正弦函数余弦函数的性质一

单元教学设计：正弦函数、余弦函数的性质（一）——周期性与奇偶性一、内容和内容解析1.内容正弦函数、余弦函数的图象与性质，正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性2.内容解析正弦函数、余弦函数是一类基本初等函数，作为函数的下位知识，对于它们的研究基本遵从函数图象与性质的研究思路，可以类比、对比指数函数、对数函数等展开研究：绘制函数图象一观察图象、发现性质一证明性质.上一课时，我们学习了五点作图法，绘制出函数的图像。有了函数图象，就可以发挥图象的直观作用，通过观察，获得正弦函数、余弦函数的性质，并给予代数证明.这一过程充分体现了数形结合思想．基于以上分析，确定本单元的教学重点：正弦函数、余弦函数的图象及其性质（包括周期性、奇偶性、单调性、最值和值域）．二、目标和目标解析1.目标（1）经历周期概念的形成和证明过程，掌握正弦函数、余弦函数以及、周期的求法．（2）经历在正弦函数、余弦函数中奇偶性的证明过程，掌握、奇偶性的求法．（3）经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质.2.目标解析达成上述目标的标志分别是∶学生能利用正弦函数和余弦函数的图象，得到其周期性、奇偶性，并给予代数证明；能利用正弦函数和余弦函数的性质解决有关的问题．三、教学问题诊断分析在研究正弦函数、余弦函数的性质时，利用图象获得性质容易，但是进行代数论证比较困难.为此，首先要培养学生的代数说理习惯，其次要给予完整的代数论证过程，还要采取具体化的方法进行说明，即选择图象上一个点，通过这个点的变化说明图象的变换，并渗透换元转化的思想方法．三角函数图象的对称性比较丰富，这也是学生理解上的一个困难所在.为此可以借助图象，直观想象函数图象向两端无限延伸的情况.四、教学支持条件分析利用信息技术辅助学生理解学习．五、教学过程设计（一）概念的引入引导语：根据第一部分问题1获得的研究思路可知，接下来可以利用函数的图象研究其性质了．所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征.从前面的研究中，我们已经看到，三角函数具有的变化规律，这就是三角函数最重要的性质：周期性．奇偶性．（二）概念的形成问题1：观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？师生活动：首先，学生可以根据图象说出正弦函数的周期，，等等．教师适当启发，引到学生说出0，，等等，直至，，即正弦函数的周期有无穷多个．然后，学生利用公式一从代数的角度解释猜想的正确性；最后、教师给出周期函数的定义，并让学生回答正弦函数是否为周期函数．若是，则指出其周期．（三）概念的理解问题2：，，，…，那么是正弦函数的一个周期吗？为什么？这种情况与说是正弦函数的周期有什么不同？不是，比如．根据公式一可知，对于正弦函数定义域内的每一个自变量，当自变量的值每增加个单位时，函数值都重复出现．问题3：在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数?师生活动：教师启发学生观察正弦函数图象获得猜想：．然后举例说明，对于任意的，都可以找到一个，使得．因此正弦函数的最小正周期是．教师指出，在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期．设计意图：直观理解正弦函数的周期性，了解最小正周期．问题4：请你阅读教科书节“1.周期性”中的内容，回答下列问题：什么叫周期函数？什么叫周期?什么叫最小正周期？如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是么?图象特征是什么？问题5：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？师生活动：明确周期函数的定义，并让学生回答正弦、余弦、正切函数是否为周期函数，如果是，分别指出它们的周期和最小正周期．对于追问（4），学生先独立完成，之后进行展示交流，在此基础上教师进行梳理总结．设计意图：了解一般周期函数及相关概念，为下面的研究作铺垫．（四）概念的深化例1求下列函数的周期：（1），； （2）,；（3），问题6：解答完成之后思考，求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？师生活动：对于这些问题，学生能够求出周期，但是不清楚如何规范地表达，这是本例的难点所在教师要基于学生课堂上的生成，给出分析求解的思路和程序，并加以示范，帮助学生理解．求解的步骤如下：第一步，先用换元法转换.比如对于“（2），”，令，所以；第二部，利用已知三角函数的周期找关系.有，代入可得；第三步，根据定义变形.变形可得，于是就有；第四步，确定结论.根据定义可知其周期为．问题7：回顾例1的解答过程，你能发现函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？问题8：求函数与的周期．（其中A，，为常数，且，）周期与自变量的系数有关，仿照上述分析过程可得函数的周期为．一般地，如果函数的周期是T，那么函数的周期是．师生活动：由猜想到证明，教师引导学生利用周期性定义证明猜想．设计意图：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具体步骤，进而帮助学生理解函数的周期，为后续学习作准备．进一步研究函数的性质，从三角函数推向一般函数的周期研究．奇偶性 (五)概念的理解观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点轴对称．余弦曲线关于y轴对称．这个事实，也可由诱导公式sin−x=−sinx；cos−x=cos知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助?(六)概念的运用1．函数f(x)＝sin2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数(2)判断函数的奇偶性．【解析】(1)∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝sin2(－x)＝－sin2x＝－f(x)，∴函数为奇函数．(2)，所以函数为偶函数.归纳总结1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简（七）单元小结、布置作业本节课我们利用正弦函数和余弦函数的图象学习了周期性和奇偶性，并应用这些性质解决了相关问题，希望大家在今后的学习中不断深化对正弦函数和余弦函数性质的理解．本节课的作业教材213页习题：2、3．（八）目标检测设计1.求下列函数的周期，并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验：（1），； （2），；（3），； （4