运算和对数函数

5要求层重难对数的概念及其运算性B换底公A理解对数的概掌握当底数a1与0a1时，对数掌握对数函数的概念、图象和性质对数函数的概B对数函数的图象和性Cyaxyloga互为反函数（a0a1）B能利用对数函数的性质解，分可称为前转给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙这是16世纪意大利著名学者的一段话.从这段话可以看出把对数与宝贵的空间和时间相提并论.对数的发展绝非一人之功.首先要提到的是16世纪钟表匠标尔基，当他结识了天，象,于是便产生了简化计算的想法.从16031611年,标尔基用了八年的时间,一个数一个数的算,造出了一个对数表,这个对数表帮了的大忙.认识到了对数表的使用价值,劝标尔基赶快把对数表,标尔基认为这个对数表还过于粗糙,一直没下决心.正在标尔基犹豫不决的时候,1614年6月在爱丁堡了苏格兰纳皮尔男爵所造的题为《板块一：对数的定义和相关概告诉我们：纳皮尔在人们心板块一：对数的定义和相关概(一)知识内y的对数，这样从yx的对应是指数运算的一个相反运算，让同学思考由函数的定义，对数一般地如果axy(a0

a1那么数x叫做以a为底y的对数记作xlogay其中a叫做对数的底数y叫做真数关系axy指数ax底数(a0a指数(x幂（值）yR对数logay底数(a0a对数(x真数yR对数恒等式及对数的性质，对数logaN(a0a1满足⑴零和负数没有对数⑵1的对数是零，即loga10⑶底的对数等于1，即logaa1常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN自然对数：在科学技术中常使用以无理数e然对数，并且把logeN记为lnN

为底的对数，以e为底的对数称为a对数与指数间的关系：当a0a1时axNxlogNa指数和对数的互化aaabNlogNb.alogaNN，logaNaa（二）主要方法重视对数的概念，应用基础概念解决具体问熟练运用指数和对数的互（三）典例分析【例1】⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式①54625；②261

133

5.73；④log11642⑤lg0.012；⑥ln102.303⑵求下列各式中x的值①

x2；②log86；③lg100x；④lne2x 【例2将下列对数式写成指数式（2）2（3）lg0.01=-2（4）ln10=2.303【例3log927log4381log

32

3，⑷log3455(一)知识内对数的运算性质如果a0，且a1M0N0，那么loga(MNlogaMlogaN（积的对数等于对数的和推广loga(N1N2...Nk)logaN1logaN2loga⑵

Ma

aM

N（商的对数等于对数的差 ⑶logMlogM( ⑷

n1logN n（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数<教师备案>以性质⑴为例进行证明如下已知logaMlogaN（MN0，求loga(MN 设logMplogNq，根据对数的定义，可得MapN MNapaq∴loga(MN)pqlogaMloga换底公式logNlogaN（a,b0a,b1N0b

logab设logNx，则bxN.b两边取以a为底的对数，得xlogablogaNa所以xlogaN，即a

NlogaNloga法二

log根据对数恒等式及对数的运算性质推 由对数恒等式得logNlogblog(blogbN 所以有

NlogaNa loga换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的.<教师备案>常见错误loga(MNlogaMlogaNloga(MNlogaMlogaN

MlogaMaa loga关于对数的恒等①alogaN

②

an

③logab

1logb④

M M

⑤loga

logb

log log （二）主要方解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域解决对数不等式、对数方程时，要重视考虑对数的真数、底数的范围对数不等式的主要解决思想是对数函数的单调性（三）典例分【例4求下列各值⑴1log36log3；⑵ 3；⑶lg1；⑷3log35；⑸9log35；⑹3log3 3⑺log3

【例5】求值⑴2lg3lg7lg25lg7；⑵

35

3；⑷log34log259log1653【例6】a、b0，且a、b1logablogba，a

ab

ab或ab

a、b为一切非1的正【例7】⑴log83p，log35q，那么lg5等 （用p，q表示 ⑵知log9a，18b5，用a,b表示log45 【点评】⑴换底公式的一个重要应用logmnlognm⑵log182

18，将未知转化为已知，是对数函数运算性质的重要应9【例8】已知log3a3b7，求log 【例9】已知lg5mlg3n，用mn表示log308【例10】已知abm(a0,b0,m1且logmbx，则logma等1

1

x

x【例11】已知f(x)

x2，且f(lga) ，求a的值nlogaaa【例12】下列各式中，正确nlogaaalgx22lg

1logx

logaxlog 1log

loga 【例13】已知logx3)(x23x)1，求实数x的值【例14】a为实常数，解关于x的方程lgx1lg3xlgax板板块三：对数函ylogax(a0a1）x对数函数的图象和性质一般地，对数函数ylogax(a0且a1）的图象和性质如下表所示0aa图yO1y=logaxyO1x定义值R性⑴过定点(10x1y⑵在(0上是减函数（2）在(0上是增函数线yx对称等.【例15】求下列函数的定义域log1(x2 ⑴ylogx2；⑵log(4log1(x2 【例16】求下列函数的定义域⑴y

log3(3x⑵ylogx1(3x)a【例17】已知f(xlog(ax1a0且a1a⑴求f(x的定义域⑵讨论函数f(x的单调性x【例18】求函数f(xlog2x1log2(x1log2px的定义域和值域【例19】函数ylg(20xx2的值域 C.y＞0且 【例20】已知函数f(x)lg[mx22(m1)x9m4⑴若此函数的定义域为R，求实数m的取值范围⑵若此函数的值域为R，求实数m的取值范围【点评】本题涉及到解一元二次不等式的解法，可根据学生情况进行讲解mx28x【例21】已知函数f(xlog

x2

的定义域为R，值域为[02]，求m，n的值【例22】下面结论中，不正确的aa＞1，则yaxylogx在定义域内均为增函a3函数y3xylogx图象关于直线yx对3 ylogx2y2logx表示同一 若0a10mn1，则一定有logamlogan【例23】已知f(xlgaxbx)(ab为常数①当a，b＞0a≠b时，求f(x)的定义域②当a＞1＞b＞0时，判断f(x)在定义域上的单调性，并用定义证【例24】在函数ylogax(0a1x1的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是若△ABC的面积为S，求S＝f（t判断S＝f（t）的单调性求S＝f（t）的最大值【例25】已知函数f(x

x2的定义域为，值域为ax

aa(1),

f在上为减函数（1）求证（2）求a的取值范围【例26】对于f(x)log1(x22ax32⑴函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事⑵结合“a取何值时，f(x)在[1，)上有意义”与“a取何值时，函数的 (3，)”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别1]1]【点评】该题主要复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题.解题过程中遇到了恒成立问题，“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程中结合三个二次的重要结论来进行处理.【例28】比较下列各组数的大小⑴log23.4，log28.5⑵log031.8，log032.7loga5.1loga5.9(a0且a1.如：设1a10，比较lga2(lga)2lg(lga的大小1a100lga1，于是lg(lga0lga)2lga22【例29】f(logx2x(x0，则f（3）的值2 【例30】a、b、c是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系 【例31】（2005年文已知log1blog1alog1c，则 2b2a

2a2b

2c2b

2c2a【例32】如果loga2logb20，那么a，b的关系及范围【例33】⑴若loga2logb20，则0ab

0ba

ab

ba⑵已知

1，求a的取值范围a【点评】在上面的对数函数图象中，共有四条对数函数ylogax，底数a的大小比较可以通过作一条直线：y1，于四条曲线分别交于点P1,P2,P3,P4，易知，这四点的横坐标即对应相应的底数【例34】已知函数f(x)1logx3g(x)2logx2⑴试比较函数值f(xg(x的大小⑵求方程|f(xg(x|f(xg(x)4的解集【例35】函数ylogaxx[2上恒有|y|1，求a的范围【例36】已知a＞0，a≠10x1，比较|loga(1x|和|loga(1x|的大小【例37】若log2a1，则a的取值范围30a3

a3

2a1

0a23【例38】若关

lg(xa)

2至少有一个实数根，则求a的取值范围【例39】设ab为正数，若lg(axlg(bx10有解，则求a的取值范围b【例40】如果 (a21)≤ 2a，求a的取值范围2a 2a 【例41】已知A{x|logx(5x28x32，B{