北师大版九年级数学下册练习：小专题(十六)　圆的切线的性质与判定的综合运用

.@:第5页小专题〔十六〕圆的切线的性质与断定的综合运用1.〔2019·宿迁〕如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.〔1〕求证：PC是半⊙O的切线；〔2〕假设∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长.解：〔1〕证明：连接OC.∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD.∴PA＝PC.在△OAP和△OCP中，eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔OA＝OC，,PA＝PC，,OP＝OP，〕〕∴△OAP≌△OCP〔SSS〕.∴∠OAP＝∠OCP.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线.〔2〕∵OB＝OC，∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形.∴∠COB＝60°.∵AB＝10，∴OC＝5.由〔1〕知∠OCF＝90°，∴CF＝OC·tan∠COB＝5eq\r〔3〕.2.〔2019·西藏〕如图，在△ABC中，AC＝CB，O是AB的中点，CA与⊙O相切于点E，CO交⊙O于点D.〔1〕求证：CB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACB＝80°，点P是⊙O上一个动点〔不与D，E两点重合〕，求∠DPE的度数.解：〔1〕证明：连接OE，过点O作OF⊥BC于点F.∵CA与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC.∵在△ABC中，AC＝CB，O是AB的中点，∴OC平分∠ACB.∴OE＝OF.又∵OE是⊙O的半径，∴OF是⊙O的半径，∴CB是⊙O的切线.〔2〕∵∠ACB＝80°，OC平分∠ACB，∴∠ACO＝40°.又∵OE⊥AC，∴∠DOE＝90°－40°＝50°.当点P在eq\o〔DPE,\s\up8〔︵〕〕上时，∠DPE＝eq\f〔1,2〕∠DOE＝25°；当点P在eq\o〔DE,\s\up8〔︵〕〕上时，∠DPE＝180°－25°＝155°.∴∠DPE的度数为25°或155°.3.如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD，BC的延长线相交于点E.〔1〕求证：〔1〕AD是半圆O的切线；〔2〕连接CD，求证：∠A＝2∠CDE.证明：〔1〕连接OD，BD.∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABC＝90°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO.∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO.∴∠ADO＝∠ABO＝90°.又∵OD是⊙O的半径，∴AD是半圆O的切线.〔2〕由〔1〕知，∠ADO＝∠ABO＝90°，∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD＝∠DOC.∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE＝90°.∴∠ODC＋∠CDE＝90°.∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC＋∠BDO＝90°.∴∠BDO＝∠CDE.∵∠BDO＝∠OBD，∴∠DOC＝2∠BDO.∴∠DOC＝2∠CDE.∴∠A＝2∠CDE.4.〔2019·黔西南〕如图，AB为⊙O直径，D是eq\o〔BC,\s\up8〔︵〕〕的中点，DE⊥AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F.〔1〕求证：直线DE与⊙O相切；〔2〕DG⊥AB且DE＝4，⊙O的半径为5，求tanF的值.解：〔1〕证明：连接OD，BC.∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC.∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵OD为⊙O的半径，∴直线DE与⊙O相切.〔2〕∵D是弧BC的中点，∴eq\o〔DC,\s\up8〔︵〕〕＝eq\o〔DB,\s\up8〔︵〕〕.∴∠EAD＝∠BAD.∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE＝4，∴DE＝DG＝4.∵DO＝5，∴GO＝eq\r〔OD2－DG2〕＝3.∴AG＝8.∴tan∠ADG＝2.∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°.∴DG∥BF.∴tanF＝tan∠ADG＝2.5.如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，eq\f〔AD,BD〕＝eq\f〔2,3〕，求BE的长.解：〔1〕证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠ADO＋∠ODB＝90°.∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°.∴OD⊥CD.∵OD是⊙O半径，∴CD是⊙O的切线.〔2〕∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CDA∽△CBD.∴eq\f〔CD,BC〕＝eq\f〔AD,BD〕.∵eq\f〔AD,BD〕＝eq\f〔2,3〕，BC＝6，∴CD＝4.∵CE，BE是⊙O的切线，∴BE＝DE，BE⊥BC.∴BE2＋BC2＝EC2，即BE2＋62＝〔4＋BE〕2.解得BE＝eq\f〔5,2〕.6.如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D.〔1〕求证：OD＝eq\f〔1,2〕AC；〔2〕求证：MC是⊙O的切线；〔3〕假设MD＝8，BC＝12，连接PC，求PC的长.解：〔1〕证明：∵AC∥OM，∴△BOD∽△BAC.∴eq\f〔OD,AC〕＝eq\f〔OB,AB〕＝eq\f〔1,2〕.∴OD＝eq\f〔1,2〕AC.〔2〕证明：连接OC.∵AC∥OM，∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.∴∠BOM＝∠COM.在△OCM和△OBM中，eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔OC＝OB，,∠COM＝∠BOM，,OM＝OM，〕〕∴△OCM≌△OBM.又∵MB是⊙O的切线，∴∠OCM＝∠OBM＝90°.∵OC是⊙O的半径，∴MC是⊙O的切线.〔3〕∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠APB＝90°，∵AC∥OM，∴OD⊥BC.∴CD＝BD＝eq\f〔1,2〕BC＝6.∴∠OCD＋∠MCD＝∠CMD＋∠MCD＝90°，∴∠OCD＝∠CMD.∵∠OCM＝∠CDO＝∠CDM＝90°，∴△CDO∽△MDC.∴CD2＝OD·DM.∴OD＝eq\f〔9,2〕.∴OC＝eq\f〔15,2〕.∴AB＝