第十五章第讲随机抽样和样本估计总体

第十五章统计第1讲随机抽样和样本估计总体考纲要求考纲研读1.随机抽样．(1)理解随机抽样的必要性和重要性．(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．2．总体估计．(1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.用样本估计总体是统计学的重要思想．从总体中如何抽取样本，以及如何研究样本数据是本节需要掌握的主要内容．根据总体的特点可采取合适的抽样方式，然后从列表，画图途径来体现样本数据特征，而样本的数字特征则是其客观体现，从而进一步去估计总体特征.

1．总体、个体、样本 把所考察对象的某一个数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素为个体，从总体中随机抽取若干个个体构成的集合叫做总体的一个样本．2．随机抽样均等的

抽样时保证每一个个体都可能被抽到，每一个个体被抽到的机会是________，满足这样的条件的抽样是随机抽样．3．简单随机抽样相等抽签法

设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都_____，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样方法有两种——_______和_____________．随机数表法

4．系统抽样 (1)当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方式叫做系统抽样．(2)步骤：①编号．采用随机的方式将总体中的个体编号，编号的方式可酌情处理；分段③确定起始个体编号．在第1段用________________确定起始的个体编号S；简单随机抽样

④按照事先确定的规则抽取样本．通常是将S加上间隔k，得到第2个个体编号S＋k，再将(S＋k)加上k，得到第3个个体编号S＋2k，这样继续下去，获得容量为n的样本．其样本编号依次是：S，S＋k，S＋2k，…，S＋(n－1)k.5．分层抽样明显差异

当总体由_________的几部分组成时，按某种特征在抽样时将总体中的各个个体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层中独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样．6.频率分布直方图(1)求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差．(2)决定组距和组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组．组距＝______.

(3)将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间．最后一组取闭区间．也可以将样本数据多取一位小数分组． (4)列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 将样本数据分成若干个小组，每个小组内的样本个数称作频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的______．频率反映这组数据在样本所占比例的大小．频率极差组数(5)绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得到一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图． 7．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的_____，就得到频率分布折线图．中点

(2)总体密度曲线：随着__________的增加，作图时所分的组数增加，_______减小，相应的频率折线图会接近于一条光滑的曲线，即总体密度曲线．样本容量组距

8．茎叶图 在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便记录与表示．茎是中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数． 9．样本数字特征 (1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．最中间中位数

(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在_______位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的______．(4)方差：s2＝__________________________________.(5)标准差：s＝_______________________________________.C．都都相等等，且且为D．都都相等等，且且为1．从从2004名名学生生中选选取50名名组成成参观观团，，若采采用下下面的的方法选取取：先先用简简单随随机抽抽样从从2004人人中剔剔除4人人，，剩下下的2000)C人再按按系统统抽样样的方方法进进行．．则每每人入入选的的概率率(A．不不全相相等B．均均不相相等251002140解析：注意随机抽样，每个个体被抽到的概率都一样．此题

5025 20041002中，每人入选的概率为＝.故选C.甲乙丙丁

－平均环数x8.68.98.98.2

2方差s3.53.52.15.62．(2011年广东东广州州调研研)甲、乙乙、丙丙、丁丁四人人参加加奥运运会射射击项目目选拔拔赛，，四人人的平平均成成绩和和方差差如下下表所所示：：从这四四个人人中选选择一一人参参加奥奥运会会射击击项目目比赛赛，最最佳人人选是()CA．甲甲B．乙乙C．丙丙D．丁丁3．(2011年广东东广雅雅中学学测试试)在广雅雅中学学“十十佳学学生””评选选的演讲讲比赛赛中，，如图图15－－1－－1是是七七位评评委为为某学学生打打出的的分数数的茎叶图图，去去掉一一个最最高分分和一一个最低低分后后，所所剩数数据的的众数数和中中位数分分别为为()图15－－1－－1A．85,85B．84,86C．84,85D．85,86C4．(2011年上海海)课题组组进行行城市市空气气质量量调查查，按按地域域把24个城市市分成成甲、、乙、、丙三三组，，对应应城市市数分分别为为4,12,8.若用用分层层抽样抽抽取6个个城城市，，则丙丙组中中应抽抽取的的城市市数为为____.25．某某个容容量为为100的的样本本的频频率分分布直直方图图如图图15－－1－－2，，则在区区间[4,5)上的的数据据的频频数为为_____.30解析：：对于在在区间间的频频率的的数值值为0.3，而总数数为100，因此此频数数为30.图15－－1－－2考点1随随机机抽样样及其其应用用例1：现要完完成下下列3项抽抽样调调查：①从10盒酸奶奶中抽抽取3盒进行行食品品卫生生检查查．②②科技技报告告厅有有32排排，，每排排有40个个座位位，有一次次报告告会恰恰好坐坐满了了听众众，报报告会会结束束后，，为了了听取取意见见，需要请请32名名听听众进进行座座谈．．③东东方中中学共共有160名名教教职工工，其其中一般教教师120名名，，行政政人员员16名名，，后勤勤人员员24名名．．为了了了解解教职工对对学校校在校校务公公开方方面的的意见见，拟拟抽取取一个个容量量为20的的样本本．较为合合理的的抽样样方法法是()A．①①简单单随机机抽样样，②②系统统抽样样，③③分层层抽样样B．①①简单单随机机抽样样，②②分层层抽样样，③③系统统抽样样C．①①系统统抽样样，②②简单单随机机抽样样，③③分层层抽样样D．①①分层层抽样样，②②系统统抽样样，③③简单单随机机抽样样解析：：此题主主要考考察的的是三三种抽抽样方方法的的适用用情况况．对对①总总体个数数较少少，采采用简简单随随机抽抽样，，对②②个体体数相相对较较多，，采用用系统抽样样，对对③个个体相相互差差异明明显，，采用用分层层抽样样，故故选A.答案：：A类别共同点不同点相互联系适用范围简单随机抽样都是等概率抽样从总体中逐个抽取总体中个体比较少系统抽样将总体均匀分成若干部分；按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分采用简单随机抽样总体中个体比较多分层抽样将总体分成若干层，按个体个数的比例抽取在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体中个体有明显差异三种抽抽样方方法的的联系系与区区别：：【互动动探究究】1．①①某小小区有有800个个家庭庭，其其中高高收入入家庭庭200户户，中中等收收入家庭庭480户户，低低收入入家庭庭120户户，为为了了了解有有关家家用轿轿车购购买力的某某个指指标，，要从从中抽抽取一一个容容量为为100户户的样样本；；②从从10名名同学中抽取取3个个参加座谈谈会．Ⅰ.简单随机机抽样方法法；Ⅱ.系系统抽样)B方法；Ⅲ.分层抽样样方法．问问题和方法法配对正确确的是(A．①Ⅰ②②ⅡB．①Ⅲ②②ⅠC．①Ⅱ②②ⅢD．①Ⅲ②②Ⅱ2．一个单单位有职工工800人，其其中具有高高级职称的的160人，具具有中级职称称的320人，，具有初级级职称的200人人，其余余人员120人人．为了解职工工收入情况况，决定采采用分层抽抽样的方法法，从中抽抽取容量)D为40的的样本．．则从上述述各层中依依次抽取的的人数分别别是(A．12,24,15,9B．9,12,12,7C．8,15,12,5D．8,16,10,63．用系统统抽样法要要从160名学学生中抽取取容量为20的的样本，将160名学生生从1至至160编号号．按编号号顺序平均均分成20组(1－8号，9－16号，，……153－160号)，若第16组组应抽出的的号码为126，则第一组中中用抽签方方法确定的的号码是____.6解析：采用系统抽抽样，设每每组中依次次抽出的号号码构成一一数列{an}，首项为为a1，公差为8的等差数列列，则该数数列的通项项公式为an＝a1＋8(n－1)，依依题意则a16＝126＝＝a1＋8×(16－1)，则a1＝6.即第一组中中用抽签方方法确定的的号码是6.考点2频率分布直直方图例2：(2010年广东佛佛山调研研)某校从参参加高一一年级期期中考试试的学生中随随机抽取取60名学学生，将将其数学学成绩(均为整整数)分分成六段段[40,50)，[50,60)，，…，[90,100]后得得到如图图15－1－－3所所示的部部分频率分布直直方图．．观察图图形的信信息，回回答下列列问题：：图15－1－－3(1)求求分数在在[70,80)内的的频率，，并补全全这个频频率分布布直方图图；(2)统统计方法法中，同同一组数数据常用用该组区区间的中中点值作作为代表表，据此估计计本次考考试的平平均分；；(3)用用分层抽抽样的方方法在分分数段为为[60,80)的学学生中抽抽取一个个容量为6的样样本，将将该样本本看成一一个总体体，从中中任取2人人，求至至多有1人人在分分数段[70,80)的概率率．＝1－0.7＝0.3.故0.310＝0.03，解析：(1)分数在[70,80)内的频率率为：1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)××10如图D33图D33(2)平均分为：x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.(3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60＝9.[70,80)分数段的人数为：0.3×60＝18.∵在[60,80)的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[60,70)分数段抽取2人，分别记为m，n.在[70,80)分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d.设从样本本中任取取2人，至多多有1人在分数数段[70,80)为事件A，则基本事事件空间间包含的的基本事事件有：：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，…，(c，d)共15种，则事件A包含的基基本事件有有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9种，，(1)频率分布布直方图图的绘制制按照前前面的要要点预览览的步骤进进行．值值得注意意的是，，在频率率分布直直方图中中，纵轴轴表示“频率组距”，数据落在各各小组内的频频率用小矩形形的面积表示示，各小矩形的的面积积总和和等于于1.(2)由频率率分布布直方方图估估计样样本的的数字字特征征时：：①众众数为为频率率分布直直方图图中最最高矩矩形的的底边边中点点的横横坐标标，②②中位位数为为平分分频率分布布直方方图面面积且且垂直直于横横轴的的直线线与横横轴交交点的的横坐坐标；；③平均数数等于于频率率分布布直方方图中中每个个小矩矩形的的面积积乘以以小矩矩形底底边中点的的横坐坐标之之和．．【互动动探究究】4．(2011年广东东佛山山质检检)为提高高广东东中小小学生生的健健康素素质和和体能水水平，，广东东省教教育厅厅要求求广东东各级级各类类中小小学每每年都都要在在体育教学学中实实施““体能能素质质测试试”，，测试试总成成绩满满分为为100分分．根根据广东东省标标准，，体能能素质质测试试成绩绩在[85,100]之之间为为优秀秀；在在[75,85)之间为为良好好；在在[65,75)之之间为为合格格；在在(0,60)之间间，体体能素素质为为不合格．．现从佛佛山市市某校校高一一年级级的900名名学学生中中随机机抽取取30名名学学生的测试试成绩绩如下下：85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.(1)完成成频率率分布布表和和频率率分布布直方方图，，并估估计该该校高高一年年级体能素素质为为优秀秀的学学生人人数；；(2)现用用分层层抽样样的方方法在在该校校高一一年级级共900名名学学生中中抽取取6名名学生生，在在上述述抽取取的6名名学学生中中任取取2名名，求求恰好好抽到到1名名体能素质质为优优秀的的学生生的概概率；；(3)请你你依据据所给给数据据和上上述广广东省省标准准，对对该校校高一一学生生的体能素素质给给出一一个简简短评评价．．65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93，，解：：(1)的有有——×900＝300(人)．．图D34如图图D34，根根据据抽样样，，估估计计该该校校高高一一学学生生中中体体能能素素质质为为优优秀秀1030(2)设在在抽抽取取的的6名学学生生中中任任取取2名，，恰恰好好抽抽到到1名体体能能素素质质为优优秀秀的的学学生生的的事事件件为为A，则则抽抽取取的的6名学学生生中中体体能能素素质质为为优优秀秀考点点3茎茎叶叶图图例3：(2011年广广东东广广州州综综合合测测试试)某工工厂厂甲甲、、乙乙两两个个车车间间包包装装同一一种种产产品品，，在在自自动动包包装装传传送送带带上上每每隔隔1小小时时抽抽一一包包产产品品，，称称其其重量量(单单位位：：克克)是是否否合合格格，，分分别别记记录录抽抽查查数数据据，，获获得得重重量量数数据据的的茎茎叶图图如如图图15－－1－－4.图15－－1－－4(1)根根据据样样品品数数据据，，计计算算甲甲、、乙乙两两个个车车间间产产品品重重量量的的均均值值与与方方差，，并并说说明明哪哪个个车车间间的的产产品品的的重重量量相相对对较较稳稳定定；；(2)若若从从乙乙车车间间6件件样样品品中中随随机机抽抽取取两两件件，，求求所所抽抽取取的的两两件件样样品的的重重量量之之差差不不超超过过2克克的的概概率率．．∴甲甲车车间间的的产产品品的的重重量量相相对对较较稳稳定定．．(2)从乙车间间6件样品中中随机抽抽取两件件，共有有15种种不同的的取法：：(108,109)，(108,110)，(108,112)，(108,115)，(108,124)，(109,110)，，(109,112)，(109,115)，(109,124)，(110,112)，(110,115)，(110,124)，，(112,115)，(112,124)，(115,124)．．设A表示随机事件件“所抽取的的两件样样品的重重量之差差不超过过2克”，则A的基本事事件有4种：：(108,109)，(108,110)，(109,110)，(110,112)．．明确茎叶叶图的数数据对处处理样本本的数据据特征显显得尤为重要，，而方差差可以衡衡量样本本数据的的稳定性性．【互动探探究】5．(2010年广东广广州越秀秀区高三三摸底)甲、乙两两名同学学在5次数学考试中，成成绩统计计用茎叶叶图表示示如图15－－1－5，若甲甲、乙两两)B人的平均均成绩分分别用x甲，x乙表示，则则下列结结论正确确的是(A.x甲<x乙，且甲比比乙成绩绩稳定B.x甲<x乙，且乙比比甲成绩绩稳定C.x甲>x乙，且甲比比乙成绩绩稳定D.x甲>x乙，且乙比比甲成绩绩稳定图图15－1－5易错、易易混、易易漏24．频频率分布布直方图图中某区区间的频频率误认认为该矩矩形的纵纵坐标的值例题：(2011年浙江)某小学为为了解学学生数学学课程的的学