.频域循环移位定理如果：

则：频域循环移位：频域线性移位：频域移位，时域调制2023/1/9303.频域循环移位定理频域移位，时域调2023/1/9893.2.3循环卷积定理

时域循环卷积定理是DFT中最重要的定理，具有很强的实用性。已知系统输入和系统的单位脉冲响应，计算系统的输出，以及FIR滤波器用FFT实现等，都是基于该定理的。

1．两个有限长序列的循环卷积设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为： 2023/1/9313.2.3循环卷积定理2023/1/990式中，L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。上式显然与第1章介绍的线性卷积不同，为了区别线性卷积，用*表示线性卷积，用表示L点循环卷积，即yc(n)=h(n)

x(n)。观察（3.2.5）式，x((n－m))L是以L为周期的周期信号，n和m的变化区间均是［0,L－1］，因此直接计算该式比较麻烦。计算机中采用矩阵相乘或快速傅里叶变换（FFT）的方法计算循环卷积。不进位乘法2023/1/932式中，L称为循环卷积区间长度，L≥max2023/1/991

定义中，x(n)、h(n)、yc(n)长度均认为是L，不够长的补零。1o

n=0,m=0,1,…,L－1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成x(n)的循环倒相序列为序列x(n)进行对比，相当于将第一个序列值x(0)不动，将后面的序列反转180°再放在x(0)的后面。循环卷积的矩阵实现：2023/1/933定义中，x(n)、h(n)、yc(n2023/1/9922o令n=1,m=0,1,…,L-1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成的序列为3o再令n=2,m=0,1,…,L－1，此时得到的序列又是上面的序列向右循环移1位。。。。依次类推，当n和m均从0变化到L-1时，得到一个关于x((n－m)L的矩阵如下：2023/1/9342o令n=1,m=0,2023/1/993上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是:（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循环倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。则：2023/1/935上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵2023/1/994（3.2.7）按照上式，可以在计算机上用矩阵相乘的方法计算两个序列的循环卷积，这里关键是先形成循环卷积矩阵。上式中如果h(n)的长度N<L，则需要在h(n)末尾补L－N个零。2023/1/936（3.2.7）按照上式，可以在计算机上2023/1/995

【例3.2.1】计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。

解按照式（3.2.21）写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为2023/1/937【例3.2.1】计算下面给出的两2023/1/996h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为2023/1/938h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式2023/1/997h(n)和x(n)及其4点和8点循环卷积结果分别如图3.2.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。经验证本例的8点循环卷积结果等于h(n)与x(n)的线性卷积结果。后面将证明，当循环卷积区间长度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的长度时，循环卷积结果就等于线性卷积。2023/1/939h(n)和x(n)及其4点和8点循环卷积2023/1/998

图3.2.2序列及其循环卷积波形2023/1/940图3.2.2序列及其循环卷积波形2023/1/999

2.循环卷积定理

有限长序列x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2］，x1(n)和x2(n)的N点循环卷积为:

则x(n)的N点DFT为

其中（3.2.5）N

时域卷积，频域相乘时域循环卷积定理2023/1/9412.循环卷积定理（3.2.5）N2023/1/9100

证明：

直接对(3.2.5)式两边进行DFT，则有2023/1/942证明：直接对(3.2.5)式两边2023/1/9101令n－m=n′，则有因为上式中

是以N为周期的，所以对其在任一个周期上求和的结果不变。因此2023/1/943令n－m=n′，则有2023/1/9102由于，因此即循环卷积亦满足交换律。

N

N

2023/1/944由于2023/1/9103

作为习题请证明以下频域循环卷积定理:如果x(n)=x1(n)x2(n)，则(3.2.6)N

时域相乘，频域卷积2023/1/945作为习题请证明以下频域循环卷积定理:2023/1/9104或

式中N

频域循环卷积定理2023/1/946或N频域循环卷积定理2023/1/91053.2.4复共轭序列的DFT

设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N，

X(k)=DFT［x(n)］则

DFT［x*(n)］=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.7)

且

X(N)=X(0)2023/1/9473.2.4复共轭序列的DFT2023/1/9106证明：根据DFT的唯一性，只要证明(3.2.7)式右边等于左边即可。

又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0)

用同样的方法可以证明

DFT［x*(N-n)］=X*(k)(3.2.8)2023/1/948证明：根据DFT的唯一性，只要证明(2023/1/9107

3.2.5DFT的共轭对称性

1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则二者满足如下定义式：

xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1(3.2.9)xop(n)=-x*op(N-n),