人教版数学八年级上册134最短路径问题 教案

课题：最短路径问题教学目标1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上某一点的和最短，这点确实定方法。2.能利用轴对称平移的方法，解决实际中的最短路径问题。3.让学生经历探索过程，体会运用转化，建模的思想研究数学问题的方法，培养学生分析解决问题的能力。教学重点将实际问题转化为数学问题，利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短〞问题。教学难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。教学突破利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短〞问题，首先要引导学生回忆学过的有关线段大小关系的结论；其次，利用轴对称方法，把点到点问题，转化为最短线段问题；第三，能“举一反三〞应用到实际。教学方法自学探究法、边讲边练法.教学手段多媒体辅助教学.教学过程教师活动学生活动设计意图创设情境，引入新课。1、中国式的“过马路〞和中国式的“绿化带〞，你能想到什么？2、如图，牧马人从A地出发，先到草地边MN的某一处牧马，然后再到河边饮马,然后回到B处，你能找到他行动的最短路线吗？能说出你找的理由吗？3、小组活动：拿出准备好的随堂练习，以小组形式，完成题目。4、小组展示:不同做法。师：究竟哪个组的是正确的能，能有什么样的数学依据呢，今天我们学完本节内容，大家便见分晓。二、新授课：〔一〕、自主学习问题：1.如图，点M到点N之间有三条路线，第最短。理由：。2.如图，在一条笔直的公路AB上，有一辆小车P，〔1〕当小车行驶到AB的什么位置时，小车P到M和N的距离之和最短？〔2〕如右图，当小车行驶到AB的什么位置时，小车P到M和N的距离之和最短？小组展示：师归纳：在〔1〕中点M、N分别位于AB两侧，当小车行驶到MN与AB的交点时，和最短；那么第2小题，能不能像1一样，把点M或点N转化到1的形式呢?显然，问题可以解决。师完成板书做图。师启发：为什么这种做法是最短的，你能用以前所学的知识进行证明吗？我们都学过哪些比拟长短的方法?小组讨论。小组展示：解：如图，设除点P外的另一个点P′，连接P′M和P′N,∵N与N′关于AB轴对称∴PN=PN′同理：P′N=P′N′那么：PM+PN=PM+PN′=MN′P′M+P′N=P′M+P′N′而MN′＜P′M+P′N′∴MN′最短，即PM+PN最短。师生共同归纳：借助另一点，利用三角形三边关系证明最短，而找最短的方法是“轴对称〞的桥梁作用，形成“两点之间线段最短〞。〔二〕练习：1.如图直线L是一条河，需要往点P和点Q送水，，泵站M要选在L的什么位置，使铺设的管道最短，下列图哪个符合要求：〔〕2.在直角坐标系中有A,B两点，要在Y轴上找一点C,使它到A,B的距离之和最小，以下方案正确的选项是：〔〕(三)、课堂小结：找最短路径的方法是利用轴对称,从而形成“两点之间线段最短〞.三、拓展探索：1.如图，两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？〔假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直〕生独立思考，并小组交流。师启发：①怎样把实际问题转化为数学问题？②假设河两岸重合，最短路径是什么？③将两岸平移开，应该怎么做呢？④河岸不能平移，那么点呢？作法：1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到点E.2.连接BE交河对岸与点M.那么:点M为建桥的位置，MN为桥的位置。归纳：当要求的线段有多条时，通常有定值的线段，可以采用平移的方法减去定值，然后求最短路径。四、问题回忆：如图，牧马人从A地出发，先到草地边MN的某一处牧马，然后再到河边饮马,然后回到B处，你能找到他行动的最短路线吗？能说出你找的理由吗？做法：1、做点A关于MN的对称点A′,做点B关于CD的对称点B′。2、连接A′B′，交MN于P，交CD于Q。那么：点P、Q为所求的点。练一练：1.如图，∠AOB内有一点P，在OA和OB边上分别找两点M、N，使形成的△PMN周长最短。2.如图，∠AOB内有两点P、Q，在OA和OB边上分别找两点M、N，使形成的四边形PMNQ周长最短。五、归纳小结：1、这节课你学到了哪些知识？具体方法？①把实际问题转化成数学问题的方法，做出符合题意的图形。②解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“两点之间，线段最短〞来求线段和的最小值.2、还有呢？不能用数学原理，去破坏社会秩序。六、布置作业：1、如图，点D为△ABC边BC上的任意点，在边AB和AC上各求一点E、F，使形成的△DEF周长最小。2、如图，点E是等边△ABC的AC边的中点，AD⊥BC,且AD=5,P是AD上一动点，那么PE+PC的最小值是。进行政治思想教育。生读题，师引导把实际问题转化为数学问题，抽象出图形，并积极表达自己的做法。〔小组讨论〕虽然不一定做对，但要有表达自己想法的积极性。提出问题，先由小组内部讨论解决，并发表见解，后大家共同得出明确的认识。同时，对知识进行回忆。小组内部边学习，边尝试，尽可能的表达本组的思想方法。学生要有一种模仿和转化意识。理解转化的具体方法，及依据。小组继续思考证明方法。展示正确做法。比拟图形的区别，找出正确的做图方式，进一步加深，轴对称找点的方法。生独立思考，并小组交流。生读题，把实际问题转化为数学问题，求三条线段的和最短？生模仿，完成做图。生思考，独立完成。生独立完成。学生静下来，回忆本节内容，找出本节重点。学生已经进一步的会进行实际问题的转化，练习数学问题，加深理解提高，拓展。课下完成拓展训练作业。吸引学生的注意力，唤起学生的好奇心，激发学生学习兴趣和主动学习的欲望。引入课题。让学生感受实际问题转化为数学问题的方法，理解并转化几何图形，第1题，个人根本都解决，并回忆：两点之间，线段最短。第2题，进一步感受“两点之间线段最短〞，为把同侧两点，转化为异侧两点做铺垫。虽不能都正确，但培养学生的一种敢于表达自己的想法的坚强毅力。师给学生演示标准的做图要求，并标准做图方法。让学生体会做法的正确性，提高数学的逻辑思维能力。在反思中体会“轴对称〞的作用，学会转化的方法。通过对图形的认识，进一步加深，轴对称找点的方法。对知识的稳固提高，拓展，两条线段的和最短会，那么三条线段的和最短呢？通过一步步的引导，把三条线段和最短的方法推出，通过平移，把