《基本不等式（2）》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

《基本不等式（2）》教学设计教学目标教学目标1．熟练掌握基本不等式及变形的应用．2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．3．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．教学重难点教学重难点重点：会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．难点：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．教学过程教学过程一、新课导入情境1：在一次创意比赛中，有一件作品里，需要把一些长为16cm的铁丝弯成不同矩形去点缀，请同学们设计一些样式方案．方案长/宽/cm面积/c方案12612方案23515方案34416⋯⋯思考：从这些方案给出的数据来看，我们可以得到哪些规律？答：矩形的周长是定值；矩形的面积在变化；矩形两边越接近，面积越大．设矩形长𝑥cm宽𝑦cm，依照题意2𝑥+2𝑦=16，𝑥+𝑦=8.根据基本不等式，x+y2⩾xy，得xy⩽16，当且仅当𝑥情境2：在另一件作品里，需要一些面积都为16cm方案长/宽/cm面积/c方案111616方案22816方案34416⋯⋯思考：从这些方案给出的数据来看，我们又可以得到哪些规律？答：矩形的面积是定值；矩形的周长在变化；矩形两边越接近，周长越小．设矩形长𝑥cm宽𝑦cm，依照题意𝑥𝑦=16.根据基本不等式，x+y2⩾xy，得x+y⩾8，当且仅当𝑥注意：矩形周长16cm，即两边之和的2倍16cm，面积最大为16cm2;矩形面积16cm2，即两边之积16两个正数的和为定值，它们的积有最大值;两个正数的积为定值，它们的和有最小值．二、新知探究问题1：两个正数的和为定值，它们的积有最大值;两个正数的积为定值，它们的和有最小值．这是一种定性描述.我们能否通过基本不等式，得到确定的结论呢?分析：先得把定性描述，转化成数学语言的表达．即设x>0，y>0，①x+y=s（s为定值），求xy最大;②答：结论已知x，（1）若x+y=s（和为定值），则当且仅当x=y时，xy取得最大值（2）若xy=p（积为定值），则当且仅当x=y时，x+y取得最小值2注意：这个结论给出了利用基本不等式解决问题的两个数学模型．两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，它们的积有最大值．两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，它们的和有最小值．对这两个模型，在利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”.问题2：已知函数𝑦=𝑥(1-答：0<x<1，得0<1-x<1，而x当且仅当x=1-x，即x=12时，等号可取在解的过程中，先保证了x与1-x都是正数，再保证𝑥+(1-x)问题3：基本不等式在和运算与积运算之间建立了桥梁．前面的学习，我们得到了利用基本不等式求最值的两个重要数学模型．大家能不能想出其它能利用基本不等式求最值的模型呢？分析：基本不等式在和运算与积运算之间建立了桥梁,那么如果我们知道两个数的“和”与其“积”的关系式，就能利用基本不等式建立有关“和”或“积”不等式.比如：设x>0，y>0，③x+y=txy(t答：结论已知x，（1）x+y=txy(t为定值),则当且仅当x=y时，xy（2）x+y=txy(t为定值),则当且仅当x=y时，x+y事实上，当两正数x，y，它们的和x+y与它们的积xy之间有一个恒等关系，就可以结合基本不等式，将这个恒等式变成不等式．从而得到有关和x+y或积xy的不等式．解不等式得出和x+y或积xy的范围，根据基本不等式使用条件得到取得最值的条件，从而求出和x+y三、应用举例例1动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（接头处不计）（1）现有可围36m（2）若使每间禽舍面积为24m解：（1）设每间禽舍的长为xm，宽为ym，则设S=xy(026·S⩽18．所以S⩽13.5．当且仅当2x=3y时，不等式中的等号成立，此时2x=（2）设周长C=4x+6y，xyC2⩾24.所以C⩾48.当且仅当4x=6y时，等号成立，此时4x=6y，xy=例2若x>0，y>0，2x+y=4xy，求（1）2x+y的最小值；（2）xy的最小值解：x，y均为正数，等式2x+y=4xy给出了(1)2x+y=4xy=2×2x∙y⩽2×2x+y当且仅当2x=y，等号成立，此时2x=y2x+y=2

(2)4xy=2x+y⩾2当且仅当2x=y，等号成立，此时2x=yxy例3已知正数x，y，满足x+2y解：x，y均为正数，x+2y=1是和形式，因为x+2y=1(0<x<1)⟹令1+x=t，1<t<2，则而t+2当且仅当t=2t，等号成立．此时t=21x+1另解：可将分子中的1用x+2y代替，灵活应用“1”的代换．因为x，y为正数，且所以1x当且仅当2yx=xy，即当所以1x+1四、课堂练习1．当x>1，当x+812．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1参考答案：10解析：因为x>1，所以x当且仅当x-1=815解析：设仓库到车站的距离为x千米，由题意，y1=k1x，y2=k2x

．五、课堂小结本节课，利用情境1和情境2，得到两个定性描述：两个正数的和为定值，它们的积有最大值;两个正数的积为定值，它们的和有最小值．从而抽象概括出了，利用基本不等式求最值的两种重要模型：（1）若x+y=s（和为定值），则当且仅当x=y时，xy取得最大值（2）若xy=p（积为定值），则当且仅当x=y时，x+