误差理论教材10

第十章平差模型误差§10-1附加系统参数平差方法测量中总会有一些系统误差附着于观测值之中，或者说组成观测值的一部分。系统误差的性质较为复杂，如呈现固定误差、线性误差、周期误差和随机误差等特性。有些系统误差可以采取措施在观测过程中予以减弱或消除，或通过改正公式予以改正。而有些系统误差的性质可能难以准确了解，此时，应采用其它方法消除其影响，如采用平差的方法予以减弱或消除。一.基本概念如图10-1所示水准网，为已知水准点，其它为未知点，平差时选择未知水准点的高程为未知参数。对第一个观测值而言，可以列出观测方程如下。 （10—1）如果水准测量中水准尺含有尺长误差，设水准尺每米的尺长误差为，则水准路线的实际高差应是观测值加上尺长误差改正，即（10—2）则观测方程为（10—3）相应的误差方程为（10—4）此时,误差方程中多了一个未知参数,可以将其与其它参数一并求出。这类平差方法称为附加系统参数的平差方法。对于平差函数模型（10-1）而言，只有在观测值仅含有偶然误差时是正确的，否则，称此模型含有模型误差。在电磁波测距中，距离测量值会含有系统误差。此系统误差可以大致分为固定误差和比例误差两部分。在不能精确了解固定误差项和比例误差项的具体数值大小时，可以将其作为未知参数置入函数模型中，则电磁波测距观测方程可以写成如下形式。（10—5）（10—6）上述误差方程中包含、、、、、共六个未知参数。有时观测值中系统误差的规律较为复杂，或是对其不甚了解，此时可以采用某种函数，如多项式函数等形式模拟系统误差，如下列公式。（10—7）其中为系数阵，为未知系统参数。附加系统参数平差法线性化函数模型的一般形式可以表述如下。（10—8）式中和分别为所选基本参数和附加系统参数个数，且，。基本参数与附加系统参数之间独立，且观测值个数应大于。代表系统误差项,为待求系统参数。二.附加系统参数平差方法附加系统参数平差方法的函数模型为（10—9）简写为上述函数模型要求在的条件下解算未知参数。易知未知参数的解为（10—10）设、、。则由分块求逆公式得参数解为（10—11）式中。未知参数估值的协因数阵为（10—12）由上式可知，基本参数及附加系统参数的协因数阵为（10—13）（10—14）也可以单独解算基本参数与附加系统参数估值。不含系统误差时，误差方程单独平差得参数估值为（10—15）附加系统参数时的基本参数及附加系统参数估值为（10—16）（10—17）单位权中误差的估值为 （10—18）在附加系统参数平差法中，系统参数是作为非随机量处理的。如果将系统参数当作随机量，则函数模型与最小二乘配置的函数模型相似。将系统参数当作随机量时，必须已知其先验随机特性，否则应按非随机量处理。三.附加系统参数的检验1.参数估计量的综合精度我们希望所选择的附加系统参数模型能够较准确完整地描述系统误差。因而，在实际当中可能过多地选择和附加系统参数。此时有可能引起附加系统参数之间，或附加系统参数与基本参数之间的近似线性相关。这种近似线性相关，也称为复共线性。它会导致平差中法方程系数阵呈现病态或奇异，使得法方程的解不稳定。另外法方程系数阵的奇异性，会使参数解的精确度变差。如前所述，参数平差值的精确度由其方差和系统误差构成。由于最小二乘法属于无偏估计方法，因此上式中第二项为零。则有设的特征值为，的特征值为、、、。参数估值的均方误差为（10—19）当接近奇异时，其特征值至少有一个接近于零，因此均方误差变得很大，这意味着参数估计精度很差。如前所述，法方程系数阵奇异性程度可由制约数来度量，形式如下。（10—20）制约数代表特征值的分散程度，可用来判断系数阵的奇异程度，或复共线性的程度。当时认为没有复共线性，时认为有中等程度的复共线性，当＞1000时，则有严重的复共线性。2.附加系统参数的统计检验（1）附加系统参数必要性的检验有必要对附加系统参数的必要性进行检验。设原假设为各附加系统参数对原平差模型没有显著影响，因而，没有必要引入附加参数。此时，附加系统参数解算结果与原平差模型解算结果无显著差异。也就是下列方程的联合解算（10—21）（10—22）与（10-21）式的单独解算，其结果无显著差异。依据（8-61）式（10—23）单独解算方程（10-21）得改正数向量解为，设，组成如下统计量。（10—24）设原假设和备选假设为原假设的拒绝域为。如果接受，表明原模型与扩展模型无显著差异，无需引入系统参数；若接收，则需引入附加系统参数。（2）附加系统参数显著性的检验为了检验某一附加系统参数的显著程度，做如下原假设和备选假设。利用下列统计量对上述假设进行检验。（10—25）由显著水平确定临界值。若，则成立，认为该附加系统参数不显著，应剔除。若附加参数之间相关性较强，单个参数的检验会得出错误结论。此时，应对相关的一组参数同时进行检验。设原假设为式中，为第组个待检验参数。做如下统计量。～（10—26）根据自由度和及显著水平求出分布的临界值。若，表明系统参数显著，此组附加系统参数应予以采纳。否则，应舍弃此组系统参数。3.附加系统参数选择时的准则通过检验，可以判断所选附加系统参数的显著程度，但并不能认定所选定的模型是最好的，还需对所谓的好模型给出一个合理的定义。对于统计模型的选择可以采用准则。此方法采用统计量，其定义为（模型极大似然函数）+2（模型中独立参数个数）上式右端第1顶表征模型拟合实际的良好程度，第2项表征对增加参数的一种惩罚。准则认为选择模型时，应选择使的模型是适宜的，也就是选择数据拟合较好，且参数尽可能少的模型。因为附加系统参数的选择也是模型的选择问题，因此，同样可以用来作为选择附加系统参数的准则。对于如下的数学模型（10—27）（10—28）其似然函数为（10—29）使时的和的估值,即极大似然估值分别为（10—30）（10—31）因此，极大似然函数为（10—32）则为（10—33）式中为常数，与无关，通常设，则（10—34）对于不同的模型会产生不同的与，应选择使最小或尽可能小的模型拟合数据。例10—1：对于图10-1所示水准网，已知点高程为、。高差观测值为、、、、，各水准路线近似等长。试求出各高差观测值的平差值，并判断水准尺尺长误差是否明显。解：以未知点的高程为未知参数，参数近似值为含有尺长改正项的误差方程为式中是尺长改正参数。参数平差值及观测值改正数解为，，，，，，，，对附加系统参数的必要性进行检验时的统计量为选显著水平，以自由度查分布表得临界值为因，结论是有必要引进附加系统参数。对附加系统参数的显著性进行检验时的统计量为选显著水平，以自由度2查分布表得临界值为因，结论是附加系统参数显著。§10—2数据探测及可靠性理论测量数据中的粗差由于难以描述其规律性，因而不如偶然误差或系统误差易处理。且由于粗差只存在于个别观测值当中，因而也不易用平差的方法予以处理。这使得关于粗差或含有粗差观测数据的处理方法与偶然误差和系统误差的处理方式有所不同。如图10-2所示前方交会测量中，假设有一个角度观测值含有粗差。如果只在、两点进行观测，则无法判断观测值是否含有粗差。如果在、、三点进行测量，通过对两组坐标计算值进行比较将可以发现粗差的存在，但不能肯定哪一个角度观测值含有粗差。如果在另一个已知点上同样进行观测，则可以得到三组未知点的坐标值。此时通过比较这三组坐标值，不仅可以发现粗差的存在，也可以判断哪个观测值含有粗差。显然，测量系统的可靠性与多余观测数有关。测量系统如果没有多余观测，其可靠性为零。此时，观测精度再高也没有意义。因此，对于测量系统而言，不仅应考虑观测精度的高低，也应考虑可靠性的高低。可靠性是系统发现粗差的能力或概率的大小。测量平差系统的可靠性理论主要研究=1\*GB3①在理论上，平差系统发现和区分不同模型误差的能力，及不可发现的模型误差对平差结果的影响。=2\*GB3②寻找在平差过程中自动发现、区分及定位模型误差的实用方法。对于粗差的检验识别及定位，通常在两种假设条件下进行。一种假设认为粗差为非随机变量，将其归入函数模型进行处理。另一种假设认为粗差为随机量，是一种方差异常大的随机量。一.多余观测分量粗差是观测值的真误差，而观测值的残差是真误差的近似值。因此，应利用残差分析观测值粗差的实际情况。设平差的线性函数模型为(10—35)，(10—36)参数的最小二乘估值为=(10—37)单位权方差估值为（10—38）对误差方程做变换得（10—39）由于（10—40）将上式代入（10-39）式，并顾及（10-37）式得（10—41）若观测值含有粗差，则真误差可以分成两部分，即偶然误差和粗差之和。改正数也应分成两部分，即由偶然误差和粗差引起的改正数两部分组成。（10—42）其中是偶然误差引起的部分，而是粗差引起的部分。由(10-41)式或（10-42）式可知，某一个观测值的粗差对所有观测值的改正数均有影响。某一粗差对自身观测值改正数的影响为（10—43）矩阵称为平差的几何条件，也称为可靠性矩阵或结构矩阵。它只与平差图形结构和观测值权阵有关，并不含有观测值本身，因而可以在实际观测之前求出。结构矩阵具有如下一些特性。①（）是幂等阵，即 （10—44）平差系统的多余观测数等于（）的迹，即（10—45）（）为降秩矩阵，即。因此，不能利用公式（10-41）由改正数求得观测值真误差。（）的第个对角线元素称为第个观测值的多余观测分量，记为。（10—46）（10—47）代表该观测值在总多余观测数中的分量大小。当观测值间不相关时，即观测值权阵为对角阵时，有0≤≤1。若=0，表示该观测值为完全必要观测，粗差或误差将完全得不到改正；若=1，则表示该观测值为完全多余观测，粗差或误差将完全分配到观测值当中，也就是将对观测值进行完全改正。由（10-43）式可得=（10—48）由上式可以看出，多余观测分量代表粗差反映在自身改正数中的百分比。通常观测误差只部分反映于它的改正数当中。当没有多余观测时，即多余观测数时，所有的多余观测分量=0。此时，所有观测值的改正数为零，观测值将完全包含观测误差而得不到调节。⑤由（）计算改正数中误差。观测值改正数的方差为(10—49)当观测值互不相关时即（10—50）例10—2：如图10-3所示单三角形，各角度为等精度独立观测值。设平差值为未知参数和，则可以组成如下误差方程其中和为度的近似值，在此可取观测值。平差的几何条件为可知每个观测值的多余观测分量均为。这意味着，不论哪个观测值含有粗差，此粗差分配到自身观测值改正数当中的分量均为。且由的结构可以看出，如果某个观测值含有粗差，此粗差将平均分配到各个观测值改正数当中。二．可靠性的度量1．内部可靠性的概念设有如下平差数学模型（10—51）（10—52）对上述模型作最小二乘估计，并做如下统计量。 （10—53）当观测值含有粗差时，引起改正数平移,总改正数为,此时，统计量的数学期望为（10—54）因为因此（10—55）式中。也就是说当观测值含有粗差时，统计量服从非中心化分布，即。就是由粗差引起的分布中心的平移量，称为非中心化参数。当选择显著水平和检验功效时，就可以确定可检测的临界值。平差系统中，残差是观测值的线性函数，可以写成一般形式如下。(10—56)当观测值含有粗差时，对残差的影响为（10—57）上式除以，表示以单位权中误差为单位的粗差及残差影响值。(10—58)令 （10—59）式中列向量的长度为1，即，为长度因子。将（10-58）及（10-59）式代入（10-55）式得（10—60）因此（10—61）对于，可得相应的。此时或（10—62）就是在显著水平和检验功效下的可发现粗差向量的下界值，或称最小值。只有一个观测值含有粗差时，向量中只有相应的元素为非零，即（10—63）此时，（10-62）式变成，（10—64）就是可发现之单个粗差最小值，是内部可靠性的度量值。对于（10-51）式所描述的平差模型而言，残差估值为（10—65）上式与(10-56)式相比较而言，，,将其代入（10-61）式，并顾及得（10—66）式中是最小二乘平差结果，与何种平差方式无关。假设只在第个观测值中存在粗差，此时，则有（10—67）由和可确定。当为对角阵时有（10—68）将上式代入（10-64）式得（10—69）由上式知，内部可靠性与成反比，与成正比。因此，为了提高内部可靠性，应提高观测精度和增加多余观测。在（10-69）式中设（10—70）称为可控性数值，它单纯反映观测值可靠性尺度，与精度无关，因而可以用来比较各观测值之间内部可靠性。由（10-70）式知（10—71）由上式可知，观测值中误差的倍，就是可发现粗差的最小值，也就是以显著水平和检验功效可被发现的粗差的最小值。2．外部可靠性的概念将不可发现的粗差对平差未知参数及其函数的影响称为外部可靠性。对于单个观测值含有粗差的情形，不可发现的粗差对参数平差值的影响向量长度为（10—72）式中。巴尔达将下列影响向量长度作为外部可靠性指标。（10—73）整理得（10—74）由上式可知，当确定后，外部可靠性与多余观测数有关，越大，可靠性越强。对于参数平差值的任意线性化函数，不可发现的观测值粗差的影响为（10—75）上式中是向量和以加权的内积，即（10—76）因此有（10—77）将上式代入(10-75)式，并顾及和（10-74）式得（10—78）由上式可知，粗差对函数的影响与外部可靠性指标及函数中误差成正比。描述测量系统内外部可靠性的指标、和都是与控制网的基准及观测值的大小无关的量。因此，当控制网设计完成后，就可以求出上述可靠性指标，并对其进行评估，以验证控制网能否满足要求。巴尔达认为对观测值准确度的描述，应包含精度与可靠性两方面的含义。三．单个粗差的检验及定位1968年，荷兰巴尔达在他的名著《大地网的检验方法》中，首次提出“数据探测”方法及可靠性理论，成为测量系统检验及剔除粗差的理论基础。现假设只在单个观测值中含有粗差，并对其进行检验。由（10-41）式可知，当观测值不含粗差时，即时，有。因此，可以通过对残差进行检验的方式来检验观测值中是否含有粗差。已知单位权中误差时，可以采用下列正态变量作为检验量，称为标准化残差。（10—79）做如下原假设和备选假设。，成立时（10—80）用作为统计量对粗差进行检验，是数据探测法理论的核心。通常取选用的显著水平。此时，统计量的临界值为。即当，或时拒绝，认为该观测值存在粗差。当观测值含有粗差时，对该观测值改正数的影响为（10—81）改正数的变化导致标准化残差发生偏离，偏离量如下。（10—82）此时成立，即。虽然实际上成立，但仍然可能犯第二类错误，即纳伪错误，认为观测值的粗差不显著。现在要问，观测值的粗差多大时，才能够以显著水平和检验功效被发现。相对应的可发现的最小统计量，即非中化参数是和的函数，可用表示。（10—83）已知后，可以计算粗差的可发现下界值。（10—84）选定的和与可发现粗差或非中心化参数的下界值列于表10-1中。表中值是一定显著水平下标准化残差检验的临界值，也就是当观测值不存在粗差时，它不同于最小可发现粗差或非中心化参数。它们之间的关系如图10-4所示。当单位权中误差未知，且观测值相互独立时，可以采用如下统计量作为检验的依据。（10—85）式中（10—86）为观测值的多余观测数。当单位权中误差未知时，也可以采用下列统计量作为检验的依据。（10—87）为单位权中误差的估值。对于统计量的检验，可以查分布表，当时，认为观测值中含有粗差。对于统计量，其临界值亦可通过分布表，由下列公式求得。（10—88）以上所述粗差的检验方法在理论上是严密的，但在实际应用中可能会出现一些困难。首先对单个粗差的检验而言，由于某个观测值粗差会对所有观测值的残差都有影响，因而，不只一个观测值含有粗差时，有可能出现的情形是含有粗差的观测值不一定有最大残差，而不含粗差的观测值却可能有较大残差。且在检验时可能出现的情形是，统计量超限，但观测值不含粗差，或统计量不超限，但观测值却含有粗差。例10—3：如图10-5所示测边网，其中为已知点，共有10个边长观测值，并假设边长观测值为等精度独立观测值。试计算各观测值的内、外可靠性。解：平差时将待定点的坐标作为未知参数，并列出相应的误差方程。现将计算所得各观测值的多余观测数、内可靠性及外可靠性数值列于表10-2中。此例中，取显著水平，及，由表10-1得。由表10-2中的数据可以看出，第1、2、3、4、6、7边长观测值的多余观测数相对较多，其内、外可靠性较强。这些边的可发现粗差值为观测值中误差的倍。第5和8边长观测值的多余观测数较小，它们的内、外可靠性亦较差，说明网的外部边缘部分的观测值可靠性要较网内部的观测值差得多。第9、10边长观测值的多余观测数为零，因而无法发现这些观测值中所包含的粗差，这种情形是不允许出现的§10—3稳健估计一．稳健估计的意义平差中未知参数的估值取决于观测数据的质量，所建立的数学模型及采用的估计准则。最小二乘估计准则在观测值中大误差频率高出观测值的正常正态分布应有的频率时，也就是观测值含有粗差时，会使参数估值受影响较大。为此，一些学者提出了一些剔除粗差的方法，例如，切尾均值和中位数等估计方法便具有良好的稳健性。在测量平差中常采用如下高斯—马尔科夫模型。（10—89）（10—90）（10—91）并在最小二乘准则条件下，对未知参数及精度进行估计。此时的参数估值是无偏和最优的，即（10—92）（10—93）如果实际情况与模型的描述不相符时，例如观测值误差的期望，或者中一些元素的先验估值不准确时，参数估值可能就不是无偏的，或是其方差为最小。观测值含有粗差时，可以将观测值看作大方差观测值。此时，应对估计准则提出新的要求，使得新准则具有一定的抗干扰性。而稳健估计符合这一要求。作为对实际问题的描述，建立了某种数学模型，并认为这种模型只是一种近似。对于此类模型的处理，稳健估计方法应具有下述特性。（1）假设模型正确时，参数估计量具有良好性质，或是接近最优。（2）假设模型与实际有小的偏离时，参数估值亦是良好的。（3）假设模型与实际有较大的偏离时，参数估值质量亦不会变得很差。上述特性说明稳健估计对于模型有较小偏差时，会得到较好的结果。如果观测值含有较大粗差，稳健估计结果亦不会变得很差。代价是模型正确时，所得结果并非是最优的。稳健估计就是对偏离理论模型情形的不敏感性。稳健性是相对概念，不存在所谓“最稳健的方法”。因此，对于同一个问题，有选择何种估计方法的问题。例如，对某一量进行了5次观测，观测值分别为=1.9、2.1、1.8、2.3、3.9，且。现要求根据观测值对真值进行估计。按最小二乘法，参数估值为样本均值。按切尾均值法，去掉一个最大值和最小值，然后取平均值得按中位数法，将观测值按大小顺序排列，如果观测值是奇数个，取中间值作为未知参数的估值。如果观测值是偶数个，取中间两个数的平均值作为未知参数估值。此时有以上3种方法相比较而言，当观测值含有粗差时，最小二乘法参数估值与真值差异较大，切尾均值与中位数法的结果所受影响要小的多，即具有较强的抗干扰性。二．稳健估计的方法稳健估计方法很多，据统计有几十种之多，其中较为实用的只有提出的估计法。估计法可分为选权迭代法和范数最小法两类。最小二乘法要求，它对大误差或粗差较为敏感。解决方法是用对大误差不敏感的函数代替平方和函数，如可以取，使得 （10—94）称为最小和法或1—范数最小法。可以证明，在对对称分布中心的估计中，如一个量的系列观测值平差中，最小和法估计量便是样本中位数。如前所述，这是一种较好的稳健估计方法。可以对估计法进行一般性定义。设有函数，,存在，使得在非增，在非降。若有由观测值组成的统计量满足条件（10—95）则称为参数的一个估计。估计的函数可以不同，因而估计是一类估计。之所以称为估计，是因为形式上与极大似然估计（缩写为）具有相似之处的缘故。满足（10-95）式条件的参数估值不唯一，但当函数处处连续时，一定存在参数解。进一步，当函数为严格凸函数时，有唯一参数解。如果函数的导数存在，则（10-95）式也可以写成如下形式。（10—96）估计的性质与的选择有关。估计可以表述为一个极值问题，且一般而言要解算非线性方程，因此需要进行迭代计算。设平差中的误差方程为（10—97）将其带入（10-95）式，并对参数求导，令其为零得 （10—98）设 （10—99）则（10-98）式变为（10—100）上式相当于间接平差中的法方程，此法方程相当于（10—101）的解。由于法方程（10-100）式中的权是改正数的函数，所以给定权的某一个初值后，应进行迭代计算求解。因而，上述平差方法称为选权迭代法。范数最小法采用如下形式的函数。（10—102）式中的有利范围为1.0～1.5，或1.2～1.5之间。当时，就是最小和法。范数最小法的权函数式为 （10—103）式中是一个较小的数，以避免权函数式的分母为零的情形。选权迭