球的体积公式的推导及其应用

球的体积公式的推导及其应用教学目标（一）知识与技能（1）了解球的体积公式（2）能运用球的体积公式进行计算和解决有关实际问题（3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力

（二）过程与方法

通过初中学过的圆的面积的推导过程和物理中的有关知识，以及从数学文化“祖暅原理”的角度结合小实验让学生掌握球体的体积公式，体会数学的美。

（三）情感与价值观通过学习，使我们对球的体积的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，从多角度、多学科和渗透数学文化以及小实验等方面来探究球的体积公式的推导，利用信息技术，增强了同学们探索问题和解决问题的信心。教学重点难点重点：球的体积公式的推导与实际应用难点：球的体积公式的推导和应用体积公式中空间想象能力的形成。教学过程（一）复习回顾1、球的表面积公式：______2、柱体的体积公式：______；锥体的体积公式：______（二）公式探究方法一、排水法探究过程学生活动思考：1.该实验应用了什么样的原理求球的体积？本实验对实验器材和实验过程有什么样的要求？方法二、浮力法探究过程学生活动思考：1.本实验应用了哪个物理公式来求小球排开水的体积？2.上边两个实验虽然求出了小球体积，但能否能得到一般的球体的体积公式呢？方法三、分割法探究过程学生活动思考:我们知道圆的面积等于，那么它是怎么推导出来的呢?类比圆面积公式的推导过程，能否推导出球的体积公式呢？具体过程：①分割：如图我们把球面分成n个小网格，连接球心O与每个小网格的顶点，整个球面就被分成上图所示的n个“小锥体”②近似替代：当n越大时，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就近似于棱锥，其高越近似于球的半径R，设是其中的一个“小锥体”，它的体积是______③求和：由于球的体积就是n个“小锥体”的体积之和，从而推出球的体积______方法四、等积法探究过程学生活动思考1.实验中的两个容器,圆柱，圆锥底面圆的半径与半球的半径什么关系？圆柱，圆锥的高和半球的半径什么关系？2.通过上边的演示实验，我们不难猜想到______，从而______3阅读祖暅原理（教材p121）祖暅原理:夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.你能推导出实验中的两个容器的体积相等吗？（三）例题讲析例1.如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比例2.已知正方体棱长为a,求正方体的外接球与正方体的内切球的体积之比.（四）巩固练习1.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？2.将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积3.一个长,宽,高分别是80cm,60cm,55cm的水槽中装有200000cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球.如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出（五）课堂小结1．球的体积：2．与球有关的几何体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，从而确定有关元素间的数量关系。（六）课后作业(1)必做题教材p119复习巩固第2，3题(2)选做题1.如果球的大圆面积增加到原来的100倍，则球的体积增加到原来的______倍2.球由于热膨胀而使半径增加倍，它的体积增加了______倍3.三个