相交线与平行线提高题

..[例题]如图,直线AB与CD相交于点O,OM⊥AB,且OM平分∠NOC．若∠BOC=4∠NOB,求∠MON的度数．[分析]遇到类似"∠BOC=4∠NOB"这样条件,常设∠NOB=2x,∠BOC=8x〔目的为了计算和书写方便,也为了更好理解,是常法——强烈建议,则有∠CON＝6x,再根据"垂直的定义、角平分线的定义"可得到∠MON=0.5∠CON=3x,∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°,求出x的值,进一步即可得∠MON的度数．[解]设∠NOB=2x,∠BOC=8x,则∠CON=∠COB﹣∠BON=8x﹣2x=6x.∵OM平分∠CON,∴∠MON=0.5∠CON=3x,∵OM⊥AB,∴∠AOM=90°,∴∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°,解得x=180,∴∠MON=3x=3×18°=54°,即∠MON的度数为54°．[点评]本题涉及到对顶角、邻补角的概念和性质,熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键,同时务必要注意解题规范,几何书写入门必须严格掌握[练习]如图,已知AB、CD相交于点O,OB平分∠COE,OF⊥AB于O,〔1若∠EOF=120°,求∠AOD的度数；〔2若∠BOE=1/4∠EOF,求∠DOE的度数[解]〔1∵OF⊥AB,∴∠BOF=90°又∵∠EOF=120°∴∠BOE=∠EOF﹣∠BOF=30°∵OB平分∠COE∴∠BOC=∠BOE=30°∵∠AOD=∠BOC∴∠BOC=30°；〔2设∠BOE＝x,则∠EOF=4x∵∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=4x－x=3x.∵∠BOF=90°,∴3x=90°,解得:x=30°∵OB平分∠COE,∴∠COE=2∠BOE=2x=60°∴∠DOE=180°﹣∠COE=120°．[例题]如图,直线EF,CD相交于点O,OA⊥OB,且OC平分∠AOF,<1>若∠AOE=40°,求∠BOD的度数；<2>若∠AOE=α,求∠BOD的度数<用含α的式子表示>；<3>从<1><2>的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？〔1∵∠AOE+∠AOF=180°〔邻补角的定义,∴∠AOF=180°－∠AOE,＝1800－400＝140°；又∵OC平分∠AOF,∴∠FOC=0.5∠AOF=70°,∴∠EOD=∠FOC=70°〔对顶角相等；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°,∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；〔2∵∠AOE+∠AOF=180°,〔邻补角的定义∴∠AOF=180°－∠AOE=180°﹣α；又∵OC平分∠AOF,

∴∠FOC=0.5∠AOF=90°﹣0.5α,

∴∠EOD=∠FOC=90°﹣0.5α〔对顶角相等；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α,

∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=0.5α；〔3从〔1〔2的结果中不难观察出：∠AOE=2∠BOD．[反思]利用对顶角、邻补角的概念和性质,熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键,注意领会解题思路和解题过程和格式.几何入门书写必须严格规范.[练习]O为直线DA上一点,OB⊥OF,EO是∠AOB的平分线．〔1如图〔1,若∠AOB=130°,求∠EOF的度数；〔2若∠AOB=α,90°＜α＜180°,求∠EOF的度数；〔3若∠AOB=α,0°＜α＜90°,请在图〔2中画出射线OF,使得〔2中∠EOF的结果仍然成立．[解答过程]〔1∵EO是∠AOB的平分线,∠AOB=130°,∴∠AOE＝0.5∠AOB＝650.∵OB⊥OF,∴∠BOF=90°,∴∠AOF=∠AOB﹣∠BOF=130°﹣90°=40°,∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=65°﹣40°=25°；〔2∵∠AOB=α,90°＜α＜180°,EO是∠AOB的平分线,∴∠AOE=0.5∠AOB＝0.5α,∵∠BOF=90°,∴∠AOF=α﹣90°,∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=0.5α﹣〔α﹣90°=900－0.5α；〔3如下图示,∵∠AOB=α,0°＜α＜90°,∴∠BOE=∠AOE=0.5α,∵∠BOF=90°,∴∠EOF=∠BOF﹣∠BOE=900－0.5α．[试题]如图,AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于F,∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．[分析]可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件：内错角∠2和∠E相等.证明：∵AE平分∠BAD,

∴∠1=∠2,

∵AB∥CD,

∴∠1=∠CFE

∵∠CFE=∠E,

∴∠2=∠E,

∴AD∥BC．[点评]本题是角平分线的性质以及平行线的判定定理的综合运用．[拓展]如图,AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于F,∠CEF=∠F．求证：AD∥BC．[分析]可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件：内错角∠2和∠E相等.证明：∵AE平分∠BAD,

∴∠1=∠2,

∵AB∥CD,

∴∠1=∠CFE

∵∠CEF=∠F,

∴∠2=∠E,

∴AD∥BC．[反思]注意体会拓展与原题<试题内容和解答过程>的区别与联系,再结合图形思考,展开想象,探寻动与静的规律与联系.[例题]已知：如图,点B在直线AC上,BE和AD交于F点,∠A=∠ADE,∠C=∠E．〔1若∠EDC=3∠C,求∠C的度数．〔2求证：BE∥CD．〔1∵∠A=∠ADE,

∴AC∥DE,

∴∠EDC+∠C=180°,又∵∠EDC=3∠C,

∴4∠C=180°,即∠C=45°；〔2∵AC∥DE,

∴∠E=∠ABE,又∵∠C=∠E,

∴∠C=∠ABE,

∴BE∥CD．[反思]<1>要能回答出上面每一步推理的根据,特别要注意逻辑顺序.<2>本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用,解题时应注意判定与性质的区别,不可用错．[拓展]已知：如图,点B在直线AC上,BE和AD交于F点,∠A=∠ADE,∠DCB=∠DEB．〔1若∠DCB=3∠EDC,求∠DCB的度数．〔2求证：BE∥CD．[例题]如图,D、E在△ABC的边AB上,F点在边BC上,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2．求证：CD∥EF．[拓展1]如图,D、E在△ABC的边AB所在的直线上,F点在边BC所在直线上,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2．求证：CD∥EF．[拓展2]如图,D、E在△ABC的边AB所在的直线上,F点在边BC所在直线上,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2．求证：CD∥EF．[拓展3]如图,D、E在△ABC的边AB所在的直线上,F点在边BC所在直线上,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2．求证：CD∥EF[例题]如图,A、B、C三点在同一直线上,D、E、F也在同一直线上,已知∠A=∠F,∠C=∠D,求证BD∥CE．[拓展1]如图,A、B、C三点在同一直线上,D、E、F也在同一直线上,已知∠A=∠AFD,∠C=∠D,求证BD∥CE．[拓展2]如图,A、B、C三点在同一直线上,D、E、F也在同一直线上,已知∠CAF=∠F,∠C=∠D,求证BD∥CE．[拓展2]如图,A、B、C三点在同一直线上,D、E、F也在同一直线上,已知∠CAF=∠AFD,∠C=∠D,求证BD∥CE．[例题]如图,直线a∥b,AC⊥BC,∠2=55°,求∠1的度数．[分析]∠1与∠2均不是"三线八角"的角,因此通过a∥b,想方设法构造"三线八角",建立∠1、∠2及∠ACB之间的联系,从而求出∠2的度数.法一：如下图示,法二：〔图解如下图示,[反思与拓展][拓展1]如图,直线a∥b,AC⊥BC,∠2=55°,求∠1的度数．〔不可用"三角形内角和定理"[拓展2]如图,直线a∥b,AC⊥BC,∠2=55°,求∠1的度数．8.[例题]已知,如图,DE⊥AC于E,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由．理由：∵∠AGF=∠ABC,

∴BC∥GF

∴∠1=∠3；又∵∠1+∠2=180°,

∴∠2+∠3=180°,

∴BF∥DE；

∴∠AFB＝∠AED

∵DE⊥AC,

∴∠AED＝90°

∴∠AFB＝90°

∴BF⊥AC．[点评]本题考查平行线的判定与性质,正确识别"三线八角"中的同位角、内错角、同旁内角,并正确运用平行线的判定和性质是正确答题的关键．解题时要注意几何语言书写格式与过程,同时要注意思路与正确解答之间的关系.[拓展1]已知,如图,DE⊥AC于E,∠AGF=∠ABC,∠1＝∠2,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由．[拓展2]已知,如图,DE⊥AC于E,∠AGF=∠ABC,∠1＝∠2,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由．[拓展3]已知,如图,DE⊥AC于E,∠AGF=∠ABC,∠BDE＝∠BFC,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由．[例题]如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,〔1问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明；〔2若∠CEF=70°,求∠ACB的度数．[拓展1]如图,CD∥AB,∠DCB=30°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,〔1问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明；〔2若∠CEF=110°,求∠ACB的度数．[拓展2]如图,CD∥AB,∠DCB=80°,∠CBF=20°,∠EFB=80°,〔1问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明；〔2若∠CEF=70°,求∠ACB的度数．[试题]如图,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,求证：DE∥BC．[拓展1]如图,已知∠1＝∠2,∠DBF=∠DEF,求证：DE∥BC．[拓展2]如图,已知∠1＝∠2,∠4+∠DEF＝1800,求证：DE∥BC．[例题]如图,AB∥CD,∠ABE=70°,∠DCE=144°,求∠BEC的度数．[分析]图中虽有AB∥CD,但无法直接得到"三线八角",因此必须添加"辅助线",将已知和所求的角进行联系,想方设法构造出"三线八角"的基本图形,然后根据平行线的性质和判定进行转化.方法有多种：分别说明如下：法一：过E点往右侧作EF∥CD,如下图示：法二：过E点往左侧作EF∥CD,如下图示：法三：过B点作BF∥CD,交DC的延长线于F,如下图示：法四：过C点作CF∥BE交AB的延长线于F,如下图示：[点评]本题主要考查了平行线的性质和判定,利用已有的平行线,再构造"三线八角"是解题的关键,当然如果学了三角形〔或多边形的内角和,则解法就更多了：只要能得到"三线八角"均可得解．[拓展1]如图,AB∥CD,∠ABE=70°,∠DCE=54°,求∠BEC的度数[拓展2]如图,AB∥CD,∠ABE=35°,∠DCE=110°,求∠BEC的度数．[拓展3]如图,AB∥CD,∠ABE=40°,∠DCE=20°,求∠BEC的度数．[试题]已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．〔1如图1,若∠E=80°,求∠BFD的度数．〔2如图2中,∠ABM=1/3∠ABF,∠CDM=1/3∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．〔3若∠ABM=1/n∠ABF,∠CDM=1/n∠CDF,设∠E=m°,直接用含有n,m°的代数式表示写出∠M=．[解析]〔1首先先求出∠ABE+∠CDE的度数,方法均有4种,下面仅提供一种解法：如下图示,过E点作EG∥CD,因AB∥CD,所以AB∥EG∥CD,得到∠ABE+∠2＝1800,∠CDE+∠1＝1800,从而∠ABE+<∠1+∠2>+∠CDE＝3600,而∠BED＝∠1+∠2＝800,所以∠ABE+∠CDE＝2800.再求∠3+∠4的度数,因BF和DF分别平分∠ABE和∠CDE,所以有∠3+∠4＝0.5∠ABE+0.5∠CDE＝0.5〔∠ABE+∠CDE＝1400.类似上述思路,可求得∠BFD＝∠5+∠6＝∠3+∠4＝1400.如下图示：〔2如下图示：类似前面分析,可得到：∠ABE+∠CDE＝3600－∠E,∠ABF+∠CDF＝0.5∠ABE+0.5∠CDE＝0.5〔∠ABE+∠CDE＝…＝1800－0.5∠E,进一步,得到：∠3+∠4＝1/3∠ABF+1/3∠CDF＝1/3<∠ABF+∠CDF>＝1/3〔1800－0.5∠E＝600－1/6∠E.得到∠BMD＝∠7+∠8＝600－1/6∠E.即6∠BMD+∠E＝3600.〔3与〔2题类似,如下图示：类似前面分析,可得到：∠ABE+∠CDE＝3600－∠E,∠ABF+∠CDF＝0.5∠ABE+0.5∠CDE＝0.5〔∠ABE+∠CDE＝…＝1800－0.5∠E,进一步,得到：∠3+∠4＝1/n∠ABF+1/n∠CDF＝1/n<∠ABF+∠CDF>＝1/n〔1800－0.5m0＝1800/n－m0/<2n>.得到∠BMD＝∠7+∠8＝1800/n－m0/<2n>.即∠BMD+∠E＝<3600－m0>/<2n>.[点评]本题主要考查了平行线的性质和判定的综合应用,关键在于"如何构造"三线八角"．[拓展]已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．若∠