人版高中数学必修3全套教（学）案设计说明

..1.3算法案例整体设计教学分析在学生学习了算法的初步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后,再结合典型算法案例,让学生经历设计算法解决问题的全过程,体验算法在解决问题中的重要作用,体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力.三维目标1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.2．引导学生得出自己设计的算法程序.3.体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力.重点难点教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.教学难点：体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力.课时安排3课时教学过程第1课时案例1辗转相除法与更相减损术导入新课思路1〔情境导入大家喜欢打乒乓球吧,由于东、西方文化及身体条件的不同,西方人喜欢横握拍打球,东方人喜欢直握拍打球,对于同一个问题,东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学,我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.当两个数公有的质因数较大时〔如8251与6105,使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异.思路2〔直接导入前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想.推进新课新知探究提出问题〔1怎样用短除法求最大公约数？〔2怎样用穷举法〔也叫枚举法求最大公约数？〔3怎样用辗转相除法求最大公约数？〔4怎样用更相减损术求最大公约数？讨论结果：〔1短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是两个互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.〔2穷举法〔也叫枚举法穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举,直到找到公约数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数.〔3辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法步骤可以描述如下：第一步,给定两个正整数m,n.第二步,求余数r：计算m除以n,将所得余数存放到变量r中.第三步,更新被除数和余数：m=n,n=r.第四步,判断余数r是否为0.若余数为0,则输出结果；否则转向第二步继续循环执行.如此循环,直到得到结果为止.这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法.〔4更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术.《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的"更相减损术"也可以用来求两个数的最大公约数,即"可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之."翻译为现代语言如下：第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是,用2约简；若不是,执行第二步.第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数〔等数或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.应用示例例1用辗转相除法求8251与6105的最大公约数,写出算法分析,画出程序框图,写出算法程序.解：用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数：8251=6105×1+2146.由此可得,6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数,反过来,8251与6105的公约数也是6105与2146的公约数,所以它们的最大公约数相等.对6105与2146重复上述步骤：6105=2146×2+1813.同理,2146与1813的最大公约数也是6105与2146的最大公约数.继续重复上述步骤：2146=1813×1+333,1813=333×5+148,333=148×2+37,148=37×4.最后的除数37是148和37的最大公约数,也就是8251与6105的最大公约数.这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道,对于任意两个正整数,上述除法步骤总可以在有限步之后完成,从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.算法分析：从上面的例子可以看出,辗转相除法中包含重复操作的步骤,因此可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步,给定两个正整数m,n.第二步,计算m除以n所得的余数为r.第三步,m=n,n=r.第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m；否则,返回第二步.程序框图如下图：程序：INPUTm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND点评：从教学实践看,有些学生不能理解算法中的转化过程,例如：求8251与6105的最大公约数,为什么可以转化为求6105与2146的公约数.因为8251=6105×1+2146,可以化为8251-6105×1=2164,所以公约数能够整除等式两边的数,即6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数.变式训练你能用当型循环结构构造算法,求两个正整数的最大公约数吗？试画出程序框图和程序.解：当型循环结构的程序框图如下图：程序：INPUTm,nr=1WHILEr＞0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND例2用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减,如下图所示.98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以,98和63的最大公约数等于7.点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著,但是二者的算理却是相似的,有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算,即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算,即辗转相减,但是实质都是一个不断的递归过程．变式训练用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.解：324=243×1＋81,243=81×3＋0,则324与243的最大公约数为81.又135=81×1＋54,81=54×1＋27,54=27×2＋0,则81与135的最大公约数为27.所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.另法：324－243=81,243－81=162,162－81=81,则324与243的最大公约数为81.135－81=54,81－54=27,54－27=27,则81与135的最大公约数为27.所以,三个数324、243.135的最大公约数为27.例3〔1用辗转相除法求123和48的最大公约数.〔2用更相减损术求80和36的最大公约数.解：〔1辗转相除法求最大公约数的过程如下：123＝2×48＋27,48＝1×27＋21,27＝1×21＋6,21＝3×6＋3,6＝2×3+0,最后6能被3整除,得123和48的最大公约数为3.〔2我们将80作为大数,36作为小数,因为80和36都是偶数,要除公因数2.80÷2=40,36÷2=18.40和18都是偶数,要除公因数2.40÷2=20,18÷2=9.下面来求20与9的最大公约数,20－9=11,11－9=2,9－2=7,7－2=5,5－2=3,3－2=1,2－1=1,可得80和36的最大公约数为22×1=4.点评：对比两种方法控制好算法的结束,辗转相除法是到达余数为0,更相减损术是到达减数和差相等.变式训练分别用辗转相除法和更相减损术求1734,816的最大公约数．解：辗转相除法：1734=816×2+102,816=102×8〔余0,∴1734与816的最大公约数是102．更相减损术：因为两数皆为偶数,首先除以2得到867,408,再求867与408的最大公约数．867-408=459,459-408=51,408-51=357,357-51=306,306-51=255,255-51=204,204-51=153,153-51=102,102-51=51.∴1734与816的最大公约数是51×2=102．利用更相减损术可另解：1734－816＝918,918－816＝102,816－102＝714,714－102＝612,612－102＝510,510－102＝408,408－102＝306,306－102＝204,204－102＝102.∴1734与816的最大公约数是102．知能训练求319,377,116的最大公约数．解：377=319×1+58,319=58×5+29,58=29×2.∴377与319的最大公约数为29,再求29与116的最大公约数．116=29×4.∴29与116的最大公约数为29.∴377,319,116的最大公约数为29.拓展提升试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序．解：更相减损术程序：INPUT"m,n="；m,nWHILEm<>nIFm>nTHENｍ＝m-nELSEm=n-mENDIFWENDPRINTmEND课堂小结〔1用辗转相除法求最大公约数.〔2用更相减损术求最大公约数.思想方法：递归思想.作业分别用辗转相除法和更相减损术求261,319的最大公约数.分析：本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用．使用辗转相除法可依据m=nq+r,反复执行,直到r=0为止；用更相减损术就是根据m-n=r,反复执行,直到n=r为止．解：辗转相除法：319=261×1+58,261=58×4+29,58=29×2.∴319与261的最大公约数是29．更相减损术：319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58=87,87-58=29,58-29=29,∴319与261的最大公约数是29．设计感想数学不仅是一门科学,也是一种文化,本节的引入从东、西方文化的不同开始,逐步向学生渗透数学文化.从知识方面主要学习用两种方法求两个正整数的最大公约数,从思想方法方面,主要学习递归思想.本节设置精彩例题,不仅让学生学到知识,而且让学生进一步体会算法的思想,培养学生的爱国主义情操．第2课时案例2秦九韶算法导入新课思路1〔情境导入大家都喜欢吃苹果吧,我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃,而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃,由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f<x>=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的,今天我们开始学习秦九韶算法.思路2〔直接导入前面我们学习了辗转相除法与更相减损术,今天我们开始学习秦九韶算法.推进新课新知探究提出问题〔1求多项式f<x>=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点.〔2什么是秦九韶算法？〔3怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：〔1怎样求多项式f<x>=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？一个自然的做法就是把5代入多项式f<x>,计算各项的值,然后把它们加起来,这时,我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算.另一种做法是先计算x2的值,然后依次计算x2·x,〔x2·x·x,〔〔x2·x·x·x的值,这样每次都可以利用上一次计算的结果,这时,我们一共做了4次乘法运算,5次加法运算.第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能够提高运算效率,对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以采用第二种做法,计算机能更快地得到结果.〔2上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶〔约1202~1261在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f<x>=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成如下形式：f<x>=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=〔anxn-1+an-1xn-2+…+a1x+a0=〔〔anxn-2+an-1xn-3+…+a2x+a1>x+a0=…=〔…〔〔anx+an-1x+an-2x+…+a1x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f〔x的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.〔3计算机的一个很重要的特点就是运算速度快,但即便如此,算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数,那么这样的算法就只能是一个理论的算法.应用示例例1已知一个5次多项式为f〔x=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2,用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解：根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式：f<x>=〔<<<5x+2>x+3.5>x-2.6>x+1.7>x-0.8,按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=5时的值：v0=5；v1=5×5+2=27;v2=27×5+3.5=138.5;v3=138.5×5-2.6=689.9;v4=689.9×5+1.7=3451.2;v5=3415.2×5-0.8=17255.2;所以,当x=5时,多项式的值等于17255.2.算法分析：观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值,若令v0=an,我们可以得到下面的公式：这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.算法步骤如下：第一步,输入多项式次数n、最高次的系数an和x的值.第二步,将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1.第三步,输入i次项的系数ai.第四步,v=vx+ai,i=i-1.第五步,判断i是否大于或等于0.若是,则返回第三步；否则,输出多项式的值v.程序框图如下图：程序：INPUT"n="；nINPUT"an="；aINPUT"x="；xv=ai=n-1WHILEi＞=0PRINT"i="；iINPUT"ai="；av=v*x+ai=i-1WENDPRINTvEND点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合,详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.变式训练请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法,并画出程序框图.解：设f〔x=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先,让我们以5次多项式一步步地进行改写：f〔x=〔a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1x+a0=〔〔a5x3+a4x2+a3x+a2x+a1x+a0=〔〔〔a5x2+a4x+a3x+a2x+a1x+a0=〔〔〔〔a5x+a4x+a3x+a2x+a1x+a0.上面的分层计算,只用了小括号,计算时,首先计算最内层的括号,然后由里向外逐层计算,直到最外层的括号,然后加上常数项即可.程序框图如下图：例2已知n次多项式Pn<x>=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,如果在一种算法中,计算〔k=2,3,4,…,n的值需要k－1次乘法,计算P3<x0>的值共需要9次运算〔6次乘法,3次加法,那么计算P10<x0>的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0<x>=a0,Pk+1<x>=xPk<x>+ak+1〔k＝0,1,2,…,n－1．利用该算法,计算P3<x0>的值共需要6次运算,计算P10<x0>的值共需要___________次运算.答案：6520点评：秦九韶算法适用一般的多项式f<x>=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达,加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次,加法最多n次.例3已知多项式函数f<x>=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7,求当x=5时的函数的值.解析：把多项式变形为：f<x>=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7=<<<<2x－5>x－4>x+3>x－6>x+7.计算的过程可以列表表示为：最后的系数2677即为所求的值.算法过程：v0=2；v1=2×5－5=5；v2=5×5－4=21；v3=21×5+3=108；v4=108×5－6=534；v5=534×5+7=2677.点评：如果多项式函数中有缺项的话,要以系数为0的项补齐后再计算.知能训练当x=2时,用秦九韶算法求多项式f<x>=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值．解法一：根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式：f<x>=<<<<3x+8>x-3>x+5>x+12x-6.按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值.v0=3;v1=v0×2+8=3×2+8=14;v2=v1×2-3=14×2-3=25;v3=v2×2+5=25×2+5=55;v4=v3×2+12=55×2+12=122;v5=v4×2-6=122×2-6=238.∴当x=2时,多项式的值为238.解法二：f<x>=<<<<3x+8>x-3>x+5>x+12x-6,则f<2>=<<<<3×2+8>×2－3>×2+5>×2+12>×2－6＝238．拓展提升用秦九韶算法求多项式f<x>=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.解：f<x>=<<<<<<7x+6>+5>x+4>x+3>x+2>x+1>xv0=7；v1=7×3+6=27；v2=27×3+5=86；v3=86×3+4=262；v4=262×3+3=789；v5=789×3+2=2369；v6=2369×3+1=7108；v7=7108×3+0=21324.∴f<3>=21324.课堂小结1.秦九韶算法的方法和步骤.2.秦九韶算法的计算机程序框图.作业已知函数f<x>=x3－2x2－5x+8,求f<9>的值.解：f<x>=x3－2x2－5x+8=<x2－2x－5>x+8=<<x－2>x－5>x+8∴f<9>=<<9－2>×9－5>×9+8=530.设计感想古老的算法散发浓郁的现代气息,这是一节充满智慧的课.本节主要介绍了秦九韶算法.通过对秦九韶算法的学习,对算法本身有哪些进一步的认识？教师引导学生思考、讨论、概括,小结时要关注如下几点：〔1算法具有通用的特点,可以解决一类问题；〔2解决同一类问题,可以有不同的算法,但计算的效率是不同的,应该选择高效的算法；〔3算法的种类虽多,但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.第3课时案例3进位制导入新课情境导入在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进制,据说这与古人曾以手指计数有关,爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制,至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制.推进新课新知探究提出问题〔1你都了解哪些进位制？〔2举出常见的进位制.〔3思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.〔4思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.活动：先让学生思考或讨论后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：〔1进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统,约定满二进一,就是二进制；满十进一,就是十进制；满十二进一,就是十二进制；满六十进一,就是六十进制等等.也就是说："满几进一"就是几进制,几进制的基数〔都是大于1的整数就是几.〔2在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进制,据说这与古人曾以手指计数有关,爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制,至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.〔3十进制使用0~9十个数字.计数时,几个数字排成一行,从右起,第一位是个位,个位上的数字是几,就表示几个一；第二位是十位,十位上的数字是几,就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位……例如：十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一.于是,我们得到下面的式子：3721=3×103+7×102+2×101+1×100.与十进制类似,其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同,所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字,七进制用0~6七个数字.一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式anan-1…a1a0〔k〔0＜an＜k,0≤an-1,…,a1,a0＜k>.其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式,如110011〔2=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20,7342〔8=7×83+3×82+4×81+2×80.非十进制数转换为十进制数比较简单,只要计算下面的式子值即可：anan-1…a1a0<k>=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k+a0.第一步：从左到右依次取出k进制数anan-1…a1a0<k>各位上的数字,乘以相应的k的幂,k的幂从n开始取值,每次递减1,递减到0,即an×kn,an-1×kn-1,…,a1×k,a0×k0；第二步：把所得到的乘积加起来,所得的结果就是相应的十进制数.〔4关于进位制的转换,教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解,并推广到十进制和其他进制之间的转换.这样做的原因是,计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的,而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据,因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数,再处理,显然运算后首次得到的结果为二进制数,同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.1°十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数,教科书上提供了"除2取余法",我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法"除k取余法".2°非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法,也就是先由二进制数转化为十进制数,再由十进制数转化成为16进制数.应用示例思路1例1把二进制数110011<2>化为十进制数.解：110011<2>=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.点评：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进制的运算规则计算出结果.变式训练设计一个算法,把k进制数a〔共有n位化为十进制数b.算法分析：从例1的计算过程可以看出,计算k进制数a的右数第i位数字ai与ki-1的乘积ai·ki-1,再将其累加,这是一个重复操作的步骤.所以,可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步,输入a,k和n的值.第二步,将b的值初始化为0,i的值初始化为1.第三步,b=b+ai·ki-1,i=i+1.第四步,判断i＞n是否成立.若是,则执行第五步；否则,返回第三步.第五步,输出b的值.程序框图如下图：程序：INPUT"a,k,n="；a,k,nb=0i=1t=aMOD10DOb=b+t*k^〔i-1a=a\\10t=aMOD10i=i+1LOOPUNTILi＞nPRINTbEND例2把89化为二进制数.解：根据二进制数"满二进一"的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后取余数.具体计算方法如下：因为89=2×44+1,44=2×22+0,22=2×11+0,11=2×5+1,5=2×2+1,2=2×1+0,1=2×0+1,所以89=2×〔2×〔2×〔2×〔2×2+1+1+0+0+1=2×〔2×〔2×〔2×〔22+1+1+0+0+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1011001<2>.这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余数从下到上排列,得到89=1011001<2>.上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法.变式训练设计一个程序,实现"除k取余法".算法分析：从例2的计算过程可以看出如下的规律：若十制数a除以k所得商是q0,余数是r0,即a=k·q0+r0,则r0是a的k进制数的右数第1位数.若q0除以k所得的商是q1,余数是r1,即q0=k·q1+r1,则r1是a的k进制数的左数第2位数.……若qn-1除以k所得的商是0,余数是rn,即qn-1=rn,则rn是a的k进制数的左数第1位数.这样,我们可以得到算法步骤如下：第一步,给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.第二步,求出a除以k所得的商q,余数r.第三步,把得到的余数依次从右到左排列.第四步,若q≠0,则a=q,返回第二步；否则,输出全部余数r排列得到的k进制数.程序框图如下图：程序：INPUT"a,k="；a,kb=0i=0DOq=a\\kr=aMODkb=b+r*10^ii=i+1a=qLOOPUNTILq=0PRINTbEND思路2例1将8进制数314706<8>化为十进制数,并编写出一个实现算法的程序.解：314706<8>=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104902.所以,化为十进制数是104902.点评：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314706<8>化为十进制数.例2把十进制数89化为三进制数,并写出程序语句.解：具体的计算方法如下：89=3×29+2,29=3×9+2,9=3×3+0,3=3×1+0,1=3×0+1,所以:89<10>=10022<3>.点评：根据三进制数满三进一的原则,可以用3连续去除89及其所得的商,然后按倒序的顺序取出余数组成数据即可.知能训练将十进制数34转化为二进制数．分析：把一个十进制数转换成二进制数,用2反复去除这个十进制数,直到商为0,所得余数〔从下往上读就是所求．解：即34<10>=100010<2>拓展提升把1234<5>分别转化为十进制数和八进制数．解：1234<5>=1×53+2×52+3×5+4＝194．则1234<5>=302<8>所以,1234<5>=194＝302<8>点评：本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化．五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数；五进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化．课堂小结〔1理解算法与进位制的关系.〔2熟练掌握各种进位制之间转化.作业习题1.3A组3、4.设计感想计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的,而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据,因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数,再处理,显然运算后首次得到的结果为二进制数,同时,计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.因此学好进位制是非常必要的,另外,进位制也是高考的重点,本节设置了多种题型供学生训练,所以这节课非常实用...第2课时导入新课思路1客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是"因",物理是"果",或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是"果",而真正的"因"是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.为表示这种相关关系,我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.思路2某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：气温/℃261813104-1杯数202434385064如果某天的气温是-5℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.推进新课新知探究提出问题〔1作散点图的步骤和方法？〔2正、负相关的概念？〔3什么是线性相关？〔4看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？〔5什么叫做回归直线？〔6如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？〔7利用计算机如何求回归直线的方程？〔8利用计算器如何求回归直线的方程？活动：学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.讨论结果：〔1建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.〔a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系〔2如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.〔3如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.〔4大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析.〔5如下图：从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线<regressionline>.如果能够求出这条回归直线的方程<简称回归方程>,那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.〔6从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?〔学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.教师：分别分析各方法的可靠性.如下图：上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画"从整体上看,各点与此直线的距离最小".人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式其中,b是回归方程的斜率,a是截距.推导公式①的计算比较复杂,这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理.假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据<x1,y1>,<x2,y2>,…,<xn,yn>,且所求回归方程是=bx+a,其中a、b是待定参数.当变量x取xi<i=1,2,…,n>时可以得到=bxi+a<i=1,2,…,n>,它与实际收集到的yi之间的偏差是yi-=yi-<bxi+a><i=1,2,…,n>.这样,用这n个偏差的和来刻画"各点与此直线的整体偏差"是比较合适的.由于〔yi-可正可负,为了避免相互抵消,可以考虑用来代替,但由于它含有绝对值,运算不太方便,所以改用Q=<y1-bx1-a>2+<y2-bx2-a>2+…+<yn-bxn-a>2②来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.这样,问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小,即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算,a,b的值由公式①给出.通过求②式的最小值而得出回归直线的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法〔methodofleastsquare.〔7利用计算机求回归直线的方程.根据最小二乘法的思想和公式①,利用计算器或计算机,可以方便地求出回归方程.以Excel软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归方程,具体步骤如下：①在Excel中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图〔如下图,在菜单中选定"图表"中的"添加趋势线"选项,弹出"添加趋势线"对话框.②单击"类型"标签,选定"趋势预测/回归分析类型"中的"线性"选项,单击"确定"按钮,得到回归直线.③双击回归直线,弹出"趋势线格式"对话框.单击"选项"标签,选定"显示公式",最后单击"确定"按钮,得到回归直线的回归方程=0.577x-0.448.〔8利用计算器求回归直线的方程.用计算器求这个回归方程的过程如下：所以回归方程为=0.577x-0.448.正像本节开头所说的,我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中,找到了它们之间关系的一个规律,这个规律是由回归直线来反映的.直线回归方程的应用:①描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系.②利用回归方程进行预测；把预报因子〔即自变量x代入回归方程对预报量〔即因变量Y进行估计,即可得到个体Y值的容许区间.③利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化,通过控制x的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度.应用示例思路1例1有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/℃-504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654〔1画出散点图；〔2从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；〔3求回归方程；〔4如果某天的气温是2℃,预测这天卖出的热饮杯数.解：〔1散点图如下图所示：〔2从上图看到,各点散布在从左上角到右下角的区域里,因此,气温与热饮销售杯数之间呈负相关,即气温越高,卖出去的热饮杯数越少.〔3从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,因此,可用公式①求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程=-2.352x+147.767.<4>当x=2时,=143.063.因此,某天的气温为2℃时,这天大约可以卖出143杯热饮.思考气温为2℃时,小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮,原因如下：1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的,存在随机误差,这种误差可以导致预测结果的偏差.2.即使截距和斜率的估计没有误差,也不可能百分之百地保证对应于x的预报值,能够与实际值y很接近.我们不能保证点〔x,y落在回归直线上,甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近,事实上,y=bx+a+e=+e.这里e是随机变量,预报值与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差所决定.一些学生可能会提出问题：既然不一定能够卖出143杯左右热饮,那么为什么我们还以"这天大约可以卖出143杯热饮"作为结论呢？这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地说,假如我们规定可以选择连续的3个非负整数作为可能的预测结果,则我们选择142,143和144能够保证预测成功〔即实际卖出的杯数是这3个数之一的概率最大.例2下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.机动车辆数x／千台95110112120129135150180交通事故数y／千件6.27.57.78.58.79.810.213<1>请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由；<2>如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.解：〔1在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．<2>计算相应的数据之和：=1031,=71.6,=137835,=9611.7.将它们代入公式计算得b≈0.0774,a=-1.0241,所以,所求线性回归方程为=0.0774x-1.0241.思路2例1给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455<1>画出上表的散点图;<2>求出回归直线的方程.解：<1>散点图如下图．<2>表中的数据进行具体计算,列成以下表格:i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi49506900912512150155751800020475故可得到b=≈4.75,a=399.3-4.75×30≈257.从而得回归直线方程是=4.75x+257.例2一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验,测得数据如下：零件个数x〔个102030405060708090100加工时间y〔分626875818995102108115122请判断y与x是否具有线性相关关系,如果y与x具有线性相关关系,求线性回归方程．解：在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：=38500,=87777,=55950.b=≈0.668.a==91.7-0.668×55≈54.96.因此,所求线性回归方程为=bx+a=0.668x+54.96.例3已知10条狗的血球体积及红血球数的测量值如下：血球体积x<mL>45424648423558403950红血球数y<百万>6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72〔1画出上表的散点图；〔2求出回归直线的方程.解：〔1散点图如下.〔2<45+42+46+48+42+35+58+40+39+50>=44.50,<6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72>=7.37.设回归直线方程为=bx+a,则b==0.175,a==-0.418,所以所求回归直线的方程为=0.175x-0.148.点评：对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数a,b的计算公式,算出a,b．由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段,认真细致,谨防计算中产生错误,求线性回归方程的步骤：计算平均数；计算xi与yi的积,求∑xiyi；计算∑xi2；将结果代入公式求b；用a=求a；写出回归直线方程．知能训练1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系〔A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高答案：Ｄ2．三点<3,10>,<7,20>,<11,24>的线性回归方程是〔A.B.=1.75+5.75xC.D.=5.75+1.75x答案：Ｄ3．已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y〔万元,有如下统计资料：使用年限x23456维修费用y2．23．85．56．57．0设y对x呈线性相关关系．试求：〔1线性回归方程=bx+a的回归系数a,b；〔2估计使用年限为10年时,维修费用是多少？答案：〔1b=1.23,a=0.08；〔212.38.4．我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型,δ为误差项,模型如下：模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e．〔1如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值；〔2分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．解：〔1模型1：y=6+4x=6+4×3=18；模型2：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.〔2模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是确定性模型；模型2中相同的x值,因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ为误差项是随机的,所以模型2是随机性模型．5．以下是收集到的新房屋销售价格y与房屋大小x的数据：房屋大小x〔m280105110115135销售价格y〔万元18.42221.624.829.2〔1画出数据的散点图；〔2用最小二乘法估计求线性回归方程.解：〔1散点图如下图.〔2n=5,=545,=109,=116,=23.2,=60952,=12952,b=≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1.509,所以,线性回归方程为y=0.199x+1.509．拓展提升某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出〔Xi与公司所获得利润〔Yi的统计资料如下表：科研费用支出〔Xi与利润〔Yi统计表单位：万元年份科研费用支出利润1998199920002001200220035114532314030342520合计30180要求估计利润〔Yi对科研费用支出〔Xi的线性回归模型.解：设线性回归模型直线方程为：,因为：=5,=30,根据资料列表计算如下表：年份XiYiXiYiXi2Xi-Yi-<Xi->2<Xi-><Yi->199819992000200120022003511453231403034252015544012017075402512116259406-10-2-311004-5-100361049060001030合计3018010002000050100现求解参数β0、β1的估计值：方法一：=2,=30-2×5=20.方法二：=2,=30-2×5=20.方法三：=2,=30-2×5=20.所以利润〔Yi对科研费用支出〔Xi的线性回归模型直线方程为：=20+2Xi.课堂小结1．求线性回归方程的步骤：〔1计算平均数；<2>计算xi与yi的积,求∑xiyi;<3>计算∑xi2,∑yi2,<4>将上述有关结果代入公式求b,a,写出回归直线方程．2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.作业习题2.3A组3、4,B组1、2.设计感想本节课在上节课的基础上,利用实例分析了散点图的分布规律,推导出了线性回归直线的方程的求法,并利用回归直线的方程估计可能的结果,本节课讲得较为详细,实例较多,便于同学们分析比较.思路1和思路2的例题对知识进行了巩固和加强,另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度,树立时间观,培养勤奋、刻苦的精神.第二章统计本章教材分析现代社会是信息化的社会,数字信息随处可见,因此专门研究如何收集、整理、分析数据的科学——统计学就备受重视．统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学,它可以为人们制定决策提供依据．在客观世界中,需要认识的现象无穷无尽．要认识某现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料,然后通过分析这些资料来认识此现象．如何取得有代表性的观测资料并能够正确地加以分析,是正确地认识未知现象的基础,也是统计所研究的基本问题．本章主要介绍最基本的获取样本数据的方法,以及几种从样本数据中提取信息的统计方法,其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容．从义务教育阶段来看,统计知识的教学从小学到初中分为三个阶段,在每个阶段都要学习收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法,教学目标随着学段的升高逐渐提高．在义务教育阶段的统计与概率知识的基础上,《课程标准》要求通过实际问题及情境,进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法,了解用样本估计总体及其特征的思想,体会统计思维与确定性思维的差异；通过实习作业,较为系统地经历数据收集与处理的全过程,进一步体会统计思维与确定性思维的差异．本章教学时间约需7课时,具体分配如下〔仅供参考：简单随机抽样约1课时系统抽样约1课时分层抽样约1课时用样本的频率分布估计总体分布约1课时用样本的数字特征估计总体的数字特征约1课时2.3变量间的相关关系约1课时本章复习约1课时2.1随机抽样简单随机抽样整体设计教学分析教材是以探究一批小包装饼干的卫生是否达标为问题导向,逐步引入简单随机抽样概念．并通过实例介绍了两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．值得注意的是为了使学生获得简单随机抽样的经验,教学中要注意增加学生实践的机会．例如,用抽签法决定班里参加某项活动的代表人选,用随机数法从全年级同学中抽取样本计算平均身高等等．三维目标1．能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题,提高学生分析问题的能力.2．理解随机抽样的必要性和重要性,提高学生学习数学的兴趣.3．学会用抽签法和随机数法抽取样本,培养学生的应用能力．重点难点教学重点：理解随机抽样的必要性和重要性,用抽签法和随机数法抽取样本．教学难点：抽签法和随机数法的实施步骤．课时安排1课时教学过程导入新课抽样的方法很多,某个抽样方法都有各自的优越性与局限性,针对不同的问题应当选择适当的抽样方法．教师点出课题：简单随机抽样．推进新课新知探究提出问题<1>在1936年美国总统选举前,一份颇有名气的杂志<LiteraryDigest>的工作人员做了一次民意测验.调查兰顿<A.Landon><当时任堪萨斯州州长>和罗斯福<F.D.Roosevelt><当时的总统>中谁将当选下一届总统.为了了解公众意向,调查者通过簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表<注意在1936年和汽车只有少数富人拥有>.通过分析收回的调查表,显示兰顿非常受欢迎,于是此杂志预测兰顿将在选举中获胜.实际选举结果正好相反,最后罗斯福在选举中获胜,其数据如下:候选人预测结果%选举结果%Roosevelt4362Landon5738你认为预测结果出错的原因是什么？由此可以总结出什么教训？〔2假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验,你准备怎样做？显然,你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本．那么,应当怎样获取样本呢？〔3请总结简单随机抽样的定义.讨论结果：<1>预测结果出错的原因是：在民意测验的过程中,即抽取样本时,抽取的样本不具有代表性．1936年拥有和汽车的美国人只是一小部分,那时大部分人还很穷．其调查的结果只是富人的意见,不能代表穷人的意见．由此可以看出,抽取样本时,要使抽取出的样本具有代表性,否则调查的结果与实际相差较大．<2>要对这批小包装饼干进行卫生达标检查,只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本,用样本的卫生情况来估计这批饼干的卫生情况．如果对这批饼干全部检验,那么费时费力,等检查完了,这批饼干可能就超过保质期了,再就是会破坏这批饼干的质量,导致无法出售．获取样本的方法是：将这批小包装饼干,放入一个不透明的袋子中,搅拌均匀,然后不放回地摸取〔这样可以保证每一袋饼干被抽到的可能性相等,这样就可以得到一个样本．通过检验样本来估计这批饼干的卫生情况．这种抽样方法称为简单随机抽样．<3>一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本<n≤N>,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样方法有两种：抽签法和随机数法．提出问题<1>抽签法是大家最熟悉的,也许同学们在做某种游戏,或者选派一部分人参加某项活动时就用过抽签法.例如,高一<2>班有45名学生,现要从中抽出8名学生去参加一个座谈会,每名学生的机会均等.我们可以把45名学生的学号写在小纸片上,揉成小球,放到一个不透明袋子中,充分搅拌后,再从中逐个抽出8个号签,从而抽出8名参加座谈会的学生.请归纳抽签法的定义.总结抽签法的步骤.<2>你认为抽签法有什么优点和缺点？当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗？<3>随机数法是利用随机数表或随机骰子或计算机产生的随机数进行抽样．我们仅学习随机数表法即利用随机数表产生的随机数进行简单随机抽样的方法．怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明.假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验.利用随机数表抽取样本时,可以按照下面的步骤进行.第一步,先将800袋牛奶编号,可以编为000,001,…,799.第二步,在随机数表中任选一个数.例如选出第8行第7列的数7<为了便于说明,下面摘取了附表1的第6行至第10行.>1622779439495443548217379323788735209643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795457608632440947279654491746096290528477270802734328第三步,从选定的数7开始向右读<读数的方向也可以是向左、向上、向下等>,得到一个三位数785,由于785<799,说明号码785在总体内,将它取出;继续向右读,得到916,由于916>799,将它去掉.按照这种方法继续向右读,又取出567,199,507,…,依次下去,直到样本的60个号码全部取出.这样我们就得到一个容量为60的样本.请归纳随机数表法的步骤.<4>当N＝100时,分别以0,3,6为起点对总体编号,再利用随机数表抽取10个号码．你能说出从0开始对总体编号的好处吗？<5>请归纳随机数表法的优点和缺点．讨论结果：<1>一般地,抽签法就是把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本.抽签法的步骤是：1°将总体中个体从1—N编号；2°将所有编号1—N写在形状、大小相同的号签上；3°将号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀；4°从容器中每次抽取一个号签,并记录其编号,连续抽取n次；5°从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出．<2>抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,如果标号的签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平．因此说当总体中的个体数很多时,用抽签法不方便．这时用随机数法．<3>随机数表法的步骤：1°将总体中个体编号；2°在随机数表中任选一个数作为开始；3°规定从选定的数读取数字的方向；4°开始读取数字,若不在编号中,则跳过,若在编号中则取出,依次取下去,直到取满为止；5°根据选定的号码抽取样本．<4>从0开始编号时,号码是00,01,02,…,99；从3开始编号时,号码是003,004,…,102；从6开始编号时,号码是006,007,…,105．所以以3,6为起点对总体编号时,所编的号码是三位,而从0开始编号时,所编的号码是两位,在随机数表中读数时,读取两位比读取三位要省时,所以从0开始对总体编号较好．<5>综上所述可知,简单随机抽样有操作简便易行的优点,在总体个数不多的情况下是行之有效的.但是,如果总体中的个体数很多时,对个体编号的工作量太大,即使用随机数表法操作也并不方便快捷.另外,要想"搅拌均匀"也非常困难,这就容易导致样本的代表性差.应用示例例1某车间工人加工一种轴共100件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取10件轴在同一条件下测量,如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？分析：简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数表法,所以有两种思路．解法一〔抽签法：①将100件轴编号为1,2,…,100；②做好大小、形状相同的号签,分别写上这100个号码；③将这些号签放在一个不透明的容器内,搅拌均匀；④逐个抽取10个号签；⑤然后测量这10个号签对应的轴的直径的样本．解法二〔随机数表法：①将100件轴编号为00,01,…99；②在随机数表中选定一个起始位置,如取第22行第1个数开始<见教材附录1:随机数表>；③规定读数的方向,如向右读;④依次选取10个为68,34,30,13,70,55,74,77,40,44,则这10个号签相应的个体即为所要抽取的样本．点评：本题主要考查简单随机抽样的步骤．抽签法的关键是为了保证每个个体被抽到的可能性相等而必须搅拌均匀,当总体中的个体无差异,并且总体容量较小时,用抽签法；用随机数表法读数时,所编的号码是几位,读数时相应地取连续的几个数字,当总体中的个体无差异,并且总体容量较多时,用抽签法．变式训练1.下列抽样的方式属于简单随机抽样的有____________．〔1从无限多个个体中抽取50个个体作为样本．〔2从1000个个体中一次性抽取50个个体作为样本．〔3将1000个个体编号,把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀,从中逐个抽取50个个体作为样本．〔4箱子里共有100个零件,从中选出10个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中任意取出一个零件进行质量检验后,再把它放回箱子．〔5福利彩票用摇奖机摇奖．解析：〔1中,很明显简单随机抽样是从有限多个个体中抽取,所以〔1不属于；〔2中,简单随机抽样是逐个抽取,不能是一次性抽取,所以〔2不属于；很明显〔3属于简单随机抽样；〔4中,抽样是放回抽样,但是简单随机抽样是不放回抽样,所以〔4不属于；很明显〔5属于简单随机抽样．答案：〔3〔52.要从某厂生产的30台机器中随机抽取3台进行测试,写出用抽签法抽样样本的过程．分析：由于总体容量和样本容量都较小,所以用抽签法．解：抽签法,步骤：第一步,将30台机器编号,号码是01,02,…,30.第二步,将号码分别写在一张纸条上,揉成团,制成号签.第三步,将得到的号签放入不透明的袋子中,并充分搅匀.第四步,从袋子中依次抽取3个号签,并记录上面的编号.第五步,所得号码对应的3台机器就是要抽取的样本．例2人们打桥牌时,将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌,这时按次序搬牌时,对任何一家来说,都是从52张牌中抽取13张牌,问这种抽样方法是否是简单随机抽样？解：简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定了起始张,其他各张牌虽然是逐张起牌,但是各张在谁手里已被确定,所以不是简单随机抽样．点评：判断简单随机抽样时,要紧扣简单随机抽样的特征：逐个、不放回抽取且保证每个个体被抽到的可能性相等．变式训练现在有一种"够级"游戏,其用具为四副扑克,包括大小鬼〔又称为花在内共216张牌,参与人数为6人并坐成一圈．"够级"开始时,从这6人中随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌〔这叫开牌,然后按逆时针方向,根据这张牌上的数字来确定谁先抓牌,这6人依次从216张牌中抓取36张牌,问这种抓牌方法是否是简单随机抽样？解：在这里只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的,其他215张牌已经确定,即这215张扑克牌被抽取的可能性与第一张扑克牌可能性不相同,所以不是简单随机抽样．知能训练1．为了了解全校240名学生的身高情况,从中抽取40名学生进行测量,下列说法正确的是〔A.总体是240B.个体C.样本是40名学生D.样本容量是40答案：D2．为了了解所加工一批零件的长度,抽测了其中200个零件的长度,在这个问题中,200个零件的长度是〔A.总体B.个体C.总体的一个样本D.样本容量答案：C3．一个总体中共有200个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本,则某一特定个体被抽到的可能性是____________．答案：4．为了检验某种产品的质量,决定从40件产品中抽取10件进行检查,如何用简单随机抽样抽取样本？解：方法一〔抽签法：①将这40件产品编号为1,2,…,40；②做好大小、形状相同的号签,分别写上这40个号码；③将这些号签放在一个不透明的容器内,搅拌均匀；④连续抽取10个号签；⑤然后对这10个号签对应的产品检验．方法二〔随机数表法：①将40件产品编号,可以编为00,01,02,…,38,39；②在随机数表中任选一个数作为开始,例如从第8行第9列的数5开始,；③从选定的数5开始向右读下去,得到一个两位数字号码59,由于59＞39,将它去掉；继续向右读,得到16,将它取出；继续下去,又得到19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数字号码是12,由于它在前面已经取出,将它去掉,再继续下去,得到34．至此,10个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本号码是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34．拓展提升现有一批编号为10,11,…,99,100,…,600的元件,打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数法设计抽样方案？分析：重新编号,使每个号码的位数相同．解：方法一：第一步,将元件的编号调整为010,011,012,…,099,100,…,600.第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向．比如,选第6行第7个数"9",向右读.第三步,从数"9"开始,向右读,每次读取三位,凡不在010—600中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读,依次可得到544,354,378,520,384,263.第四步,以上这6个号码所对应的6个元件就是所要抽取的对象．方法二:第一步,将每个元件的编号加100,重新编号为110,111,112,…,199,200,…,700.第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向．比如,选第8行第1个数"6",向右读.第三步,从数"6"开始,向右读,每次读取三位,凡不在110—700中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读,依次可得到630,163,567,199,507,175.第四步,这6个号码分别对应原来的530,63,467,99,407,75．这些号码对应的6个元件就是要抽取的对象．课堂小结1．简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．2．抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方便,如果标号的签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法相同,缺点是当总体容量较大时,仍然不是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体容量较小的抽样类型．3．简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均为,但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开来,避免在解题中出现错误．作业课本本节练习2、3．设计感想本节教学设计以课程标准的要求为指导,重视引导学生参与到教学中,体现了学生的主体地位．同时,根据高考的要求,适当拓展了教材,做到了用教材,而不是教教材．系统抽样整体设计教学分析教材通过探究"学生对教师教学的意见"过程,介绍了一种最简单的系统抽样——等距抽样,并给出实施等距抽样的步骤．值得注意的是在教学过程中,适当介绍当不是整数时,应如何实施系统抽样．三维目标1．理解系统抽样,会用系统抽样从总体中抽取样本,了解系统抽样在实际生活中的应用,提高学生学习数学的兴趣.2．通过自学课后"阅读与思考",让学生进一步了解虚假广告是淡化总体和抽样方法、强化统计结果来夸大产品的有效性,以提高学生理论联系实际的能力．重点难点教学重点：实施系统抽样的步骤．教学难点：当不是整数,如何实施系统抽样．课时安排1课时教学过程导入新课思路1上一节我们学习了简单随机抽样,那么简单随机抽样的特点是什么？简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法,当总体中的个体较少时,常采用简单随机抽样．但是如果总体中的个体较多时,怎样抽取样本呢？教师点出课题：系统抽样．思路2某中学有5000名学生,打算抽取200名学生,调查他们对奥运会的看法,采用简单随机抽样时,无论是抽签法还是随机数法,实施过程很复杂,需要大量的人力和物力,那么有没有更为方便可行的抽样方法呢？这就是今天我们学习的内容：系统抽样．推进新课新知探究提出问题〔1某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查,除了用简单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽取样本的方法？〔2请归纳系统抽样的定义和步骤.<3>系统抽样有什么特点？讨论结果：<1>可以将这500名学生随机编号1—500,分成50组,每组10人,第1组是1—10,第二组11—20,依次分下去,然后用简单随机抽样在第1组抽取1人,比如号码是2,然后每隔10个号抽取一个,得到2,12,22,…,492．这样就得到一个容量为50的样本．这种抽样方法称为系统抽样．<2>一般地,要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样.其步骤是：1°采用随机抽样的方法将总体中的N个个体编号;2°将整体按编号进行分段,确定分段间隔k<k∈N,l≤k>;3°在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l〔l∈N,l≤k;4°按照一定的规则抽取样本.通常是将起始编号l加上间隔k得到第2个个体编号<l+k>,再加上k得到第3个个体编号<l+2k>,这样继续下去,直到获取整个样本．说明：从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而把复杂问题简单化,体现了数学转化思想．<3>系统抽样的特点是：1°当总体容量N较大时,采用系统抽样；2°将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此,系统抽样又称等距抽样,这时间隔一般为k＝［］．3°预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．应用示例例1为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩,应采用什么抽样方法较恰当？简述抽样过程．解：适宜选用系统抽样,抽样过程如下：〔1随机地将这1000名学生编号为1,2,3,…,1000．〔2将总体按编号顺序均分成50部分,每部分包括20个个体．〔3在第一部分的个体编号1,2,3,…,20中,利用简单随机抽样抽取一个号码,比如18．〔4以18为起始号码,每间隔20抽取一个号码,这样得到一个容量为50的样本：18,38,58,…,978,998．点评：系统抽样与简单随机抽样一样,每个个体被抽到的概率都相等,从而说明系统抽样是等概率抽样,它是公平的．系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的,当将总体均分后对每一部分进行抽样时,采用的是简单随机抽样．变式训练1．下列抽样不是系统抽样的是〔A.从标有1—15号的15个小球中任选3个作为样本,按从小号到大号排序,随机确定起点i,以后为i+5,i+10<超过15则从1再数起>号入样B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验C.搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数为止D.电影院调查观众的某一指标,通知每排〔每排人数相等座位号为14的观众留下来座谈分析：C中,因为事先不知道总体,抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样,所以不是系统抽样.答案：C2.某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,…,295,为了了解学生的学习情况,要按1∶5的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程．分析：按1∶5分段,每段5人,共分59段,每段抽取一人,关键是确定第1段的编号．解：抽样过程是：〔1按照1∶5的比例,应该抽取的样本容量为295÷5=59,我们把259名同学分成59组,每组5人,第一组是编号为1—5的5名学生,第2组是编号为6—10的5名学生,依次下去,59组是编号为291—295的5名学生；〔2采用简单随机抽样的方法,从第一组5名学生中抽出一名学生,不妨设编号为l<l≤5>；〔3按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为l+5k<k=0,1,2,…,58>,得到59个个体作为样本,如当k=3时的样本编号为3,8,13,…,288,293．例2为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩,请用系统抽样抽取一个容量为50的样本．分析：由于不是整数,所以先从总体中随机剔除3个个体．步骤：〔1随机地将这1003个个体编号为1,2,3,…,1003．〔2利用简单随机抽样,先从总体中剔除3个个体〔可利用随机数表,剩下的个体数1000能被样本容量50整除,然后再重新编号为